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专题 18.5 正方形【十二大题型】
【人教版】
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】.........................................................................................1
【题型2 由正方形的性质求角度】..........................................................................................................................2
【题型3 由正方形的性质求线段长】......................................................................................................................4
【题型4 由正方形的性质求面积】..........................................................................................................................5
【题型5 正方形中的折叠问题】..............................................................................................................................6
【题型6 正方形中的证明】......................................................................................................................................8
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】.................................................................................9
【题型8 证明四边形是正方形】............................................................................................................................11
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】.......................................................................................................12
【题型10 由正方形性质与判定求角度】................................................................................................................14
【题型11 由正方形性质与判定求面积】................................................................................................................15
【题型12 由正方形性质与判定证明】....................................................................................................................17
知识点1：正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型1 正方形与矩形、菱形的性质的区别与练习】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形
与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（ ）A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形 C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性
质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
【变式1-2】（23-24八年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平
行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角
三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）
（3）（4）（5）
【变式1-3】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点
（不与点A、C重合），且AE=CF，分别连接BE、BF、DE、DF，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形BFDE是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，那么四边形BFDE也是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，那么四边形BFDE是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，那么四边形BFDE也是矩形
【题型2 由正方形的性质求角度】
【例2】（23-24八年级·重庆江津·期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，
连接CE、CF，CG平分∠ECB，若CE=CF．当∠DEC=α时，则∠GCF的度数为（ ）
α
A． B．90°−α
2
3α 3
C． −90° D．180°− α
2 2【变式2-1】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形ABCD中，点M,N,P分别在
AB,CD,BD上，∠MPN=90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN=α，则∠AMP一定等于
（ ）
1
A．2α B．45°+α C．90°− α D．135°−α
2
【变式2-2】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，且
∠ABE=72°；延长BE交CD于点F，连接DE，则∠≝¿的度数为 ．
【变式2-3】（23-24八年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E为
边AB上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，连接OF，若∠ACF=α，则∠DOF的度数为
（ ）
A．2a B．30°+a C．45°−a D．60°−2a【题型3 由正方形的性质求线段长】
【例3】（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延
长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为
（ ）
12
A．2 B．❑√5 C．❑√6 D．
5
【变式3-1】（23-24八年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，
的坐标为 则点 的坐标为 （ ）
A (1,❑√3)， B
A． B．
(−❑√3,1) (−1,❑√3)
C． D．
(1+❑√3,1−❑√3) (1−❑√3,1+❑√3)
【变式3-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，
BC=2，CE=6，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（ ）3 6
A．2❑√2 B．❑√5 C． ❑√5 D． ❑√5
5 5
【变式3-3】（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边
AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，
1
AG=2GB，则OM+ FG的最小值是（ ）
2
A．4 B．5 C．8 D．10
【题型4 由正方形的性质求面积】
【例4】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）
塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与
CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·四川德阳·期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中
容方几何？”意思是：如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求内接正方形DECF
的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形ACBG（如图1），在该图形中发现
一个与正方形DECF面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点A在线段AG上平移至点A′，连
接A′C，A′B与直线ED分别相交于点M，点N（如图2），则平行四边形MCFN的面积为（ ）144 144
A．12 B． C．25 D．
49 25
【变式4-2】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，一个正方形ABCD中有两个小正方形，如果它们的面
积分别为S ，S ，则S S （填“>”或“=”或“<”）．
1 2 1 2
【变式4-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，以直角△ABC的每一条边为边长，在AB的同侧作三
个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为18cm2，则③、
⑤两部分的面积和为（ ）cm2．
A．8 B．9 C．10 D．11
【题型5 正方形中的折叠问题】
【例5】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接
AE，点F在AD上，沿BF折叠，使点A落在AE上的G点，若DE=5，则GE的长为 ．【变式5-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿EF对折再展平，沿
折痕剪开，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再将矩形ABEF绕点E顺时针方向旋转．使点A与点D重合，
点F的对应点为F′，则图②中阴影部分的周长为（ ）
A．9 B．10 C．16 D．20
【变式5-2】（23-24八年级·湖南怀化·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边
AB,CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
（ ）
A．1 B．❑√2 C．❑√5 D．2
【变式5-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】第一步：如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上
操作，当点M在EF上时，∠PBM=___________°；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操
作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），沿BP折
叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当
QF=1cm时，请求出AP的长．
【题型6 正方形中的证明】
【例6】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，P为正方形边AD上的一点（不
与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为
EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．
(1)求证：PB平分∠APG；
(2)求证：BP=EF；
(3)探究CH，AP与PH的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知；正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是
1
BC上的点，且CE= BC，如图，求证：∠AFE=90°．
4【变式6-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）正方形ABCD的边长为6，正方形DEFG的顶点E、F分别在
正方形ABCD的对角线AC和BC边上，BF=2CF，连接CG．
(1)求证：AE=CG；
(2)求AE2+CE2的值．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在BC、CD
、AD、AB上，且¿⊥HF，垂足为M，那么GE与HF相等吗？
分别过点G、H作GP⊥BC、HQ⊥CD，垂足分别为P、Q，通过证明△GPE≌△HQF，得到¿=HF．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形ABCD中，点E在BC上，使用无刻度的直尺和圆规作BF⊥AE，交CD于点F（要求直
尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，将正方形ABCD沿着EF翻折，点B、C分别落
在B′、C′处，且B′C′经过点D，将纸片展开，延长C′F交BC于点G，连接DG交EF于点M．
（1）求证：DF=GF；（2）求证：AE+CG=DF．
知识点2：正方形的判定
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
【题型7 正方形与矩形、菱形的判定定理的区别与练习】
【例7】（23-24八年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正
方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【变式7-1】（23-24八年级·重庆荣昌·期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式7-2】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．【变式7-3】（12-13八年级·江苏扬州·期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确
的是（ ）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
【题型8 证明四边形是正方形】
【例8】（23-24八年级·四川乐山·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接
DE，BE．
(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，过点E作EF⊥BE，交边CD于点F，以BE，EF为邻边作矩形BEFG，连接CG．
①求证：矩形BEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为6，CG=2❑√2，求正方形BEFG的边长．
【变式8-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长
线上一点，连接AE，AF，已知BF=DE，AF⊥AE．(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若∠DAE=30°，DE=1，求四边形AECB的面积．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折
叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD=6．
(1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片
展平，得到四边形AEFD．求证：四边形AEFD是正方形；
(2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PQ，再次过点A折叠使点D
落在折痕PQ上的点N处，得到折痕AM，连结MN，展平后得到四边形ANMD，求四边形ANMD的面
积；
【变式8-3】（23-24八年级·山西临汾·期末）综合与实践
问题解决：
（1）如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE的延长线
于点F，连接AF．求证：四边形ADBF是平行四边形．
类比迁移：
（2）如图2，在（1）的条件下，当AB=BC时，试判断四边形ADBF的形状，并说明理由．拓展应用：
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBF是正方形？请直接写出结论，不必证明．
【题型9 由正方形性质与判定求线段长度】
【例9】（23-24八年级·浙江湖州·期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际
中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形ABCD（如图2），点E，F，G，
H分别为边上的中点，以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如△IJK
），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
【变式9-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，
AB=BC，CD=6，AD=8，则对角线BD的长为 ．
【变式9-2】（23-24八年级·山西太原·期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在 ▱ABCD中，∠ADC=90°，点O是边
AD的中点，连接AC．保持 ▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG
，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G
重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．(1)初步思考：如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论；
(2)操作探究：如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结
论；
(3)拓展延伸：已知AD=2❑√2，CD=2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形
时，请直接写出此时线段AM的长度．
【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=4❑√2，点E为对
角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG
，连CG，AE2+CE2的最小值为 ．
【题型10 由正方形性质与判定求角度】
【例10】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接
DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝2❑√2，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【变式10-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，
BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠≝=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD
的度数2倍的角．
【变式10-2】（23-24八年级·贵州黔南·期末）如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，AB是
其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画
图痕迹．
(1)在图中画出一个以AB为边的正方形；
(2)在图中画出一个以点A或点B为顶点，AB为一边的45°角，并说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·天津和平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ABC将绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连
接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
(3)若BE=BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可）
【题型11 由正方形性质与判定求面积】
【例11】（23-24八年级·江苏扬州·期中）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O
又是正方形A B C O的一个顶点， 交AB于点E， 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为______；
1 1 1
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别
与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且 ，若正方形ABCD边长为8，求四
边形OEAG的面积；
【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形EGFH是正方形．
【变式11-1】（23-24八年级·江西上饶·期中）如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各
延长一倍，即DM=AD、CN=CD、AQ=AB、BP=BC，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场
MNPQ，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场ABCD的多少倍？【变式11-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，
AD=CD，DE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：BE=DE；
3
(2)若AB= ，CE=1，求四边形ABCD的面积．
2
【变式11-3】（23-24八年级·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似
地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形．
(1)下列图形：①有一个内角为45°的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，在菱形ABCD的外部以CD为斜边作等腰直角
△CDN，连接MN．
①求证：四边形DMCN是对角直角四边形；
②若点N到BD的距离是2，求四边形DMCN的面积．
【题型12 由正方形性质与判定证明】
【例12】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在AB,BC上且
AE=BF．(1)试探索线段AF,DE的大小关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接EF,DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H,I,J,K，顺次连接，得到四边形HIJK：
①请在图②中补全图形；
②四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请说明理由．
【变式12-1】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，
PB=5❑√2，PC=24，则∠BPC= °．
【变式12-2】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE=BF=CM=DN．试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论．
【变式12-3】（23-24八年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认
识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性
质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图
①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP．初步探究：
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
