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专题 17.2 勾股定理的应用（十大题型总结）
【题型一：求梯子滑落高度】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖
直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的
底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构
成等腰三角形(AB=AC)．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点C的距离
缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则此时点B与
点C的距离是 cm．
3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的
云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．
独立思考：（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），A A′=4m，云梯的
底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放
1
时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云
5
梯的顶端能否到达24.3m高的墙头进行救援？
4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜
靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯
子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，
则甲房间的宽度AB= 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB．【题型二：求旗杆高度】
5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们
设计的测步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF=1.6m，高CD=0.3m，旗杆正好在底座的正中间（B
是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度
恰好为BC的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出DM长为2m．
请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．
6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗
杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底
部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末
端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？7．（24-25九年级上·湖北·期末）为测量学校旗杆AB的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨
论，设计了以下两种方案：
方案一 方案二
测量工具 含45°角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺．
测量方案
示意图
在阳光的照射下，旗杆AB落在围墙上的影子为 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后
实施方案
DC，测得CD为1.2米，旗杆底部B处与围墙的 还多出1m，将绳子斜拉直后，使得
及测量数
距离BC为10.8米．利用直角三角板得到此时太 绳子底端C刚好接触地面，此时测得
据
阳光与水平地面的夹角恰好是45°． BC=5m．
①图上所有点均在同一平面内； ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不
备注
②旗杆半径忽略不计． 动．
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度．
8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到
地面多出一段的长度为am，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离
为bm．（1）小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由；
（2）求旗杆AB的高度．（结果用含a，b的代数式表示）
【题型三：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该
树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼
鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A．5s B．4s C．3s D．2s
10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2
米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2
米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
11．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A
点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求
小鸟下降的距离．
12．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过
往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设
计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为
17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识
说明．
【题型四：求大树折断前的高度】
13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
14．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°
夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E，若BE=2米，则BD的长是
米．
15．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断(AB⊥CD)，树顶C
落在离树根B 15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子
AD，点D，B，C在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处
A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，
CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
17．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为
12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
18．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部
B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）．
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复
后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？
【题型五：水杯中的筷子问题】
19．（24-25七年级上·山东东营·期中）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm，
内壁高12cm，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A．2≤ℎ≤5cm B．4≤ℎ≤5cm C．2≤ℎ≤4cm D．4≤ℎ≤6cm
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为acm，则a最小为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
21．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3 cm，12
cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围（ ）
A．3<
ℎ
<4 B．3≤ℎ≤4 C．2≤ℎ≤4 D．5≤ℎ≤6
22．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中
央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦
苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即OC=OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法
用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面的部分CD=n(n
