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专题 17.3 利用勾股定理的逆定理求解
◆ 典例分析
【典例1】【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=1，BC=❑√5，AC=❑√6，则△ABC是 三角形；（填“直角”“锐角”
或“钝角”）
【问题探究】
（2）如图②，∠AOB=45°，点C为射线OA上一点，且OC=2，点D为射线OB上的动点，当△OCD为
等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③，△ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB=10米，BC=50米，AC=10❑√26米，已知在
BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿
CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（△ADE
为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号）
【思路点拨】
（1）由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形；
（2）可得△OCD为等腰直角三角形，过C分别作OA、OB的垂线即可得到D；
（3）由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形，由题意可得BC=BD=50，即△DBC为等腰直角三
角形，∠D=45°，再分类讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵在△ABC中，AB=1，BC=❑√5，AC=❑√6，
∴ ，
AB2+BC2=12+(❑√5) 2=6 AC2=(❑√6) 2=6
∴AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形故答案为：直角；
（2）当OD=OC时，
OD=OC=2；
当DC=OC时，
过C作CD⊥OA交OB于D，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOB=∠CDO=45°，
∴OC=CD=2，
∴ ；
OD=❑√OC2+CD2=2❑√2
当DC=OD时，
过C作CD⊥OB交OB于D，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOB=∠OCD=45°，
∴OD=CD，
∵OD2+CD2=OC2
∴OD2+OD2=22，解得OD=❑√2；
综上所述，当△OCD为等腰三角形时，OD=2或❑√2或2❑√2；
（3）∵AB=10，BC=50，AC=10❑√26，
∴ ，
AB2+BC2=102+502=2600 AC2=(10❑√26) 2=2600
∴AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°∵AD=40
∴BC=BD=50，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴ ，
∠D=45° CD=❑√BD2+BC2=50❑√2
当DE=AE时，则∠D=∠DAE=45°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∵AD=40，DE2+AE2=AD2
∴DE=AE=20❑√2，
∴CE=CD−DE=30❑√2；
当AD=AE时，则∠D=∠AED=45°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∵AD=AE=40，AD2+AE2=DE2
∴DE=40❑√2，
∴CE=CD−DE=10❑√2；
当AD=DE=40时，CE=CD−DE=50❑√2−40
综上所述，当△ADE为等腰三角形时，CE=30❑√2或10❑√2或50❑√2−40．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，BC=1，
CD=3，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．145°
2．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，AB⊥BC，AB=2❑√3，CD=5，AD=3，BC=2
，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为
（ ）
A．4❑√2 B．6❑√2 C．2❑√13 D．4❑√5
4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，E为线段
BD上一动点，F为边AB上一动点，若AB=5，BD=4，AD=DC=3，则AE+EF的最小值为
（ ）24 23
A．4 B． C．5 D．
5 4
5．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，使
∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．
6．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D为△ABC
外一点，AD=13，CD=12，则AB、BC、CD、DA围成的四边形的面积为 ．
7．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在ΔABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中
点，如果将ΔACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 ．
8．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在△ABC中．点D是AC边上的一点．连接BD并延长到点E
，使得BE=BA．若DA=DC=DB=5，AB=8，BC=6，则AE的长为 ．
9．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．将△ABC沿射线
BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为
．10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E
点，点E在点D右侧，并且点A、B在直线l同侧，AD=DE=8，BE=2，当CD长为 时，△ABC为
直角三角形．
11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=17，BC=8，AC=15，点D，点E分
别是边AC，边AB上的动点，则BD+DE的最小值是 ．
12．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC，点D在线段AC上，点E在线段
AB的延长线上，BE=CD，连接DE交BC于F，过F作FG⊥DE交AB于G，连接CG，若△ACG的面积
为3，且AG:GB:BE=5:1:3，则线段AD的长为 ．
13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的一点，BD=5cm，
BC=13cm，CD=12cm．（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， △CDE和△CAB中，
CD=CE,CA=CB,∠DCE=∠ACB．
（1）求证：AD=BE；
（2）若 AE2+BE2=DE2，求证： ∠ACB=90° ．
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷
的支架示意图．在△ABC中，帐篷的顶点为A，点B, D, E, C在地面上的同一水平线上，
AB, AC, AD, AE均为支架，且AD⊥BC, AE=CE．经测量知，AB=1.5m，AD=1.2m，
CD=1.6m．（1）求DE的长；
（2）当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是
否最为稳定？
16．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD．若AB=2，
BC=❑√2，CD=❑√6．
（1）如图1，连接BD，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，过A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，求△ACE的面积．
17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，点C在△ADE内部，连接CD，CE，BD，其中AB=3，CD=6❑√2，
CE=3❑√10．
（1）求证：BD=CE；
（2）求∠ACD的大小；
（3）求AE的长．
18．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在△ABC中．AB=13，AC=5，△ABC的周长为30
．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，点E为AB边上的一点，且CE=BE，过点E作EF⊥AB交∠ACB的角
平分线于点F．
①证明：∠DCF=∠ECF；
②直接写出线段EF的长．1
19．（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在△AOB中点C为OB边上一点，已知BC= AB，
2
OC=OA=3，AB=4，连接AC．
（1）求△AOB的面积和线段AC的长；
（2）如图2，将△ADB沿BD折叠，点A恰好落在OB边上的点E处，折痕BD交OA于点D，点F是AC上
一点．当△ADF与△BCF的面积相等时，求点F到OB的距离．
20．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在△ABC中，AB=AC=5．
（1）若BC=6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的
长；
（2）点D在BC的延长线上，且BC:CD=2:3，若AD=10，求证：△ABD是直角三角形．
21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH=15，CH=8，
AC=17，BH=6．（1）求BC的长；
（2）已知点E为线段AB上一点，△BCE为等腰三角形，求线段HE的长度；
（3）点P是直线AB上任意一点，把△ACH沿着直线CP翻折，直接写出当AP为何值时，点H翻折后的
对应点H′恰好落在直线AC上．
22．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，E是AC
上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．
（1）求证：AB2−AD2=BD⋅CD；
（2）如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；
（3）如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．23．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为
直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构成
的三角形是 三角形；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，
请说明理由．24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，点P从点A出发，沿折线
A−C−B−A的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒(t>0)．
【问题探究】
（1）当AB=5时
①判断△ABC的形状，并说出理由．
②点P在AC边上运动，当BP=4时，求t的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点P运动到∠CAB的角平分线上时，t的值为_____．
②如图，当点P运动到AB边上时，过点P作PD⊥CP，交边AC于点D，且△BCP是以CP为腰的等腰三
角形，那么PD的长等于_____．
【引发思考】
（3）如图3，以AB为边，在△ABC下方作等腰△ABE，∠AEB=120°，CE的最大值为_____．
