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专题13.7 画轴对称图形（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对
应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法
相同．
要点提醒：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们
的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平
分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【知识点二】用坐标表示轴对称
1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点 的坐标为(a,-b)，如下图所示：
x
即关于 轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
y
已知P点坐标为 ，则它关于 轴对称点 的坐标为 ，如上图所示．
y
即关于 轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标 关于直线 的对称点 的坐标为 ．
P点坐标 关于直线 的对称点 的坐标为 ．
【考点一】轴对称➼➻画轴对称图形
【例1】 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1) 在图中作出与 关于 轴对称的 ，并写出 的坐标．
(2) 在 轴上画出点 ，使得 的值最小．
【答案】(1)见分析， ；(2)见分析
【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点 ，再顺次连接即可得；
（2）先作点 关于 轴的对称点 ，再连接 ，与 轴的交点即为所求．
（1）解：如图， 即为所求，
由图可知， ．
（2）解：如图，点 即为所求．
．
【点拨】本题考查了画轴对称图形、点坐标的轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的
性质是解题关键．
【举一反三】【变式】如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， ．
(1) 的面积是________；
(2) 把 向下平移4个单位长度，再以y轴为对称轴作出它的对称图形，得到 ，请你画出
；
(3) 分别写出 ， ， 三点的对应点 ， ， 的坐标．
【答案】(1)4；(2)作图见分析；(3) ， ， ．
【分析】（1）根据网格利用割补法将 补成正方形，减去补出来的三角形；
（2）根据平移的性质把 向下平移4个单位长度，再根据轴对称的性质以y轴为对称轴，得
；
（3）根据题意可得 ， ， 的坐标．
（1）解：
；
故答案为：4．
（2）如图， 即为所求；（3） ， ， ．
【点拨】本题考查旋转及平移作图，熟练掌握基础知识是解题的关键．其中，割补法常用于网格中计
算不规则图形的面积，学会利用格点进行割补是解题基础．
【考点二】轴对称➼➻坐标与图形的变化
【例2】如图，已知 ，
(1) 画出 关于 轴对称的 ；
(2) 写出 各顶点的坐标；
(3) 求出 的面积．
【答案】(1)见分析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点找到A、B、C对应点 的位置，然后顺次连接 即可；
（2）根据（1）所画图形即可得到答案；
（3）利用割补法求解即可．
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：由图可知 ；
（3）解：由题意得， ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，熟知关于y轴对称的点横
坐 标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
【举一反三】
【变式】如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹)
(1) 画出格点 (顶点均在格点上)关于直线 对称的 ；
(2) 在 上画出点 ，使 最小；(3) 求 的面积．
【答案】(1)如解析图；(2)如解析图；(3) ．
【分析】（1）分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（2）连接 交直线 于点 ，连接 ，点 即为所求；
（3）利用分割法求三角形的面积即可；
解：（1）如图， 即为所求；
（2）如上图，连接 交直线 于点 ，连接 ，点 即为所求；
（3）如图，
，
∴ ，
，
，，
，
∴ 的面积为： ．
【点拨】此题考查作图-轴对称变换，求三角形的面积，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
【考点三】轴对称➼➻轴对称综合题（几何变换）
【例3】如图1，在等腰直角三角形 中， ， ，点 在 边上，连接 ，
， ，连接 ， ．
(1) 求证： ；
(2) 点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
① 补全图形并证明 ；
② 试探究，当 ， ， 三点恰好共线时． 的度数为___________．
【答案】(1)见分析；(2)①见分析；②
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（2）①先判断出 ，再根据（1）得出 即可得出结论；②先判断得出
，进而得出 ，再判断出 ，进而得出
，最后求出 即可得出结论．
解：（1）证明： ，
，
∴∠BAD=∠CAE
， ，
（SAS），，
（2）补全图形如图 所示，连接 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
（SSS）
由（1）知
②如图，连接 ，
由（1）知
在 中， ，
点 ， 关于 对称
，由（1）知
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了轴对称，同角的余角相等，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
属于几何变换的综合题，判断出 是解题关键．
【举一反三】
【变式1】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线 是线段
的垂直平分线， 是 上任一点，连接 、 ，将线段 沿直线 对折，我们发现 与
完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图， ，垂足点为 ， ，点 是直线 的任意一点．
求证： ．分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证明 ．
请写出完整的证明过程．
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，垂足分别为 ， ，
，则 的周长为__________．
（2）如图③，在 中， ， ， 、 分别是 、 上任意一点，若 ，
的面积为 ，则 的最小值是__________．
【答案】教材呈现：证明见详解；定理应用：（1） ；（2）
【分析】教材呈现：根据“ ”证明 即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明 ，那么 的周长就转
化为 的长，
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知 是 的垂直平分线，过点 作 ，垂足为点
E，交 于点P，此时 的值最小，进而根据三角形的面积公式求得 即可求解．
解：教材呈现：证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ；
定理应用：解：（1）∵ 的垂直平分线分别交 于点 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的周长为 ，
故答案为： ，
（2）过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
此时 的值最小，
∵ 的面积 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，根
据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【变式2】如图，在四边形 中， 分别是边 上的动
点．
(1) 若 的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点 的位置(不写作法，保留尺规作图痕迹)；
(2) 在(1)的条件下，求 的度数．【答案】(1)见分析；(2)
【分析】(1)先利用四边形的内角和求得 ，要使 的周长最小，即利用点的对称，使三角
形的三边在同一直线上，作出 关于 和 的对称点 ，
(2)由(1)可得出 进而得出 即可得出答案．
（1）解：如图作出 关于 和 的对称点 ，
连接 ，交 于 ，交 于 ，点 即为所求，
则 即为 的周长最小值．
（2）∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，同时考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，根据轴对称得出的位置是解题关键．
