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专题 18.5 矩形中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】如图①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=4，点M在BC边上，BM=1，点N是AD边上一动
点（不含端点），AN=x．连接MN，将四边形ABMN沿MN所在直线翻折，得到四边形EFMN，点
A、B的对应点分别为点E、F．
（1）CM= __________；
（2）当∠ANM=90°时，x= ________；当∠ANM=45°时，x= ________．
（3）如图②，当点E落在BC边上时，连接CN，求M N2+CN2的值．
（4）当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点时，直接写出x的值．
【思路点拨】
（1）根据BC=4，BM=1，直接求出CM=BC−BM=4−1=3；
（2）根据∠ANM=∠A=∠B=90°，证明四边形ABMN为矩形，得出AN=BM=1，说明此时x=1；
根据∠ENM=∠ANM=45°，求出∠ANE=45°+45°=90°，得出∠A=∠B=∠ANE=90°，证明四
边形ABPN为矩形，得出∠NPM=90°，NP=AB=1，AN=BP，证明△MNP为等腰直角三角形，得出
MP=NP=1，即可得出答案即可；
（3）过点N作NP⊥BC于点P，根据折叠得出MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，
，证明 为等腰直角三角形，得出 ， ，
∠NEF=∠A=90° △MEF ∠MEF=∠EMF=45° ME=❑√12+12=❑√2
证明四边形ABPN为矩形，得出NP=AB=1，BP=AN，证明△NPE为等腰直角三角形，得出， ，求出 ，
PE=NP=1 NE=❑√12+12=❑√2 M N2=N P2+M P2=12+(❑√2−1) 2=4−2❑√2
，最后求出结果即可；
CN2=N P2+PC2=12+(4−❑√2) 2=19−8❑√2
（4）分三种情况：当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，当顶点C在FE的延长线上时，当顶点C
在EF的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵BC=4，BM=1，
∴CM=BC−BM=4−1=3；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，AB=CD=1，AD=BC=4，AD∥BC，
∵∠ANM=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABMN为矩形，
∴AN=BM=1，
即此时x=1；
当∠ANM=45°时，如图所示：
根据折叠可知：∠ENM=∠ANM=45°，
∴∠ANE=45°+45°=90°，
∴∠A=∠B=∠ANE=90°，
∴四边形ABPN为矩形，
∴∠NPM=90°，NP=AB=1，AN=BP，
∵∠MNP=45°，∠NPM=90°，
∴△MNP为等腰直角三角形，
∴MP=NP=1，
∴AN=BP=1+2=2，
即此时x=2；（3）解：过点N作NP⊥BC于点P，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∠MEF=∠EMF=45° ME=❑√12+12=❑√2
∴EC=BC−BM−ME=4−1−❑√2=3−❑√2，
∵∠A+∠B=∠BPN=90°，
∴四边形ABPN为矩形，
∴NP=AB=1，BP=AN，
∵∠NEP=∠MEF−∠MEF=45°，∠NPE=90°，
∴△NPE为等腰直角三角形，
∴ ， ，
PE=NP=1 NE=❑√12+12=❑√2
∴BP=AN=NE=❑√2，PC=PE+CE=1+3−❑√2=4−❑√2，
∴MP=BP−BM=❑√2−1，
∴ ，
M N2=N P2+M P2=12+(❑√2−1) 2=4−2❑√2
，
CN2=N P2+PC2=12+(4−❑√2) 2=19−8❑√2
∴M N2+CN2=4−2❑√2+19−8❑√2=23−10❑√2；
（4）解：当EF所在直线经过矩形ABCD的顶点D时，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
∵MF=CD，∠F=∠C=90°，∠MPF=∠CPD，
∴△MPF≌△CPD，1 3
∴MP=CP= CM= ，FP=DP，
2 2
根据勾股定理得：
FP=DP=❑√CD2+CP2=❑
√
12+
(3) 2
=
❑√13，
2 2
∴DF=2DP=❑√13，
∴DE=DF−EF=❑√13−1，
∵AN=x，
∴EN=x，DN=4−x，
根据勾股定理得：DN2=N E2+DE2，
即 ，
(4−x) 2=x2+(❑√13−1) 2
1+❑√13
解得：x= ；
4
当顶点C在FE的延长线上时，连接CN，如图所示：
根据折叠可知：MF=BM=1，EF=AB=1，∠MFE=∠A=90°，∠NEF=∠A=90°，
根据勾股定理得： ，
CF=❑√CM2−M F2=❑√32−12=2❑√2
∴CE=CF−EF=2❑√2−1，
∵AN=x，
∴EN=x，DN=4−x，
根据勾股定理得：CN2=N E2+CE2，CN2=N D2+CD2，
∴N E2+CE2=N D2+CD2，
∴ ，
x2+(2❑√2−1) 2=(4−x) 2+12
❑√2
解得：x=1+ ；
2
当顶点C在EF的延长线上时，连接MP，过点M作MQ⊥AD于点Q，如图所示：∵∠MQD=∠D=∠MCD=90°，
∴四边形MQDC为矩形，
∴MQ=CD=1，QD=MC=3，
∴AQ=4−3=1，
∵MP=MP，MQ=MF=1，
∴Rt△MPQ≌Rt△MPF(HL)，
∴PQ=PF，
∵∠MFC=180°−90°=90°，
∴在Rt△MCF中，根据勾股定理得：
，
CF=❑√MC2−CF2=❑√32−12=2❑√2
设PQ=PF= y，则PD=3−y，PC=2❑√2+ y，
在Rt△PCD中，根据勾股定理得：PC2=CD2+PD2，
即 ，
(2❑√2+ y) 2=(3−y) 2+12
解得：y=3−2❑√2，
∴PN=1+3−2❑√2−x=4−2❑√2−x，EP=EF−PF=1−3+2❑√2=2❑√2−2，
根据折叠可知：EN=AN=x，
在Rt△ENP中，根据勾股定理得：
PN2=EN2+PE2，
即 ，
(4−2❑√2−x) 2=x2+(2❑√2−2) 2
2−❑√2
解得：x= ．
2
1+❑√13 ❑√2 2−❑√2
综上分析可知：x= 或x=1+ 或x= ．
4 2 2◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，E是CD边上一点，连
接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．2
4 3 2
2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AB的中点，F为
EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
24
A． B．3 C．2❑√2 D．4
5
3．（2025·河北·一模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2❑√2，P是CD的中点，点Q在边AB上，
连接AP，PQ，将矩形ABCD沿AP，PQ折叠，点B，C，D的对应点分别为
B'，C'，D'，PD'，PC'分别交AB于点E，F（点E在点F右侧），则线段EF的最大值为
（ ）❑√2 3❑√2
A．❑√2 B． C．2❑√2 D．
2 4
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，长方形ABCD中，AB=10，AD=4，点P为边CD上一个动点，
将△APD沿AP折叠得到△APQ，点D的对应点为Q，当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为
（ ）
A．2 B．2或8 C．3 D．3或2❑√2
5．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形ABCD中，AB=❑√7．CE平分∠BCD交AD于点E，M
是CD上一动点，连结BM，EF⊥BM于点F，若BF=FM，且EF=2DM，则CM的长为（ ）
4
A．❑√7−1 B．❑√7− C．4−❑√7 D．❑√5−1
3
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且
1
BE=BC,DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①BD平分∠CDE；②AB+ EF=❑√2AG；③
2
；④ ．其中正确的是（ ）
CD=(❑√2+1)DE AE:CF=(❑√2−1):1
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，E为AB中点，P为CD边
上一动点（含端点），F为AP中点，则△AEF的周长最小值为 ．8．（2025·陕西渭南·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点M、N分别是BC、CD的中点，
连接AN，点O在线段AN上，连接OM，若∠MON=45°，则OM的长为 ．
9．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,M是CD边上任意一点，
分别过点A,C,D作射线BM的垂线，垂足分别是E,F,G，若AE+CF+DG=m，则m的最小值是 ．
10．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形ABCD中，AB=16，AD=10，点E在边CD上，将
△ADE沿直线AE翻折，点D落在点F处，连接BF、CF．如果△BCF是以BF为腰的等腰三角形，那么
DE的长是 ．
11．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,E、F分别是AD、BC的
中点，动点P、Q在线段EF上，且满足PQ=2．则四边形APQB周长的最小值为 ．12．（2025·甘肃定西·一模）如图，在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平
分线EF与DC交于点F，若AB=10，点F是DC的中点，则BC的长为 ．
13．（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F、G分别
是BC、AE的中点，延长GF、DE交于点H．若AD=8，FG=2，DE=2HE，则AB的长为
14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB,∠BAD的平分线交BC于
点E,DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O．有下列结论：①
△DHE≌△DCE；②∠DHO=30°；③OE=OD；④BH=HF；其中正确的是 ．（只需填序
号）
15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上
运动；点E关于AC的对称点为F，连接BF，在点E从B点运动到D点的过程中，BF的最小值为．
16．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，矩形ABCD中，BC=8，AB=6❑√2，点E、F分别在BC、
CD边上，DF=5❑√2，将△ABE沿AE翻折至△AB′E，△CEF沿EF翻折至△C′EF，C′恰好落在线段
EB′上，则B′到EF的距离为 ．
17．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD=9，EC=6，∠BAE=30°，求OF的长度．
18．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接
EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证 EO=OF；
（2）若FC=2，求矩形ABCD的面积．
19．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，若动点E从点B出
发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动，DF⊥AE于F，连结DE．
（1）当E在线段BC上时
①若DE=5，求BE的长；
②若CE=EF，求证：AD=AE；
（2）连结BF，在点E的运动过程中，设运动时间为t秒，当t为何值时，△ABF是以AB为底的等腰三角形?
20．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC
上的两个动点，且AE=CF．1
（1）如图，当AE< AC时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
2
（2）若AB=6，BC=8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
21．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知矩形ABCD和矩形A B C D ，D 是AC上一点，A D 与边
1 1 1 1 1 1 1
AB相交于点E，C D 与边CB相交于点F．
1 1
（1）如图1，若AB=4，BC=8，则AC=________；
（2）如图2，在（1）的条件下，若BD ⊥AC，BF=D F，求AE；
1 1
（3）如图3，若A B =A D =CC ，D E=C F，求证：CF=AE+A A ．
1 1 1 1 1 1 1 1
22．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC>AB，P,Q分别是边
AD,BC上的点，将四边形APQB沿PQ翻折，A,B两点的对应点分别为F,E．（1）如图1，当点E落在AD上时，求证：BQ=PE；
（2）如图2，若BC=8，点E与点D重合，求AP的长；
（3）如图3，当点E恰好落在CD的中点，EF交AD于点G，连接DF，若△DFG为等腰三角形，求折痕
PQ的长．
23．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=6cm，BC=8cm，点
E、F、G分别在边AB、BC、CD上．点E从点B出发向点A运动，速度为4cm/s，点F从点B出发向点
C运动，速度为3cm/s，点G从点C出发向点D运动，速度为4cm/s．当点E到达点A（即点E与点A重
合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E、F、
G运动的时间为t（单位：s）．
（1）四边形EBFB′________（填“能”或“不能”）是正方形；
（2）若M、N分别是EF、FG的中点，连接BM，问：当t为何值时，四边形BMNF是平行四边形？
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．24．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=❑√2AB．∠BAD的平分线交BC于点E，
DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O．
（1）若BE=1，请求出CE的值；
（2）求证：H是BF的中点；
(BH−OF) 2
（3）请判断 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
CF⋅BE
25．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为对角线AC上一点，
过点E作EF⊥AD于点F，EG⊥AC交边BC于点G，将△AEF沿AC折叠得△AEH，连接HG．
（1）如图1，若点H落在边BC上，求证：AH=CH；
（2）如图2，若A，H，G三点在同一条直线上，求HG的长；
（3）若△EHG是以HG为底的等腰三角形，求EF的长．
26．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，
AD=30cm，BC=35cm．点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s
的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间
为ts．（1）当t= s时，PQ∥CD；
（2）如图1， 从运动开始， 当t为何值时， QP=QD；
（3）从运动开始，当t为何值时，四边形ABQP为矩形；
（4）从运动开始，当t为何值时，△QDC为直角三角形．
27．（2025·安徽马鞍山·一模）如图：已知矩形ABCD，E，F分别为AB，BC边上的点，EF，DC的延
长线交于点G，DE=≥¿．
（1）求证：∠ADE=∠CFG；
（2）如图2，Q，H分别是AD，BC边上的点，QH交DF于点P，GH=DQ，∠CHG=∠DEG；
①求证：DP=PF；
②连接EP，求∠EPH的度数．
28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在边BC或边CD上，
将矩形ABCD沿着过点E的直线折叠，当点B落在边AD（含端点）上时，落点记为F，然后展开铺平，以
B，E，F为顶点构造△BEF．（提示：矩形的对边平行且相等，四个角都是90°）（1）如图1，当△BEF的顶点F位于AD的中点时，求证：△BEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，当△BEF的边BE=2.5时，请补全图形，并求AF的长；
（3）当点E在某一位置时，是否存在面积最大的△BEF，若存在，请求出此时BE的长；若不存在，说明
理由．
29．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4cm．
动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ
为边向左侧作矩形PQMN，使QM=❑√3PQ．
（1）当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）；
（2）当点M在边BC上时，求t的值；
（3）连接BQ，沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写
出t的值．
30．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且
BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，
EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间t秒（t>0）．
（1）当点P和点B重合时，求线段PQ的长；
（2）如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
（3）作点E关于直线PQ的对称点F，当点F恰好落在边AB上时，直接写出t的值．
