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专题15.21 分式方程（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022·湖南怀化·统考中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2019·江苏扬州·统考中考真题）分式 可变形为（ ）
A． B．- C． D．
3．（2022·湖南株洲·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）纳米是非常小的长度单位， ，把
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东济南·统考中考真题）若m－n＝2，则代数式 的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
6．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
9．（2022·浙江杭州·统考中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式 表示，
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则
u＝（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）有一个容积为24 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐
内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至
注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x ，由题意列方程，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2020·湖南郴州·统考中考真题）若分式 的值不存在，则 ．
12．（2022·四川自贡·统考中考真题）化简： ＝ ．
13．（2021·四川资阳·统考中考真题）若 ，则 ．
14．（2020·湖南衡阳·统考中考真题）计算： ．
15．（2022·山东济南·统考中考真题）代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
16．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是
．17．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数解，且关
于y的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（2021·辽宁本溪·统考中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办
了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，
用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分
式方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式 的部分运
算过程：
解：原式 …………第
一步
…………第二步
…………第三步
……
（1）上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．20．（8分）（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
21．（10分）（2023·湖北黄石·统考中考真题）先化简，再求值： ，然后从
1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．
22．（10分）（2023·四川雅安·统考中考真题）
（1）计算：
（2）先化简，再求值： ．其中
23．（10分）（2023·宁夏·统考中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 型和 型两种玩具，已知用520元购进 型玩具的数量比用175元
购进 型玩具的数量多30个，且 型玩具单价是 型玩具单价的 倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
乙： ，解得 ，经检验 是原方程的解．
则甲所列方程中的 表示_______，乙所列方程中的 表示_______；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 型玩具
多少个？
24．（12分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长
小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整
数）．
（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相
同，求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价
不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算
购买 本硬面笔记本（ 为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商
店硬面笔记本的原价．参考答案：
1．B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判
断即可．
解：分母中含有字母的是 ， ， ，
∴分式有3个，
故选：B．
【点拨】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2．D
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
解：A. ≠ ，故A选项错误；B. - = ≠ ，故B选项错误；
C. =- ，故C选项错误；
D. = = ，故D选项正确，
故选D.
【点拨】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
3．A
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
解：A、 ，故本选项正确，符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点拨】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则
是解题的关键．
4．A
【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
解： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ，
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定，确定 与 的值是解题的关键．
5．D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：原式 •＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的
值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的
结果要化成最简分式或整式．
6．D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
解：
．
故选D．
【点拨】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
7．B
【分析】先将分式方程化成整式方程 ，再分①整式方程 无解，②关于 的方
程 有增根两种情况，分别求解即可得．
解：将方程 化成整式方程为 ，即 ，
因为关于 的方程 无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程 无解，
则 ，解得 ；
②关于 的方程 有增根，
则 ，即 ，
将 代入 得： ，解得 ；
综上， 的值为1或3，
故选：B．【点拨】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
8．A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范
围．
解：方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
∵ ，即： ，
∴ ，
又∵分式方程的解为非负数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
9．C
【分析】利用分式的基本性质，把等式 恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
10．A
【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速
度为每分钟 ，粗油管的注油速度为每分钟 ，继而可得方程，解方程即可求得答案．解：∵细油管的注油速度为每分钟 ，粗油管口径为细油管口径2倍，
∴粗油管的注油速度为每分钟 ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．
11．-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
解：∵分式 的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
12．
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
解：
=
故答案为
【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
13．3
【分析】先由 可得 ，再运用分式的减法计算 ，然后变形将 代入即
可解答．
解：∵
∴∴ ．
故填：3．
【点拨】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的
关键．
14．1
【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可．
解： ．
故答案为1．
【点拨】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．
15．7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
解：∵代数式 与代数式 的值相等，
∴ ，
去分母
，
去括号号
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴分式方程的解为 ．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16． 且
【分析】解分式方程，可用 表示 ，再根据题意得到关于 的一元一次不等式即可解答．
解：解 ，可得 ，的方程 的解为非负数，
，
解得 ，
，
，
即 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
17．4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得
，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为 ，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ；
∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，解得： 且
∴a的取值范围是 ，且
∴a可以取：1，3，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．
【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用
300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．
解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，
依题意得： ，
故答案为：
【点拨】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
19．（1）一；（2）见分析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
（1）解：
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：．
【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
20． ，1
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算
法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
解：
，
∵ ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以
及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
21． ，当 时，值为【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．
解：
，
∴当 时，原式
【点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22．（1）4；（2） ， ．
【分析】（1）根据负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据分式的性质计算，最后
将字母的值代入求解即可
解：（1）
；
（2）
．
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根的性质是解题的关键．
23．（1） 型玩具的单价；购买 型玩具的数量；（2）最多购进 型玩具 个
【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可；
（2）设最多购进 型玩具 个，根据题意，列出方程进行求解即可．
（1）解：对于甲： 表示的是：用520元购进 型玩具的数量比用175元购进 型玩具
的数量多30个，
∴ 分别表示 型玩具和 型玩具的数量，
∴ 表示 型玩具的单价；
对于乙： 表示的是： 型玩具单价是 型玩具单价的 倍，
∴ ，分别表示表示 型玩具和 型玩具的单价，
∴ 表示购买 型玩具的数量；
故答案为： 型玩具的单价；购买 型玩具的数量
（2）设购进 型玩具 个，则购买 型玩具 个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知： 型玩具的单价为5元，则 型玩具的单价为 元，
由题意，得： ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ ；
答：最多购进 型玩具 个．
【点拨】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和
不等式，是解题的关键．
24．（1）甲商店硬面笔记本的单价为16元；（2）乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得 ，再根据 且m，均为正整数，即可求解．
（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为 元，根据题意得
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为 元，
由题意可得 ，
解得 ，
根据题意得 ，
解得 ，
为正整数，
， ， ， ， ，分别代入 ，
可得 ， ， ， ， ，
由单价均为整数可得 ，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列
出相应方程．
