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专题 15 平行四边形中的最值问题 8 个解题思路（解析版）
专题解读：平行四边形中的最值问题是八年级下册的压轴题，也是中考最常
考的题型。本专题精心选择了最新最好的最值问题，并为孩子们提供了 8 个解
题思路，可以有效地突破这个难点，欢迎下载使用。
思路一 一个动点，求两条线段的和，作一个对称点
1．（2023春•蔡甸区期中）如图，点E是线段BC上的一个动点，AB+DC=2❑√2，BC=4，且∠B＝
∠C＝135°，则AE+DE的最小值是 2❑√10 ．
【分析】作点 A关于线段 BC的对称点 F，连接 BF，DF，DF交BC于点 O，连接 AO，过点 F作
FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，由题意易得∠FBC＝
∠DCB＝135°，则有 BF∥CH，然后可得四边形 BFHC 是平行四边形，进而可得 FH＝4，推出
DH=2❑√2，勾股定理求出FD的长即可得解．
【解答】解：作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作
FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，如图所示：
由轴对称的性质可知：∠ABC＝∠FBC＝135°＝∠DCB，AO＝FO，AB＝BF，
∴BF∥CH，
∵FH∥BC，
∴四边形BFHC是平行四边形，
∴FH＝BC＝4，BF＝CH＝AB，
∵AB+DC=2❑√2，
∴CH+CD=DH=2❑√2，
当点E与点O重合时，则AE+DE的最小值即为FD的长，
∵FH∥BC，
∴∠FHC＝∠DCB＝135°，
∴∠DHG＝45°，
∵DG⊥HF，
∴∠DGH＝90°，∴∠HDG＝45°＝∠DHG，
∴GH＝GD，
∴DH=❑√GH2+DG2=❑√2DG，
❑√2
∴GH=DG= DH=2，
2
∴FG＝FH+GH＝6，
∴FD=❑√FG2+DG2=2❑√10，
∴即AE+DE的最小值为2❑√10；
故答案为：2❑√10．
【点评】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，
熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
2．（2022春•永昌县校级期中）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴
的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是
（ ）
A．6 B．❑√10 C．2❑√10 D．4❑√10
【分析】由正方形的性质可得，点 A，C关于OB对称，连接CD，交OB于点Q，连接AQ，则当点P
与点Q重合时，PD+PA最小，最小值即为CD的长，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵四边形OABC为正方形，
∴点A，C关于OB对称，
连接CD，交OB于点Q，连接AQ，当点P与点Q重合时，PD+PA最小，
最小值为QD+QA＝QD+QC＝CD，
∵D的坐标为（2，0），
∴OD＝2，
∵正方形OABC的边长为6，
∴OC＝6，
∴CD=❑√62+22=2❑√10．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质、
正方形的性质是解答本题的关键．
3．（2023春•盐都区期中）如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．❑√8 B．2 C．3 D．4
【分析】作点E关于AC的对称点E'，连接DE'，则PD+PE的和最小即为DE'的长；证明△ADE'是等边
三角形，即可求解；
【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接DE'，
则PD+PE的和最小即为DE'的长；
由对称性可知：AE＝AE'，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE'＝AD，∵∠EAB＝60°，∠CAB＝45°，
∴∠EAE'＝30°，∠DAE＝30°，
∴△ADE'是等边三角形，
∵正方形ABCD的面积为9，
∴AD＝3，
∴DE'＝3，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，最短距离；掌握正方形和等边三角形的性质，利用对称性求最短距离
是解题的关键．
思路二 两个动点，求几条线段的和，作两个对称点
4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA
上，则MP+PQ+QN的最小值是 ❑√34 ．
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的
最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求
出M′N′即可．
【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，
在Rt△M′ON′中，
M′N′=❑√52+32=❑√34．
故答案为：❑√34．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是
解题的关键．
5．（2023•苍溪县一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边
BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（
）
3 9 4 3
A． B． C． D．
4 2 5 5
【分析】作E关于BC的对称点E'，点A关于DC的对称点A'，连接A'E'，四边形AEPQ的周长最小，
根据S四边形AEPQ ＝S正方形ABCD ﹣S△ADQ ﹣S△PCQ ﹣S△BEP ，即可解．
【解答】解：如图1所示，作E关于BC的对称点E'，点A关于DC的对称点A'，连接A'E'，四边形
AEPQ的周长最小，
∵AD＝A′D＝3，BE＝BE'＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．
∵DQ∥AE，D是AA'的中点，
∴DQ是△AA'E'的中位线，
1
∴DQ= AE′=2，CQ＝DC﹣CQ＝3﹣2＝1，
2
∵BP∥AE′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
BP BE′ BP 1
∴ = ，即 = ，
AA′ AE′ 6 4
3 3 3
∴BP= ，CP=BC−BP=3− = ，
2 2 2
S四边形AEPQ ＝S正方形ABCD ﹣S△ADQ ﹣S△PCQ ﹣S△BEP
1 1 1
＝9− AD•DQ− CQ•CP− BE•BP
2 2 2
1 1 3 1 3
=9− ×3×2− ×1× − ×1×
2 2 2 2 2
9
= ，
2
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三
角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形AEPQ的周长最小时，P、Q的位置．
思路三 两个动点，求两条线段的和，作一个对称点，结合垂线段最短
6．（2023春•厦门期中）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上
的动点，在点P和点Q运动的过程▱中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2❑√3 D．4❑√3
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作
FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值，
【解答】解：取BC的中点G，连接AG．∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，
∵CF＝CB，∠CBF＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∵PB＝PF，
∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE，
则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），
❑√3
∵EF= ×4＝2❑√3，
2
∴BP+PQ的最小值为2❑√3．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学
会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
思路四 两个动点，主从联动，找动点轨迹，根据垂线段最短
7．（2023秋•长沙期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线
❑√2
段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是 ．
2
【分析】设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，证明△AOC≌△CHB（AAS），推出HC＝OA，HB＝OC，可得点B的坐标为（m，m+1），推出点B的运动轨迹是直线y＝x+1，根据垂线段最短
解决问题即可．
【解答】解：设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HCB+∠B＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠HCB+∠ACO＝90°，
∴∠B＝∠ACO，
∵∠AOC＝90°，
∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴HC＝OA，HB＝OC，
∵点C（0，m），点A（1，0），
∴点B的坐标为（m，m+1），
∴点B的运动轨迹是直线y＝x+1，
∵直线y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），
∴OE＝OF＝1，EF=❑√2，
1 ❑√2
过点O作OT⊥EF于T．则OT= EF= ，
2 2
❑√2
根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为 ，
2
❑√2
故答案为： ．
2
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键
是正确寻找点B的运动轨迹，属于中考常考题型．
8．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH
的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 5 ．
【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB
＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据
直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
1 1
∴CG＝DH，OC= CG，OD= DH，
2 2
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
{AC=AD
)
AO=AO ，
CO=DO
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
1 1
∴OB= AB= ×10＝5，
2 2
即OB的最小值为5．故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含 30°角的直角三角形的性质，熟练掌握
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的
一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题．
9．（2022春•香洲区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上
作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为（ ）
A．❑√2 B．2❑√2 C．3❑√2 D．4❑√2
【分析】过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，根据题意，首先证出△ABE≌△EHF，得到FH﹣
1
BE，EH＝AB＝BC，进而证出△CHF为等腰直角三角形，得到 ∠FCH=45°= ∠DCH，当E在
2
BC上移动时，F点在∠DCH 的角平分线上移 动，当DF⊥CF时，DF最短．再证得△DFC为等腰
直角三角形，解这个直角三角形得 DC2＝2DF2，进一步再求出DF的最小值，从而得解．
【解答】解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠AEB+∠EAB＝90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF＝90°，AE＝EF，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEH＝180°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°，
∴∠EAB＝∠FEH，
∵FH⊥BC，
∴∠FHE＝∠B＝90°，
∴△ABE≌△EHF（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，
∴EH﹣CE＝BC﹣CE，
∴CH＝BE，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴∠FCH＝45°，
∵∠DCH＝90°，
1
∴∠FCH=45°= ∠DCH，
2
∴当E在BC上移动时，F点在∠DCH 的角平分线上移动，
∴当DF⊥CF 时，DF最短，
∵∠DCF＝45°，
∴△DFC 为等腰直角三角形，
∴DF＝FC，
∴DF2+FC2＝DC2，
∴DC2＝2DF2，
∵AB＝4，AB＝DC，
❑√2
∴DF= DC=2❑√2．
2
故选：B．
【点评】本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三
角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
10．（2023•天山区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3❑√3，点P在线段BC上运动（含
B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最3
小值为 ．
2
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用
全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结
论．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
{
BA=FA
)
∠BAP=∠FAQ ，
PA=QA
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
又∵AB＝AF＝3，
∴AF=❑√3EF，AE＝2EF，
∴EF=❑√3，AE＝2❑√3，
∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝3❑√3，
∴DE＝AD﹣AE=❑√3，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
1 ❑√3 3
∴EH= DE= ，DH=❑√3EH= ，
2 2 2
3
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为 ，
2
3
故答案为： ．
2
【点评】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角
形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点 Q
的在射线FE上运动，属于中考填空题中的压轴题．
思路五 两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短
11．（2023•新野县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接
AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 6❑√2 ．
1
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH= AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF
2
最小为6，由∠B＝45°确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF＝BF＝6，由勾股定理得：AB2＝BF2+AF2
求出BC即可．
【解答】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
1
∴GH∥AF，且GH= AF，
2要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF＝6，
∵∠B＝45°，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝6，
∴AB=❑√AF2+BF2=6❑√2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6❑√2．
故答案为：6❑√2．
【点评】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌
握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
12．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点
D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 3❑√2 ．
【分析】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角
三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=❑√AC2+BC2=❑√62+62=6❑√2，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，∴DE＝CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP＝BP，
1
∴CP= AB＝3❑√2，
2
∴DE的最小值为3❑√2，
故答案为：3❑√2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟
练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
13．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以
AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根
据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，
∴AB=❑√AC2−BC2=3，
又∵OC＝OA，
∴CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
1
∴OD= AB＝1.5，
2
∴DE＝2OD＝3．故选：A．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正
确理解DE最小的条件是关键．
14．（2022春•公安县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，
DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（ ）
A．2❑√2+2 B．4❑√2 C．3❑√2+4 D．2❑√2+3
【分析】先证得△ADE≌△CDP（SAS），得出AE＝CP，E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动
到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，由等腰直角三角形性质可得DE的最小值为
❑√2，即可求得答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝CD＝2，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√22+22=2❑√2，
∵△DEP中，∠EDP＝∠CDP+∠EDC＝90°，DE＝DP，
∴∠ADE＝∠CDP，
在△ADE和△CDP中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDP ，
DE=DP
∴△ADE≌△CDP（SAS），
∴AE＝CP，
∴CE+CP＝CE+AE＝AC∵E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小
值，
又∵AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
1
∴DE= AC=❑√2=AE＝CP，
2
又∵△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP，
∴EP=❑√DE2+DP2=❑√2+2=2，
∴△EPC的周长的最小值＝EP+CE+CP＝EP+AE+CE＝2+AC＝2+2❑√2．
故选：A．
【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾
股定理的计算．依据点到直线的距离垂线段最短，可得当DE⊥AC时，DE最小，即△CEP的周长最小，
这是解题的关键．
15．（2021•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点
直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ❑√6 ．
【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，证
明BF＝CK，则AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH=❑√3，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH=❑√3，
∴AC=❑√AH2+CH2=❑√(❑√3) 2+(❑√3) 2=❑√6，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
{∠BFD=∠CKD=90°
)
∠BDF=∠CDK ，
BD=CD
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为❑√6，
综上所述，AE+BF的最大值为❑√6，
故答案为：❑√6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题
的关键．
16．（2023春•上蔡县期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边
形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．
（2）∠ACG＝ 90 ° ；
（3）若AB＝2❑√2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．【分析】（1）根据正方形的性质得出DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，进而得出∠ADE＝
∠CDG，判断出△ADE≌△CDG，即可得出结论；
（2）先求出∠DAC＝∠DCA＝45°，再判断出∠DAE＝∠DCG，即可求出答案；
（3）先得出CG2+CE2＝EG2，进而得出EG2＝AE2+CE2，即可判断出AE2+CE2＝2DE2，进而得出当
DE⊥AC时，DE最小，此时，AE2+CE2最小，最后根据勾股定理即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG；
（2）解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
由（1）知，△ADE≌△CDG，
∴∠DAE＝∠DCG，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠DAE＝45°+45°＝90°，
故答案为：90°；
（3）解：如图，连接EG，
由（2）知，∠ACG＝90°，
根据勾股定理得，CG2+CE2＝EG2，
由（1）知，AE＝CG，
∴EG2＝AE2+CE2，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，∴EG2＝2DE2，
∴AE2+CE2＝2DE2，
∵点E是正方形ABCD的对角线上的点，
∴当DE⊥AC时，DE最小，此时，AE2+CE2最小，如图2，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝2❑√2，
根据勾股定理得，AC＝4，
1
在Rt△ADC中，DE= AC＝2，
2
∴AE2+CE2的最小值为2DE2＝2×22＝8．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，判断
出DE⊥AC时，AE2+DE2最小是解（3）的关键．
17．（2022•市北区校级二模）如图，已知AB＝2❑√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在
AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线
❑√6
AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．
2
【分析】连接QC、PC．首先证明∠PCQ＝90°，设AC＝2a，则BC＝2❑√2−2a，PC＝a，CQ=❑√3（❑√2−a）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：连接PC、CQ．
∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，
∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，
∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，
1 1
∴∠ECP= ∠ACE，∠FCQ= ∠BCF，
2 2
∴∠PCQ＝90°，
❑√3
设AC＝2a，则BC＝2❑√2−2a，PC＝a，CQ= BC=❑√3（❑√2−a）．
2
√ 3❑√2 3
∴PQ=❑√PC2+QC2=❑√a2+3(❑√2−a) 2=❑4(a− ) 2+ ．
4 2
3❑√2 ❑√6
∴当a= 时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是 ．
4 2
解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．
❑√6
故答案为： ．
2
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构建二次函数解决最值问题．
思路六 构造全等，利用三边关系求最值
18．（2023•陵城区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角
线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 4❑√2 ．【分析】如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE
（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可．
【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
1
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF= ∠ADC＝30°，
2
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），
∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT=❑√AB2+BT2=❑√42+42=4❑√2，
∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥4❑√2，
∴AE+AF的最小值为4❑√2，
故答案为4❑√2．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴
题．
19．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则
PA+PB+PC的最小值为 ❑√7 ．【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图
形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到 PA+PB+PC＝PP′
+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾
股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，
如图所示，
则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′，
∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，
❑√3
∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝2× =❑√3，
2
∴CB′=❑√(AC) 2+(AB′) 2=❑√(❑√3) 2+22=❑√7，
故答案为：❑√7．
【点评】本题考查全等三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出 PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是
数形结合的思想．
思路七 胡不归问题转化为将军饮马问题
20．（2021•罗湖区校级模拟）如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，
▱
❑√3
则PB+ PD的最小值等于（ ）
2
A．❑√3 B．3 C．3❑√3 D．2+2❑√3
❑√3 ❑√3
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP= PD，即PB+ PD
2 2
＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
EP ❑√3
∴sin∠EDP= = ，
DP 2
❑√3
∴EP= PD
2
❑√3
∴PB+ PD＝PB+PE
2
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
BE ❑√3
∵sin∠A= = ，
AB 2
∴BE＝3❑√3，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
思路八 造桥选址模型（将军遛马）转化为将军饮马模型
21．（2023春•凤阳县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB
上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3❑√2 D．2+❑√2
【分析】作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝
1，此时GE+CF的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB
上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD、AD＝BC＝2、DC＝AB＝4，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH＝CF，
∵G关于AB的对称点是G'、G为边AD的中点，
∴AB垂直平分GG'，
1
∴GE＝G'E、AG=AG′= AD=1，
2
∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，
∵DC＝4，AD＝2，
∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝DC﹣CH＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：HG′=❑√32+32=3❑√2，即GE+CF的最小值为3❑√2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确
的作出辅助线．
