文档内容
专题15 整式的乘法与因式分解50道计算专训（6大题型）
【题型目录】
题型一 同底数幂的乘法
题型二 幂的乘方与积的乘方
题型三 同底数幂的除法
题型四 乘法公式
题型五 因式分解
题型六 新定义计算
【题型一 同底数幂的乘法】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
2．（2020上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）计算：
(1)
(2)
3．（2023上·八年级课时练习）如果 ，求n的值．
4．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ．
5．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
6．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
7．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
8．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）回答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；(2)已知 ，求x的值．
9．（2021下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）在计算 时，小明发现每一个
加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是：
令 ，
，
，
即 ．
仿照上述做法，解决下列问题：
(1) ______．
(2)计算： （写出计算过程）．
10．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【题型二 幂的乘方与积的乘方】11．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
12．（2023上·福建福州·八年级统考期中）计算：
(1)已知 ，求n的值．
(2)已知 ，求m的值．
13．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）（1）已知 ，求
的值．
（2）已知 ，求 的值．
14．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）已知 ， ．
(1)求 和 的值．
(2)利用（1）中的结果，求 的值．
15．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ．求：
(1) ；
(2) 的值．16．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定
义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆
向运用表现为 ， ， （m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知 ，请把 用“<”连接起来： ____________．
(2)若 ，求 的值．
(3)计算： ．
17．（2023上·北京海淀·八年级校考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
18．（2022上·福建莆田·八年级校考期中）（1）已知 ， ， ， 为正整数，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
19．（2022上·四川宜宾·八年级校考期中）观察并验证下列等式：(1)续写等式： ；（写出最后结果）
(2)我们已经知道 ，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：
_______；（结果用因式乘积表示）
(3)利用上述结论计算：
20．（2022下·安徽·七年级校考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列
问题．
(1)计算：
① ；
② ．
(2)若 ，请求出n的值．【题型三 同底数幂的除法】
21．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
22．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）尝试解决下列有关幂的问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)若 为正整数，且 ，求 的值．
23．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
24．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期中）已知 ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
25．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下： ．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)如果 ，求出 的值；
(3)如果 ，请直接写出 的值．
26．（2023下·四川达州·七年级校考期末）计算：
(1) ．
(2)
(3) ．
27．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）已知
(1)求 的值；
(2)求 的值.28．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）计算
(1)已知 ， ，求： 的值．
(2) ，求： 的值．
29．（2023下·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
30．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ， ，求 的值．
【题型四 乘法公式】
31．（2023上·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ．(2)已知 ，求代数式 的值．
32．（湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）（1）先化简，再求值
，其中 ， .
（2）已知 是完全平方式，则m的值为______.（直接写出结果）
33．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
34．（2023上·甘肃天水·八年级校联考期中）先化简，再求值： ，其中
．
35．（2023上·福建福州·八年级校考期中）（1）已知a，b为实数．
①若 ， ，求 ，②若 ， ，分别求a，b的值．
（2）若a，b，x，y满足： ， ， ， ，求 的值．
36．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
37．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料1：①一个数的平方一定是非负数，如 ；②两个非负数的和也是非负数，如
；③一个非负数与一个正数的和是正数，如 ．
材料2：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
材料3：利用 可以将一个代数式 化为 的形式．
任务：
(1)将 化为 的形式．
(2)比较 与 的大小．
38．（2023上·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）我们知道，代数式的运算属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于 的代数式，并解决问题．
(1)如果 ，那么 的值是 ， 的值是 ；
(2)如果
求 的值：
求 的值．
39．（2023上·广东梅州·七年级统考期中）综合与实践
探索：根据表中所给 ， 的数值，分别填写下表中 和 的值．
， 的数
， ， ，
俉
发现：根据上表，你有什么发现？_________．
实践：请根据你的发现计算：
40．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知 ， ，求下列各式的值．
(1)求 的值；
(2)求 的值．【题型五 因式分解】
41．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）因式分解
(1)
(2)
42．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4) （十字相乘法）
43．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
44．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）把下列多项式分解因式：(1) ；
(2) ．
45．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ；
46．（2023上·北京西城·八年级北京十五中校考期中）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式 及 叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常
做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这
种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分
解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式 ，我
们可以进行以下操作： ，再利用平方差公式可得
；再如：求代数式 的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：
，于是由平方的非负性可知，当 时， 有最小值
.
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)若多项式 是一个完全平方式，则常数 ______．
(2)分解因式： ______，代数式 的最小值为______．47．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
(1) ；
(2) ．
48．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多
项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
；
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式＝____________
②因式分解： ；
(2)已知 ，且 ，求 的值．
49．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）阅读下列材料，回答问题．
(1)形如 型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③
一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得 ________．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
(2)利用（1）中的结论，分解因式：
① ________；
② ________；
③ ________．50．（2023上·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：
解：
以上解法中，在 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与
的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路，
(1)试把多项式 分解因式；
(2)试把多项式 分解因式．
【题型六 新定义计算】
51．（2023下·湖南永州·七年级统考期末）配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某
一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形
中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，
则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知13是“完美数”，请将它写成 （a，b是正整数）的形式______；
（2）若 可配方成 （m，n为正整数），则 ______；
【探究问题】
（3）已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．52．（2023上·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式
子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变
形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整数）的形式，
则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式：______；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ______．
探究问题；
（3）已知 ，则 ______．
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个k值，并说明理由．
53．（2023上·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，
这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 （a，b为实数），a叫
这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如
计算：
(1)填空：① ＝__________；② ＝____________
(2)若两个复数相等，则它们的实数部分和虚数部分分别相等，完成下列问题：已知 ，
（x，y为实数），求x，y的值．(3)求 的值
54．（2023上·山东济宁·九年级统考阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想．它是指将一个式子的某
一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，
并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整数）的形式，则称
这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 ．所以5是“完美数”．解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ；
探究问题：
（3）已知 ，求 的值；
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．
55．（2022上·黑龙江大庆·七年级校考期末）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，
这个数 叫做虚数单位，那么形如 ( ， 为实数)的数就叫做复数， 叫做这个复数的实部， 叫做这
个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似(实数将在八年级进行学习，实数包
括有理数)．例如： ； ；
.(1)填空： ________， ________；
(2)计算：
① ；
② ；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ( ，
为有理数)，求 的值；
(4)试一试，请利用以前学习的有关知识将 化简成 ( ， 为有理数)的形式．
56．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为 ，这个数i叫做虚数单位．那么形如 （a，b为实数）
的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，
乘法运算类似．
例如计算： ．
；
．
(1)填空： ______， ______；
(2)计算：① ；② ；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ，
（x，y为实数），求 的值．
(4)试一试：请你参照 这一知识点，将 （m为实数）因式分解成两个复数的积．57．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的
某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，
并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这
个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知 是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ．
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ．
【探究问题】
（3）已知 ，求 的值；
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．
58．（2022下·福建三明·七年级统考期中）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（ ， 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，
直到18世纪瑞士数学家欧拉（ ， 年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 ，则x叫做以a为底N的对数，记作 ．如指数式
可以转化为 ，对数式 可以转化为 ．我们根据对数的定义可得到对数的
一个性质：
，
理由如下：设 ， ，则 ， ．．
由对数的定义，得 ．
又 ，
．
解答下列问题：
(1)将指数式 转化为对数式：______．
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算： ．
59．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）阅读下列材料，回答问题：
材料一：我们定义一种新运算：我们把形如 这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：
．例如：； ； ．
材料二：在探究 的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：
，我们把这个公式叫作“差的
完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为： ．这两个
公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．(1)计算： ______； ______．
(2)已知 ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， ，求 的值．
60．（2023下·四川雅安·八年级统考期末）我们来规定下面两种数：
①平方和数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝（左边数）2+
（右边数）2，我们就称该整数是平方和数，例如：整数 ，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，
∵ ，∴ 是平方和数；再例如： ，∵ ，∴ 是一个平方和数；当然152，
这两个数也肯定是平方和数；
②双倍积数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝2×左边数×右边
数，我们称该整数是双倍积数；例如：整数 ，它的中间数是4，左边数是1，右边数是2，∵
，∴ 是一个双倍积数；再例如： ，∵ ，∴ 是一个双倍积数；当然， ，
也是一个双倍积数；
注意：在下列问题中，我们统一用字母a表示一个正整数分出来的左边数，用字母b表示一个正整数分出
来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位正整数为平方和数，且十位数字是4，则该三位整数是 ；如果一个三位正整数为双
倍积数，十位数字是8，则该三位整数是 ；
(2)若一个正整数既是平方和数，又是双倍积数，试探究a、b的数量关系，并说明理由；
(3)若正整数 为一个平方和数， 为一个双倍积数，求 的值．
