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专题 17.2 勾股定理的应用（十大题型总结）
【题型一：求梯子滑落高度】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖
直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的
底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构
成等腰三角形(AB=AC)．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点C的距离
缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则此时点B与
点C的距离是 cm．
3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的
云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．
独立思考：（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），A A′=4m，云梯的
底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放
1
时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云
5
梯的顶端能否到达24.3m高的墙头进行救援？
4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜
靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯
子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，
则甲房间的宽度AB= 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB．【题型二：求旗杆高度】
5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们
设计的测步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF=1.6m，高CD=0.3m，旗杆正好在底座的正中间（B
是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度
恰好为BC的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出DM长为2m．
请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．
6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗
杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底
部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末
端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？7．（24-25九年级上·湖北·期末）为测量学校旗杆AB的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨
论，设计了以下两种方案：
方案一 方案二
测量工具 含45°角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺．
测量方案
示意图
在阳光的照射下，旗杆AB落在围墙上的影子为 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后
实施方案
DC，测得CD为1.2米，旗杆底部B处与围墙的 还多出1m，将绳子斜拉直后，使得
及测量数
距离BC为10.8米．利用直角三角板得到此时太 绳子底端C刚好接触地面，此时测得
据
阳光与水平地面的夹角恰好是45°． BC=5m．
①图上所有点均在同一平面内； ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不
备注
②旗杆半径忽略不计． 动．
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度．
8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到
地面多出一段的长度为am，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离
为bm．（1）小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由；
（2）求旗杆AB的高度．（结果用含a，b的代数式表示）
【题型三：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该
树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼
鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A．5s B．4s C．3s D．2s
10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2
米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2
米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
11．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A
点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求
小鸟下降的距离．
12．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过
往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设
计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为
17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识
说明．
【题型四：求大树折断前的高度】
13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
14．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°
夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E，若BE=2米，则BD的长是
米．
15．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断(AB⊥CD)，树顶C
落在离树根B 15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子
AD，点D，B，C在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处
A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，
CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
17．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为
12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
18．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部
B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）．
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复
后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？
【题型五：水杯中的筷子问题】
19．（24-25七年级上·山东东营·期中）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm，
内壁高12cm，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A．2≤ℎ≤5cm B．4≤ℎ≤5cm C．2≤ℎ≤4cm D．4≤ℎ≤6cm
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为acm，则a最小为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
21．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3 cm，12
cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围（ ）
A．3<
ℎ
<4 B．3≤ℎ≤4 C．2≤ℎ≤4 D．5≤ℎ≤6
22．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中
央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦
苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即OC=OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法
用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面的部分CD=n(n<a)，则水池的深度
a2−n2
OD (OD=b)可以通过公式b= 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
2n【题型六：航海问题】
23．（23-24八年级下·山东临沂·期中）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行24km至B港，然后再沿北偏
西30°方向航行32km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
24．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，早上8:00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航
行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10:00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向
上，若轮船不改变方向继续向前航行至何处时，距离小岛P最近？最近距离是多少海里？
25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海
里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔
P的北偏东45°方向上的避风港B处．
（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号）
（2）如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处．26．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群
由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°
方向上．
（1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由．
（2）求点M与小岛P的距离．
27．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西
52°方向上，与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，与C的距离是30海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向
点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【题型七：求河宽】
28．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影
响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2
米，则河的宽度AB是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米29．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，
需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖
隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求AB的长．（结
果保留根号）
30．（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之
一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如
图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC
，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支
渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．
（1）求支渠AD的长度．（结果保留根号）
（2）若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？31．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，
经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东60°方向和东南方向各修一步道，从
A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测
得CD=1000米．（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，❑√6≈2.45）
（1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
（2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择A→D→C路线，小明决
定选择A→B→C路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【题型八：判断汽车是否超速】
32．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到
路对面车速检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为200米．
（1）求BC的长；
（2）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这
辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：1m/s=3.6km/h）
33．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路MN的一侧有一报亭A，报亭A到公路MN的距离AB为600米，且宣讲车P
周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
（1）请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
（2）如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣
传？
34．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是
超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段MN限速5m/s，为了检测车辆是否超速，在公路
MN旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了10s．若测得∠CAN=45°，
∠CBN=60°，BC=100m．此车超速了吗？请说明理由．
35．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有
两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校
走到公路l的距离最短，求新路MD的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M
相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是
否超速，并说明理由．
【题型九：判断是否受台风影响】
36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路
PQ上A处距O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿
ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
37．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处
有一台风中心，沿BC方向以10km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心B的200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续
多少小时？
38．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过A村和B村（将A,B村看成直线l上的点）的笔直公路
l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为
400米，且AC⊥BC．
（1）求A,B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而
需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严
重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，
250km为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
（2）若台风影响该农场持续时间为5.6h，则台风中心的移动速度是多少？
【题型十：求最短路径】
40．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为
6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是
（ ）
A．5❑√29 cm B．25cm C．2❑√194 cm D．4❑√41 cm
41．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△MNG中，MN=4❑√2，∠M=75°，MG=3，点O是
△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
42．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为28m，现
要为喷泉铺设供水管道AM和BM，供水点M在小路AC上，供水点 M 到AB的距离MN的长为24m，AM的长为30m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
43．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同
旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对
称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，
则PA+PE的最小值为 ；
（2）代数应用：求代数式 的最小值；
❑√x2+1+❑√(3−x) 2+9(0≤x≤3)
（3）几何拓展：如图3，△ABC，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的
值最小，最小值是 ．
44．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们
在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题
途径的目的．
（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且 ，求 的最小值．通过分析，小明
m+n=2 ❑√m2+1+❑√n2+4
想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线
段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．
①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出 的最小值 ．
❑√m2+1+❑√n2+4
（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式 的最小值是 ．
❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49
（3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，写出
的最小值 ．
❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√c2+a2
45．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证
法．证法如下：
把两个全等的直角三角形Rt△ABC≌Rt△DAE（如图1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE点E在边
AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=b、AB=a，斜边长为AC=c，请用a、b、c分别表示出
梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距16千米，CD为两个村庄（看作直线上的两
点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=12千米，BC=8千米，则两个村庄的距离为
______千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=16千米，AD=12千米，BC=8千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，请在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
（4）借助上面的思考过程，当 时，直接写出代数式 的最小值．
1<x<11 ❑√x2−2x+5+❑√x2−22x+130
