专题 16.1 开学摸底测试卷（满分 120）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024八年级·全国·竞赛）已知❑√6−1的整数部分为a，小数部分为b，则3a+2b的值为（ ）
A．2❑√6−1 B．2❑√6 C．2❑√6+1 D．5
【思路点拨】
本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用算术平方根的估算可
知2<❑√6<3，1<❑√6−1<2，即a=1，b=❑√6−2，由此即可求得结果．
【解题过程】
解：∵2<❑√6<3，
∴1<❑√6−1<2，
∴a=1，
∴1<❑√6−1<2，
∴b=❑√6−1−a=❑√6−2，
∴3a+2b=3+2(❑√6−2)=2❑√6−1．
故选：A．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用[x)表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2，
[❑√2]=1，则式子[❑√2]−[❑√3]+[❑√4]−[❑√5]+⋯+[❑√2022]−[❑√2023]+[❑√2024]的值为（ ）
（式子中的“+”，“−”依次相间）
A．22 B．−22 C．23 D．−23
【思路点拨】
本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中
的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【解题过程】
解：∵12=1，22=4，∴❑√2与❑√3之间共有2个数，
∵22=4，32=9，
∴❑√4与❑√8之间共有(2×2+1)个数，
∵32=9，42=16，
∴❑√9与❑√15之间共有(3×2+1)个数，
⋯，
∵442=1936，452=2025，
∴❑√1936与❑√2024之间共有(2×44+1)个数，
[❑√2]−[❑√3]+[❑√4]−[❑√5]+⋯+[❑√2022]−[❑√2023]+[❑√2024]
=(1−1)+(⏟2−2+2−2+2)+(⏟−3+3−3+⋯+3−3)+⋯+(⏟44−44+⋯+44)
5个2 7个3 89个44
=0+2−3+4−5+⋯+44
=2+⏟1+1+⋯+1
21个1
=23．
故选C．
3．（22-23七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点A(a,m+2)，B(b,4m+2)，C(c,−2)，
D(b+3,4)，其中b>a且b≠a+3．线段CD由AB平移得到，点A的对应点为点C．则下列结论：①
AC=BD；②AD∥x轴；③BC∥y轴；④若点P(a+❑√7,6−m)，则点P在线段AD上．正确的结论有
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拨】
本题考查坐标与平移，根据平移的性质，得到c=a+3,m=2，进而表示出A,B,C,D的坐标，逐一进行判
断即可．
【解题过程】
解：∵线段CD由AB平移得到，点A的对应点为点C，
∴AC=BD；故①正确；
∴c=a+3,−2−m−2=4−4m−2，
∴m=2，
∴A(a,4)，B(b,10)，C(a+3,−2)，D(b+3,4)，
∴AD∥x轴；故②正确；∵b≠a+3，
∴BC与y轴不平行；故③错误；
∵点P(a+❑√7,6−m)，m=2，
∴P(a+❑√7,4)，
∵b>a，
∴b+3>a+3>a+❑√7，
∴a+3>a+❑√7>a，
∴点P在线段AD上，故④正确；
故选：B．
4．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，将A(1,m2)，沿着y轴的负方向向下平移
2m2+3个单位后得到B点．有四个点M(1,−m2−4)，N(1,−2m2−3)，P(1,−m2)，Q(1,−3m2)一定
在线段AB上的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点O
【思路点拨】
根据平移的结果结合四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【解题过程】
解：∵将A(1,m2)沿着y的负方向向下平移2m2+3个单位后得到B点，
∴B(1,−m2−3)，
∵m2≥0，
∴−m2−3≤−3，
∴线段AB在y轴右侧，点A在点B上方，且与y轴平行，距离y轴1个单位，
∵−m2−4≤−4，
∴M(1,−m2−4)不在线段AB上，
∵−2m2−3≤−3，
∴N(1,−2m2−3)当m=0时，在线段AB上，当m≠0时，不在线段AB上，∵−3<0，则−m2−3<−m2，且m2≥−m2，
∴P(1,−m2)一定在线段AB上，
3
而当−3m2≥−m2−3时，此时0≤m2≤ ，此时Q(1,−3m2)在线段AB上，
2
3
当−3m2<−m2−3时，此时m2> ，此时Q(1,−3m2)不在线段AB上，
2
∴一定在线段AB上的是P点．
故选：C．
5．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组¿的解都为整数，且关于x的不等式组¿，恰
有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【思路点拨】
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式
组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答
案．
【解题过程】
12
{ x= )
{ax+3 y=12) a+1
解：解方程组 得： ，
x−3 y=0 4
y=
a+1
{ax+3 y=12)
∵方程组 的解为整数，
x−3 y=0
∴a+1＝±1、±2、±4，
解得：a=−2或0或1或−3或3或−5，
{2(x+1)<x+5) a−5
解不等式组 ，得： <x<3，
4x>a−5 4
{2(x+1)<x+5)
∵不等式组 有且仅有3个整数解，即整数解为：0、1、2，
4x>a−5
a−5
∴−1≤ <0，
4
解得：1≤a<5，满足条件的整数a有1、2、3、4，
综上所述：满足条件的整数a的值是1、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3=4．故选：D．
{x+ y=2a+1)
6．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知关于x，y的方程组 ，下列说法中正确的有
2x−y=7−a
（ ）个．
13
①当x= y时，a= ；②当x≥2y时，a的最小值为2；③a取任意实数，5x−y的值始终不变；④不存在
4
实数a，使2x=3 y成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．
{y+ y=2a+1)
由x= y，可得原方程组为 ，求解即可判断①；由原方程组可得出x−2y=6−3a，结合
2y−y=7−a
x≥2y，即得出6−3a≥0，求解即可判断②；由原方程组可得出5x−y=15，即说明a取任意实数，
x+ y−1
5x−y的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出 =−2x+ y+7，整理，得：5x−y=15．结
2
45 30 31
合2x=3 y，即可求出x= ，y= ，从而可求出a= ，即存在实数a，使2x=3 y成立，可判断④．
13 13 13
【解题过程】
{y+ y=2a+1)
解：①当x= y时，原方程组为 ，
2y−y=7−a
15
{ y= )
4
解得： ，故该项正确；
13
a=
4
{x+ y=2a+1①)
② ，
2x−y=7−a②
由②−①，得：x−2y=6−3a．
∵x≥2y，即x−2y≥0，
∴6−3a≥0，
解得：a≤2，即a的最大值为2，故该项错误；
{x+ y=2a+1①)
③ ，
2x−y=7−a②
由2②+①，得：5x−y=15，∴a取任意实数，5x−y的值始终不变，故该项正确；
{ x+ y−1 =a )
④原方程组可改为： 2 ，
−2x+ y+7=a
x+ y−1
∴ =−2x+ y+7，
2
整理，得：5x−y=15．
3 y
∵2x=3 y，即x= ，
2
3 y
∴5× −y=15，
2
30
解得：y= ，
13
3 30 45
x= × = ，
2 13 13
45 30 31
∴a=−2× + +7= ，即存在实数a，使2x=3 y成立，故该项错误．
13 13 13
综上可知正确的有2个．
故选B．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、
笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数
量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本
数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费
用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【思路点拨】
本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量×单价=总价，分别表示出乙采购和并采购的费
用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，
解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【解题过程】
解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为8x元，10 y元，25z元；
乙采购采购签字笔6x个、笔记本12y个、钢笔8z个，则费用分别为48x元，120 y元，200z元；丙采购采购签字笔3x个、笔记本9 y个、钢笔z个，则费用分别为24x元，90 y元，25z元；
根据题意得
{(8x+10 y+25z)+(48x+120 y+200z)+(24x+90 y+25z)=2850)
(24x+90 y+25z)−(8x+10 y+25z)=464
{8x+22y+25z=285①
)
整理，得
x+5 y=29②
由②得：x=29−5 y③，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
25z−18 y=53，
53+18 y
z= ，
25
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
53+18 y 53+18×5 143
∴当y=5时，z= = = =5.72（不符合题意），
25 25 25
53+18 y 53+18×4 125
当y=4时，z= = = =5（符合题意），
25 25 25
53+18 y 53+18×3 107
当y=3时，z= = = =4.28（不符合题意），
25 25 25
53+18 y 53+18×2 89
当y=2时，z= = = =3.56（不符合题意），
25 25 25
53+18 y 53+18×1 71
当y=1时，z= = = =2.84（不符合题意），
25 25 25
把y=4代入②得：x=9，
∴甲艺术中心采购总费用为9×8+4×10+5×25=237元，
故选：A．
8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=54°，将△ABC沿着射线BC方
向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接C A′，若在整个平移过
程中，∠AC A′和∠C A′B′的度数之间存在2倍关系，则∠AC A′不可能的值为（ ）．A．18° B．36° C．72° D．108°
【思路点拨】
本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点B′在BC上时，当点B′在BC延长线上
时，两种情况种又分①当∠AC A′=2∠C A′B′时，当∠C A′B′=2∠AC A′时，过点C作CG∥AB，证
明CG∥A′B′，得到∠ACG=∠BAC=54°，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
【解题过程】
解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，，
∴CG∥A′B′，
∴∠ACG=∠BAC=54°，
①当∠AC A′=2∠C A′B′时，
设∠C A′B′=x，则∠AC A′=2x，
∴∠A′CG=∠C A′B′=x，
∵∠ACG=∠AC A′+∠A′CG，
∴2x+x=54°，
解得：x=18°，
∴∠AC A′=2x=36°；
②当∠C A′B′=2∠AC A′时，
1
∴设∠C A′B′=x，则∠AC A′= x，
2
∴∠A′CG=∠C A′B′=x，
∵∠ACG=∠AC A′+∠A′CG，1
∴x+ x=54°，
2
解得：x=36°，
1
∴∠AC A′= x=18°；
2
第二种情况：当点B′在BC延长线上时，过点C作CG∥AB，
同理可得CG∥A′B′，
∴∠ACG=∠BAC=54°
①当∠AC A′=2∠C A′B′时，
设∠C A′B′=x，则∠AC A′=2x，
∴∠A′CG=∠C A′B′=x，
∵∠ACG=∠AC A′−∠A′CG，
∴2x−x=54°，
解得：x=54°，
∴∠AC A′=2x=108°；
②由于∠AC A′>∠C A′B′，则∠C A′B′=2∠AC A′这种情况不存在；
综上所述，∠AC A′的度数可以为18度或36度或108度，
故选：C．
9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，
∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC下列四个结论：①AB∥CD；②
∠FEN+∠FGH=2∠EHG；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG−∠EFM=180°．其中正确的
结论是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【思路点拨】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出AB∥CD，过点H作
HQ∥AB，由平行线的性质可得出②，设∠NEB=x，∠HGC= y，则∠FEN=2x，∠FGH=2y，
可判断③④．
【解题过程】
解：∵∠FMA=∠FGC，
∴AB∥CD，
∴①正确；
过点H作HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥HQ∥CD，
∴∠NEB=∠EHQ，∠QHG=∠HGC，
∴∠EHQ+∠QHE=∠NEB+∠HGC，
即∠EHG=∠NEB+∠HGC，
∵∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC
1 1
∴∠EHG= ∠FEN+ ∠FGH，
2 2
即∠FEN+∠FGH=2∠EHG，
∴②正确．
设∠NEB=x，∠HGC= y，则∠FEN=2x，∠FGH=2y，
由②知∠EHG=∠NEB+∠HGC=x+ y
作FP∥AB，
∴∠PFE=∠FEM,∠PFM=180°−∠FME，∠EFM=∠PFM−∠PFE
=180°−∠BMF−∠FEM
=∠BEF−∠FME
=∠BEF−∠AMG
=∠BEF−(180°−∠FGC)
=x+2x−(180°−2y−y)=3x+3 y−180°，
∴∠EHG+∠EFM=x+ y+3x+3 y−180°=4x+4 y−180°，无法判断是否为90°，
∴③错误；
∴3∠EHG−∠EFM=3(x+ y)−(3x+3 y−180°)=180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选：C．
10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间，连接
AP，CP．
下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若∠APC=α，∠PAB=β，则∠PCD=360°−α−β；
②如图2，点Q在AB，CD之间，∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，则
∠APC+3∠AQC=360°；
③如图3，∠PAB的角平分线交CD于点M，且AM∥PC，点N在直线AB，CD之间，连接CN，MN
1 ∠N n+1
，∠PCN=n∠NCD，∠AMN= ∠NMD，n>1，则∠P和∠N的关系为 = （用含n的式
n ∠P n−1
子表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质即可
求解；②过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，结合∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，即可得到结论；③过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，可
1
得∠APC=360°−(∠PAB+∠PCD)，过点N作NF∥AM，可得 BAP=180°−∠AMF，即
2
1
BAP=360°−2∠AMF，结合∠PCN=n∠NCD，∠AMN= ∠NMD，n>1，可得
n
n−1
∠MNC= ∠AMF，进而可得结论．
n+1
【解题过程】
解：①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∵∠PAB=β，
∴∠APQ=180°−β，
∵∠APC=α，
∴∠CPQ=α−180°+β，
∴∠PCD=180°−∠CPQ=180°−α+180°−β=360°−α−β；①正确；
②过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°−(∠PAB+∠PCD)，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，
1 1
∴∠BAQ= ∠PAB，∠DCQ= ∠PCD，
3 3
∴∠APC=360°−(∠PAB+∠PCD)=360°−3(∠BAQ+∠DCQ)=360°−3∠AQC,
∴∠APC=360°−3∠AQC，即∠APC+3∠AQC=360°，②正确；③过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，
∵PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，即∠APE=180°−∠PAB，
∵PE∥CD，
∴∠CPE=180°−∠PCD，
∴∠APC=360°−(∠PAB+∠PCD)
过点N作NF∥AM，
∵AM∥PC，
∴NF∥PC，
∴∠CNF=∠PCN，
∵NF∥AM，
∴∠FNM=∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMC，
∵AM平分∠BAP，
1
∴∠BAM= BAP，
2
∵∠AMC=180°−∠AMF，
1
∴ BAP=180°−∠AMF，
2
1
∵∠AMN= ∠NMD，∠AMN+∠NMD=∠AMF
n
1
∴∠AMN= ∠AMF，
n+1
1
∴∠FNM=∠AMN= ∠AMF，
n+1
∵∠PCN=n∠NCD，∠PCN+∠NCD=∠PCD，
n
∴∠PCN= ∠PCD，
n+1n
∴∠CNF=∠PCN= ∠PCD，
n+1
∴∠MNC=∠CNF−∠FNM，
n 1
∴∠MNC=∠CNF−∠FNM= ∠PCD− ∠AMF，
n+1 n+1
1
∵ BAP=180°−∠AMF，
2
∴BAP=360°−2∠AMF，
∴∠APC=360°−(∠PAB+∠PCD)=360°−(360°−2∠AMF+∠PCD)
=2∠AMF−∠PCD，
∵AM∥PC，
∴∠PCD=∠AMF，
∴∠APC=2∠AMF−∠AMF=∠AMF，
n 1 n 1 n−1
∴∠MNC= ∠PCD− ∠AMF= ∠AMF− ∠AMF= ∠AMF，
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
n−1
∠AMF
∴∠MNC n+1 n−1，③说法错误．
= =
∠APC ∠AMF n+1
综上，正确的有2个，
故选：C．
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
(
n+2)
11．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）当实数m，n满足m−2n=1时，称点 P m+2, 为创
3
{ 2x+3 y=4 )
新点，若以关于x，y的方程组 的解为坐标的点Q(x,y)为创新点，则a的值为 ．
2x−3 y=4a
【思路点拨】
( 2−2a)
用加减消元法解二元一次方程组，可到Q点坐标为 1+a， ，再由创新点的定义可得1+a=m+2
3
2−2a n+2
， = ，分别求出m、n，由于m、n满足等式m−2n=1，即可求a的值．
3 3
【解题过程】{ 2x+3 y=4① )
解：方程组 ，
2x−3 y=4a②
①+②，得x=1+a，
2−2a
将x=1+a代入①，得y= ，
3
( 2−2a)
∴Q 1+a， ，
3
( 2−2a)
∵点 1+a， 为创新点，
3
∴m=a−1，n=−2a，
∵m−2n=1，
∴a−1+4a=1，
2
∴a= ，
5
2
故答案为： ．
5
12．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，
其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(1,1)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，(3,1) ⋯，根据这个规律，第2025
个点的坐标为 ．
【思路点拨】
本题考查了图形的坐标变化规律，由第1个点的坐标为(1,0)，第9个点的坐标为(1,2)，第25个点的坐标为
(1,4)，得第(2n−1) 2个点的横坐标为1（n为正整数），由2025=(2×22+1) 2可得第2025个点的横坐标为
1，又由图可得当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于❑√n−1，据此即可求解，根据图形
找到点的坐标变化规律是解题的关键．
【解题过程】
解：由图可得，第1个点的坐标为(1,0)，第9个点的坐标为(1,2)，第25个点的坐标为(1,4)，∴第(2n−1) 2个点的横坐标为1（n为正整数），
∵2025=(2×22+1) 2，
∴第2025个点的横坐标为1，
又当点的横坐标为1，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于❑√n−1，
∵❑√2025=45，
∴第2025个点的纵坐标为❑√2025−1=44，
∴第2025个点的坐标为(1,44)，
故答案为：(1,44)．
13．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组¿有且只有2个奇数解，且关于y的方程
2+ y
a− =3−y解为整数．则符合条件的所有整数a的和为 ．
3
【思路点拨】
a+1 16
本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得 <x< ，由不等式
3 5
a+1 11−3a
组的解的情况得−1≤ <1，即得−4≤a<2，再由一元一次方程得y= ，根据方程的解为整数
3 2
可得a=−3或−1或1，再把整数a的值相加即可求解，根据不等式组确定出a的取值范围是解题的关键．
【解题过程】
解：¿，
16
由①得，x< ，
5
a+1
由②得，x> ，
3
a+1 16
∴ <x< ，
3 5
∵不等式组有且只有2个奇数解，
a+1
∴−1≤ <1，
3
a+1
{ <1 )
3
即 ，
a+1
≥−1
3解得−4≤a<2，
2+ y 11−3a
由方程a− =3−y得，y= ，
3 2
∵方程的解为整数，
∴a=−3或−1或1，
∴符合条件的所有整数a的和−3−1+1=−3，
故答案为：−3．
14．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期中）在平面直角坐标系xOy中，A(2,0)，B(0,2)，C(m,4)，三角形
ABC的面积为4，则m的值为 ．
【思路点拨】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键．对于多种情况的问题，要
注意分类讨论．
当点C在y轴右侧时，过点C作CD⊥y轴于D，S =梯形CDOA的面积−S −S ，列出含m的
△ABC △BCD △OAB
方程求解即可；当点C在y轴左侧时，记为C′，S =S −S −S 列出含m的方程求解即可．
△ABC′ △ACC′ △ABC △BCC′
【解题过程】
解： ①当点C在y轴右侧时，过点C作CD⊥y轴于D，
则CD=m，OD= y =4，OB=2，OA=2．
c
1
∴梯形CDOA的面积为： ×(m+2)×4=2m+4，
2
又∵ BD=OD−OB=4−2=2，
1 1 1 1
∴ S = ×CD×BD= ×m×2=m，S = ×OA×OB= ×2×2=2．
△BCD 2 2 △OAB 2 2
∴ S =梯形CDOA的面积−S −S =2m+4−m−2=m+2=4，
△ABC △BCD △OAB
∴ m=2．
②当点C在y轴左侧时，记为C′，即C′(m,4)，∴ y = y = y =4．
C′ D C
连接C′D，则C′D⊥y轴，
∴ C′D=|x )=−m，
C′
又∵ BD= y −y =4−2=2，
D B
1 1 1
∴ S = ×CC′×BD= (CD+C′D)×BD= ×(2−m)×2=2−m，
△BCC′ 2 2 2
1 1 1
S = ×AC′×CC′= (CD+C′D)×4= ×(2−m)×4=4−2m．
△ACC′ 2 2 2
由①可知x =2=x ，S =4，∴ AC⊥x轴，∴ AC= y −y =4，
C A △ABC C A
∴ S =S −S −S =4−2m−4−(2−m)=4，
△ABC′ △ACC′ △ABC △BCC′
∴ 4−2m−4−2+m=4，
解得：m=−6．
综上所述，m=2或m=−6．
故答案为：2或−6．
15．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，
60°<∠PQC<90°，如图所示，射线PB按顺时针方向绕P点以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并
不断往返旋转；射线QC按顺时针方向绕Q点每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．若射线
QC先转42秒，射线PB才开始转动，在CQ到达DQ前，当射线PB旋转的时间为 秒时，
PB'∥QC'．
【思路点拨】
设射线PB旋转的时间为t秒，分三种情况：①当0<t≤38时，②当38<t≤90时，③当90<t≤138时，根
据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
【解题过程】
解：设射线PB旋转的时间为t秒，
∵射线QC绕Q点每秒旋转1°，射线QC先转42秒，射线PB才开始转动，∴射线QC还需旋转138秒到达QD，
∴0<t≤138．
①如图，当0<t≤38，
∠BPB′=(4t)°，∠CQC′=42°+t°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠BPB'=(4t)°，
∵PB′∥QC′，
∴∠CQC′=∠PFC，
∴42+t=4t，
解得t=14．
②如图，当38<t≤90时，
∠APB′=(4t−180)°，∠CQC′=42°+t°，
∵AB∥CD，
∴∠PFQ=∠APB′=(4t−180)°，
∵PB′∥QC′，
∴∠PFQ+∠CQC′=180°，
∴(4t−180)+(42+t)=180，
解得t=63.6．
③如图，当90<t≤138时，∠BPB′=(4t−2×180)°=(4t−360)°,∠CQC′=42°+t°，
∵AB∥CD，
∠PFC=∠BPB′=(4t−360)°，
∵PB′∥QC′，
∴∠PFC=∠CQC′，
∴4t−360=42+t，
解得t=134，
综上，在CQ到达DQ前，当射线PB旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒．
故答案为：14或63.6或134．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（6分）（23-24七年级下·四川遂宁·期末）解方程（组）或不等式（组）
{2x−3 y=3①)
（1）解方程组： ；
x+2y=−2②
2x−1 5x+1
（2）解不等式： − ≤1；
3 2
{1
(5−2x)≥
2(2x−5)
①)
2 3
（3）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
5x+30
>1−2x②
4
【思路点拨】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法．解题关键是熟悉解题步骤，并严格按照解题步骤进行解题．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）根据解一元一次不等式步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1解不等式即可；
（3）先分别求出两个不等式的解集，求出公共部分，并把不等式组的解集表示出来即可．
【解题过程】
（1）解：由①−②×2，得−7 y=7，
解得y=−1，
把y=−1代入②，得x=0，
{ x=0 )
故方程组的解为 ；
y=−1
（2）解：去分母得，2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
去括号得，4x−2−15x−3≤6，
移项得，4x−15x≤6+2+3，
合并同类项得，−11x≤11，
系数化为1得，x≥−1；
5
（3）由①得：x≤ ，
2
由②得：x>−2，
5
则不等式组的解集为−2<x≤ ，
2
将解集表示在数轴上如下：
17．（6分）（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲
五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生．根据调查数据进行整理，绘制了不完整的统计图．
请你根据信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人，在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心
角大小是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据以上统计分析，估计该校3000名学生中最喜爱新闻的人数．
【思路点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．
（1）由“新闻”类人数及百分比可得总人数，由总人数及“戏曲”类百分比可得其人数，求出“体育”
类所占百分比，再乘以360°即可；
（2）根据（1）中数据补图即可；
（3）用样本中“新闻”类人数所占百分比乘以总人数3000即可．
【解题过程】
（1）解：本次共调查学生：4÷8%=50（人），
最喜爱戏曲的人数为：50×6%=3（人）；
18
∵娱乐类人数占被调查人数的百分比为： ×100%=36%，
50
∴体育类人数占被调查人数的百分比为：1−8%−30%−36%−6%=20%，
∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是360°×20%=72°；
故答案为：50，3，72°．
（2）补条形统计图为：（3）3000×8%=240（人），
答：估计该校3000名学生中最喜爱新闻的人数有240人．
18．（8分）（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数a，我们规定：用符号[❑√a)表示不大于❑√a的最大
整数，称[❑√a)为a的根整数，例如：[❑√9)=3，[❑√10)=3．
（1）仿照以上方法计算：[❑√4)=________；[❑√37)=________；
（2）若[❑√x)=1，写出满足题意的正整数x的值_________；
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，
[❑√10)=3→[❑√3)=1，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解
过程．
（4）只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【思路点拨】
本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，
（1）根据题意得22=4，62=36，72=49，则6<❑√37<7，即可得；
（2）根据[❑√x]=1，12=1，22=4，x为正整数，即可得；
（3）根据题意得，第一次：[❑√400]=20；第二次：[❑√20]=4；第三次：[❑√4]=2，第四次：[❑√2]=1，
即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3
的正整数最大为15，即可得；
解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．【解题过程】
（1）∵22=4，62=36，72=49，
∴6<❑√37<7，
∴[❑√4]=2，[❑√37]=6，
故答案为：2，6；
（2）∵[❑√x]=1，12=1，22=4，x为正整数，
∴x=1或x=2或x=3，
故答案为：1，2，3；
（3）∵第一次：[❑√400]=20，
第二次：[❑√20]=4，
第三次：[❑√4]=2，
第四次：[❑√2]=1，
∴第四次之后结果为1；
（4）（4）最大的是15，理由如下，
由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵[❑√15]=3，[❑√16]=4，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，
故答案为：15．
19．（8分）（23-24七年级下·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息1~3，探索完成设计购买方
案的任务1~3．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为A，B，C三
类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买
一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份
C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几
种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【思路点拨】
本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式．
任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可；
任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为(40−2a)人，根据题意列不等式组解答即可；
任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品(40−2m−n)份，根据题意列出不等式组，解得关于
m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案．
【解题过程】
解：任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：
{2x+3 y=220)
3x+3 y=230
{x=50)
解得：
y=40
答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．
任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品(40−2a)份，得
{ a>10 )
a<40−2a
40
解得：10<a< ，
3
∵a为正整数，
∴a可取的值有11，12，13．
答：此次购买A奖品共有3种购买方案．
任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份，
则B奖品份数为：40−m−(m+n)=40−2m−n，依题意得：
{50m+40（40−2m−n）+15n≤1150)
，
m<40−2m−n
{ n≥18− 6 m) 6
解得： 5 ，即18− m≤n<40−3m，
5
n<40−3m
6
∴18− m<40−3m
5
110
∴m<
9
∵m、n均为正整数，∴ m可以取的值有：12，11，10，9，8，7，6，5，3，4，2，1
6 18
当m=12时，18− ×12≤n<40−3×12，即 ≤n<4，无解
5 5
6 24
当m=11时，18− ×11≤n<40−3×11，即 ≤n<7，所以n=6
5 5
∴m=11，n=6，此时A奖品人数最多
方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为11×50+6×15+12×40=1120
（元），符合题意．
故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
20．（10分）（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知x ，x 是不等式组解集中的解，若存在一个a，使
1 2
x +x =2a，我们把这样的x ，x 称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”．
1 2 1 2
（1）当a=0时，下列不等式组存在“关联解”的是_________．
{ x+1>2 )
{−x+1<2
) {3x<2x+1)
A． B． 1 C．
2x>x+4 x>x−1 2x<x−2
2
{ 3 x− 1 ≥x−2 )
（2）不等式组 2 2 的解集上存在“关联解”，若x =−2，“关联系数a”的取值范围为
1
2x+a≤x+2a+5
_________．
（3）不等式组 { x≥−a−1 ) 的解集存在关联解，x =8−a，若a+b+c=12，且 2a+10b+10c 是整
3x≤2x+2a 1 16
数，直接写出“关联系数a”的值_________．
【思路点拨】
本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法
是解此题的关键．
（1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可；
（2）先求出不等式组的解集是−3≤x≤a+5，求出x =2a+2，根据题意得出不等式组并求出即可．
2
{−a−1≤8−a≤2a )
（3）先求出不等式组的解集是−a−1≤x≤2a，根据“关联解”定义得出 解出a的
−a−1≤3a−8≤2a
2a+10b+10c
范围，结合 是整数即可求出结论．
16
【解题过程】{ x+1>2① )
（1）解：A． ，
2x>x+4②
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x>4，
当a=0时，不存在x +x =2a=0，
1 2
{−x+1<2①
)
B． 1 ，
x>x−1②
2
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x<2，
1 1
当a=0，x =− ，x = 时，存在x +x =2a=0，
1 2 2 2 1 2
{3x<2x+1①)
C．
2x<x−2②
解不等式①得：x<1，
解不等式②得：x<−2，
当存在x +x =2a=0，
1 2
当a=0时，不存在x +x =2a=0，
1 2
故选：B；
{ 3 x− 1 ≥x−2① )
（2） 2 2 ，
2x+a≤x+2a+5②
解不等式①得：x≥−3，
解不等式②得：x≤a+5，
∴不等式组的解集是−3≤x≤a+5，
若x =−2，且x +x =2a，
1 1 2
∴x =2a+2，
2
∴−3≤x ≤a+5，
2
∴−3≤2a+2≤a+5
∴−5≤2a≤a+3，
∴−2.5≤a≤3，
故答案为：−2.5≤a≤3；
{ x≥−a−1① )
（3） ，
3x≤2x+2a②解不等式①得：x≥−a−1，
解不等式②得：x≤2a，
∴不等式组的解集是−a−1≤x≤2a，
若x =8−a，且x +x =2a，
1 1 2
∴x =3a−8，
2
{−a−1≤x ≤2a)
∴ 1 ，
−a−1≤x ≤2a
2
{−a−1≤8−a≤2a )
∴ ，
−a−1≤3a−8≤2a
8
解得： ≤a≤8，
3
∵a+b+c=12，
∴b+c=12−a，
2a+10b+10c 2a+10(12−a) 15−a
∴ = = ，
16 16 2
2a+10b+10c 8
∵ 是整数， ≤a≤8，
16 3
∴a=3,5,7．
故答案为：3,5,7.
21．（12分）（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）【问题背景】如图，MN∥PQ，直线AB交MN
于点A，交PQ于点B，点C在线段AB上，过C作射线CE,CF分别交直线MN,PQ于点
E,F,∠ECF=90°．
（1）如图1，求∠AEC+∠BFC的度数；
【变式迁移】
（2）如图2，T在CF延长线上，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G，求∠G度数；
【拓展创新】
（3）如图3，当∠ABP=60°,∠ACE=20°时，射线FT绕点F以10°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，0<t<20，当射线FT与△AEC的一边互相平行时，求出t的值．
【思路点拨】
本题主要考查了平行线的判定与性质、一元一次方程的应用、旋转的性质等知识点，熟练掌握平行线的判
定与性质及分类讨论是解题的关键．
（1）过点C作CH∥MN，利用平行线的性质可得∠AEC=∠ECH，∠BFC=∠HCE，再结合已知条
件计算即可解答；
（ ）根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和，通过等量代换，即可解答；
（3）根据FT的旋转速度，分AE∥FT′、CE∥FT′、AC∥FT′三种情况分别运用平行线的性质列方
程求解即可．
【解题过程】
（1）解：如图：过点C作CH∥MN，
∴∠AEC=∠ECH，
∵MN∥PQ，
∴CH∥PQ，
∴∠BFC=∠HCF，
∵∠ECF=90°，
∴∠AEC+∠BFC=∠ECH+∠HCF=∠ECF=90°；
（2）解：如图：EG、PQ交于点H，
设∠MEG=∠CEG=α，∠PFG=∠TFG=β，
∴∠AEC=180°−2α，∠BFC=∠PFT=2β，
由（1）得∠AEC+∠BFC=∠ECF，∴2β+180°−2α=90°，即：α−β=45°，
又∵∠G+∠PFG=∠G+β=∠PHG=∠EHF=∠MEG=α，
∴∠G=α−β=45°；
（3）解：∵∠ACE=20°，∠ACE+∠ECF+∠BCF=180°，∠ECF=90°,
∴∠BCF=70°，
∵∠ABP=60°，
∴∠PFT=∠BFC=180°−∠BCF−∠ABP=50°，
①当FT旋转到在射线FP上时，有AE∥FT′，∠T′FT=∠PFT=50°
此时，10t=50，解得:t=5（秒）
②当FT旋转到FT′平行于射线CE时，有CE∥FT′，
则∠G′FT=∠ECF=90°，
∴∠T′FT=∠ECF=90°,
∴10t=90，解得：t=9；
③当FT旋转到FT′平行于射线CA时，有AC∥FT′，
则∠T′ET=∠ACF=∠ACE+∠ECF=110°，此时，10t=110，解得:t=11（秒）综上，当射线FT与△AEC的一边互相平行时，t的值为5、9、11秒．
22．（12分）（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△≝¿中，
∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠≝=60°，∠DFE=30°．
（1）若△≝¿如图①摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM；
（2）如图②，△ABC的边AB在直线MN上，△≝¿的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一
直线上．当△ABC固定，将△≝¿沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA
的平分线GH，FH，两线相交于点H（图③），求∠GHF的度数；
（3）若图②中△≝¿固定，将△ABC绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至BC与直线
BM首次重合的过程中，请求出当△ABC的一边与△≝¿的一边平行时旋转的时间．
【思路点拨】
本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题
关键．
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图3， 分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答
案；
（3）如图2， 过点E作EK∥MN利用平行线性质即可求得∠QDF=75°；分四种情况：①当AC∥DE
时，同时BC∥DF， ②当BC∥EF时， ③当BA∥EF时，④AB∥DF⑤AB∥DE时，分别求出旋
转角度求解即可．
【解题过程】
（1）证明：在△≝¿中， ∠EDF=90°， ∠DFE=30°， ∠≝=60°，
∵ED平分 ∠PEF，
∴∠PEF=2∠PED=2∠≝=2×60°=120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE=180°−∠PEF=180°−120°=60°，
∴∠MFD=∠MFE−∠DFE=60°−30°=30°，
∴∠MFD=∠DFE，∴FD平分∠EFM；
（2）如图3，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ ，
∴∠LFA=∠BAC=45°，∠RHG=∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF+∠GFL=180°，∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH，FH，两线相交于点H，
1 1
∴∠QGH= ∠FGQ,∠HFA= ∠GFA，
2 2
∵∠DFE=30°，
∴∠GFA=180°−∠DFE=150°，
1
∴∠HFA= ∠GFA=75°，
2
∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°，
∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150° −45°=105°，
1 1
∴∠RHG=∠QGH= ∠FGQ= ×(180°−105°)=37.5°，
2 2
∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°；
（3）如图2， 过点E作EK∥MN，
∴∠BAC=45°，
∴∠KEA=∠BAC=45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，∴∠PDE=∠DEK=∠≝−∠KEA，
又∵∠≝=60°，
∴∠PDE=60°−45°=15°，
∴∠QDF=180°−∠PDE−∠EDF=180°−15°−90°=75°，
①当AC∥DE时，同时BC∥DF，如图，设AB与DF相交于点H，过点H作HK∥PQ，
∴∠CGH=∠D=90°，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠AHG=45°，
∴∠DHB=180°−∠AHG=135°，
∵HK∥PQ，
∴∠KHD=∠QDF=75°，
∴∠KHB=∠DHB−∠KHD=135°−75°=60°，
∴MN∥PQ，
∴HK∥MN∥PQ，
∴∠KHB=∠ABN=60°，
180
∴旋转时间为60÷ =40s；
120
②当BC∥EF时，如图，设AB与EF相交于点H，过点H作HK∥PQ，过点E作EL∥PQ，
∴∠AHE=∠ABC=45°
∵∠LEF=∠EHK=60°−15°=45°，
∴∠AHK=∠ABM=90°，∴∠ABN=90°，
180
∴旋转时间为90÷ =60s；
120
③当BA∥EF时，如图，过点E作EL∥PQ，延长EF交MN于点K，
则∠EKB=45°，
∴∠ABN=180°−∠EKB=180°−45°=135°，
这时BC在MN上停止运动，
180
∴旋转时间为135÷ =90s；
120
④AB∥DF时，如图，延长DF交MN于M′，
∴∠DM′N=∠ABN，
∵PQ∥MN，
∴∠DM′N=180°−∠QDF=105°，
∴∠ABN=105°，
180
∴旋转时间为105÷ =70s；
120
⑤AB∥DE时，如图，延长BA交PQ于K，∴∠DKB=∠PDE=15°，
∵PQ∥MN，
∴∠ABN=∠DKB=15°，
180
∴旋转时间为15÷ =10s；
120
综上所述，当运动40s或60s或70s或90s或10s时，△ABC的一边与△≝¿的一边平行．
23．（13分）（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，点M(0,a−3),N(b,0)，且满足
(b−a+8) 2+❑√5−a=0．
（1）直接写出M、N的坐标：M ，N ；
（2）点P以每秒2个单位长度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴正半
轴运动，直线NP,MQ交于点D，设点P,Q运动的时间为t秒．
①当1<t<2时，求证：S =S ；
三角形MPD 三角形NQD
②如图2，当∠QMN+∠PNM=180°时，在线段MQ上任取一点E，连接EO．点G为∠OEQ的角平分
1
线上一点，且满足∠GNP= ∠ONG．请将图2补全，并求∠NOE、∠OEG、∠G之间的数量关系．
2
【思路点拨】
本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应用，作出
合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由非负数的性质可得：a=5，b=−3，从而可得答案；
（2）利用三角形的面积公式证明S =S ，再进一步可得答案；
△PON △MOQ
（3）先根据题意补全图形，设∠OEG=∠QEG=x°，设∠GNP= y°，则∠ONG=2y°，再证明
∠NOE=3 y°+2x°，∠OEG+∠NGE=2x°+ y°，再进一步可得答案．
【解题过程】（1）解：∵(b−a+8) 2+❑√5−a=0，
∴b−a+8=0，5−a=0，
解得：a=5，b=−3，
∴点M(0,2),N(−3,0)，
故答案为：(0,2),(−3,0)；
（2）①当1<t<2时，OP=2t−2，OQ=3t−3，
1 1
∴S = ×3(2t−2)=3t−3，S = ×2(3t−3)=3t−3，
△PON 2 △MOQ 2
∴S =S ，
△PON △MOQ
∴S +S =S +S ，
△PON 四边形POQD △MOQ 四边形POQD
∴S =S ；
△DNQ △DMP
②如图，补全图形如下：
当点G在NP上方时，
∵点G为∠OEQ的角平分线上一点，
∴设∠OEG=∠QEG=x°，
1
∵∠GNP= ∠ONG，
2
设∠GNP= y°，则∠ONG=2y°，
如图，∵∠QMN+∠PNM=180°，
∴MQ∥PN，
过G作¿∥MQ，
∴MQ∥GT∥PN，
∴∠TGN=∠PNG= y°，∠TGE=∠QEG=x°，
∴∠NGE=x°+ y°，过O作OK∥MQ，而MQ∥PN，
∴MQ∥OK∥PN，
∴∠KON=∠ONP=3 y°，∠KOE=∠OEQ=2x°，
∴∠NOE=3 y°+2x°，
而∠OEG+∠NGE=2x°+ y°，
∴3∠OEG+3∠NGE=6x°+3 y°，
∴3∠OEG+3∠NGE=2x°+3 y°+4x° =∠NOE+4∠OEG，
∴∠NOE+∠OEG=3∠NGE；
当点G在NP下方时，
，
∵点G为∠OEQ的角平分线上一点，
∴设∠OEG=∠QEG=x°，
1
∵∠GNP= ∠ONG，
2
设∠GNP= y°，则∠ONG=2y°，
∵∠QMN+∠PNM=180°，
∴MQ∥PN，
过G作¿∥MQ，
∴MQ∥GT∥PN，
∴∠TGN=∠PNG= y°，∠TGE=∠QEG=x°，
∴∠NGE=x°−y°，
过O作OK∥MQ，而MQ∥PN，
∴MQ∥OK∥PN，
∴∠KON=∠ONP=2y°，∠KOE=∠OEQ=2x°，
∴∠NOE=2y°+2x°，而∠OEG+∠NGE=2x°+ y°，
∴3∠OEG+3∠NGE=6x°+3 y°，
∴3∠OEG+3∠NGE=2x°+3 y°+4x° =∠NOE+4∠NGE，
∴∠NOE+∠NGE=3∠OEG．
