文档内容
专题17.1 勾股定理（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】勾股定理
1. 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2. 符号语言：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b斜边长为c，那么a2+b2=c2
【知识点二】勾股定理的验证
我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用了勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进
行证明.最早对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽，他以“弦图”为基本图形，后人称之
为“赵爽弦图”，利用“出入相补”原理证明了勾股定理.运用拼图的方式，即利用两种不同
的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理.
【知识点三】勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤
（1）从实际问题中抽象出几何图形；
（2）确定与问题相关的直角三角形；
（3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
（4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
（1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
（2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
（3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
（4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
【考点目录】
【考点1】用勾股定理解直角三角形； 【考点2】用勾股定理解决网格上的问题；
【考点3】用勾股定理解折叠问题； 【考点4】勾股定理的证明；
【考点5】通过勾股定理构造直角三角形解决问题；
【考点6】通过勾股定理解决最值问题；【考点一】用勾股定理解直角三角形
【例1】（2024上·江苏·九年级统考期末）在 中， ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．（结果保留根号）
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理：
（1）过点B作 于点D，根据直角三角形的性质可得 ，再由 是等腰直角
三角形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出 的长，可得 的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解．
（1）解：如图，过点B作 于点D，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积为 ．
【变式1】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， 交 于 ，
若 ， ，则 （ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理；由 可判定 ，由全等三
角形的性质得 ，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能证出
是解题的关键．
解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
在 中，，
，
；
故选：A．
【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ，点B在
上，且 ， 与 关于 对称，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理、含有 角的直角三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握相关知识
是解答的关键．根据含有 角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质分别表示出 、 ，再根
据轴对称得 ，即可表示出 ．
解： 中， ，
，
，
，
，
与 关于 对称，
，，
故答案为：
【考点二】用勾股定理解决网格上的问题
【例2】（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中， 顶点分别是
， ， ．
（1）在图中作出 关于 轴对称的 ；
（2）直接写出对称点坐标 ________， ________；
（3）在图中第一象限格点中找出点 ，使 ，且同时 ．（无需计算过程，请把点画
清楚一些）
【答案】（1）作图见分析；（2） ， ；（3）作图见分析．
【分析】（ ）根据关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到 、
、 ，顺次连接 、 、 ，得到 ，即为所求；
（ ）根据（ ）即可求解；
（ ）根据勾股定理，即可找到符合条件的点 ；本题考查了作轴对称图形，勾股定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：由（ ）可得， ， ，
故答案为： ， ；
（3）解：如图，点 即为所求．
理由：由勾股定理可得， ， ，
故点 为所要找的点．
【变式1】（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图， 的顶点 ， ， 在边长为1的正方
形网格的格点上，则 边长的高为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的
面积和 ，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：根据网格特点， ， ，
∴ 边长的高为 ，
故选：B．
【变式2】（2023上·北京延庆·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，则
．（点 是网格线交点）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长
交格点于 ，连接 ，证明出 是等腰直角三角形，得出 ，再根据三角形外角的定义
及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图：延长 交格点于 ，连接 ，， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为： ．
【考点三】用勾股定理解决折叠问题
【例3】（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，长方形 的 边在 轴上， 边在
轴上， ， ，在边 上取一点 ，使 沿 折叠后，点 落在 轴上，记作点 ．
（1）请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；
（2）求点D的坐标；
（3）求点E关于y轴的对称点 的坐标．
【答案】（1） ； ； ；（2） ；（3） ．
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化 对称，解决本题的关键是
掌握折叠的性质．
（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）根据折叠的性质和勾股定理即可得 的长，进而可得点 的坐标；
（3）根据折叠的性质和勾股定理即可得 的长，可得点 的坐标，进而求解．
（1）解： 四边形 是矩形，
∴ ， ，∴点 的坐标 、点 的坐标 和点 的坐标 ；
故答案为： ； ； ；
（2）解：由折叠可知： ，
在 中，根据勾股定理，得
，
∴点 的坐标 ；
（3）解：在 中， ， ，
根据勾股定理，得
，
，
解得 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∴点E关于y轴的对称点 的坐标为 ．
【变式1】（2023上·山东济南·八年级统考期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对
角线 上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．
首先利用勾股定理计算出 的长，再根据折叠可得 ，设 ，则，再根据勾股定理可得方程 ，再解方程即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴根据勾股定理得 ，
根据折叠可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中： ，即 ，
解得： ，
故答案为：B．
【变式2】（2024上·江苏常州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，点 在斜边 上，将 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处，则 的周长为
．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得， ， ，则 ，
，再由 的周长 ，即可求解．
解：由折叠可得， ， ，
， ，
，
，
，
，
的周长 ．
故答案为： ．【考点四】勾股定理的证明
【例4】（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图， 为 上一点， ， ，
， ， 交于点 ，且 ．
（1）判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
（2）连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1） ．理由见分析；（2）见分析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
（1）根据 证明 ，可得答案；
（2）根据 ，可得答案．
解：（1） ．
理由如下：
， ，
．
又 ，
．
， ，
．在 和 中， ，
．
， ．
又 ，
．
（2） ，
，
，
．
【变式1】（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国
家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法
证明即可．
解：A、 ， 整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、 ， 整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、 ， 整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项
不符合题意；
D、 ， 根据图形不能证明勾股定理；故选：D．
【变式2】（2024上·福建泉州·八年级统考期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使
点 ， ， 在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于 ， ， 的代数恒等式，则这
个恒等式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决
问题是解题的关键．先证 是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论．
解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点五】通过勾股定理构造直角三角形解决问题
【例5】（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘
小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若 米， 米， 米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）（2）此人以 米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在 秒内将船从A处移动到岸边点
F的位置？
【答案】（1） 米；（2）不能
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出 的长是解题的关键．
（1）根据勾股定理求 的长，然后作差求解即可；
（2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可．
（1）解：∵ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴求男子需向右移动的距离为 米；
（2）解：由题意知，需收绳的绳长 （米），
∴此人的收绳时间为 秒，
∵ ，
∴该男子不能在 秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
【变式1】（2024上·山东烟台·七年级统考期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高
度估计为 ，倒下后树顶落在距树根部大约 处．这棵大树离地面约（ ）米处折断
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是关键．
解：如图，由题意知： ，
设 ，
，
，
，
解得： ，
∴这棵大树离地面约 ，
故选：C．
【变式2】（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，
离地 米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正
对门，缓慢走到离门 米的地方时（ 米），感应门自动打开，则 米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点 作 于点 ，构造 ，利用勾股定理求
得 的长度即可．
解：如图，过点 作 于点 ，
米， 米， 米，
（米）．
在 中，由勾股定理得到 （米），故答案为： ．
【考点六】通过勾股定理解决最值问题
【例6】（2023上·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，
宽为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从
正面看是一个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
（1）数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线
补全木块的侧面展开图，并用实线连接 ；
（2）线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
（3）问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】（1）图形见分析；（2）两点之间线段最短；（3）这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的
最短路程为 ．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能
力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接 即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中 等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中 等于
长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算 的长即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求：（2）解：线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为 ．
【变式1】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，已知长方体的三条棱 的长分别
为4，3，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，找到蚂蚁所有的可能路径即可求解．
解：展开前面和上面，如图所示：
；
展开前面和右面，如图所示：；
展开左面和上面，如图所示：
；
∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程是 ，
故选：C
【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，
为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 开始经过四个侧
面绕到上底面的顶点 ，如果缠绕的圈数是 ，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
【答案】
【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．
解：如图，米， 米，
由勾股定理得， （米）；
故答案为：．
