专题 22.10 特殊三角形——二次函数的综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n
与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出
所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种情况，分别求解即可．
【解题过程】
（1）直线y=x−3，令y=0，则x=3，令x=0，则y=−3，
故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：
{ n=−3 )
，
0=−9+3m+n
{m=4
)
解得： ，
n=−3
则抛物线的表达式为：y=−x2+4x−3，
则点A坐标为(1,0)，顶点P的坐标为(2,1)，∴3m+n=12−3=9；
（2）设Q(2,t)，
①当CP=CQ时，如图，
则C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
∵P(2,1),C(0,−3)，
1+t
∴ =−3，
2
解得：t=−7，
故此时Q点坐标为(2,−7)；
②当CP=PQ时，如图，
∵P(2,1),C(0,−3)，
，
∴ PQ=PC=❑√(2−0) 2+(1+3) 2=2❑√5
故此时点Q的坐标为(2,1−2❑√5)或(2,1+2❑√5)；
③当CQ=PQ时，如图，∴QC2=QP2,
,
∴22+(t+3) 2=(1−t) 2
3
解得：t=− ，
2
3
故此时点Q的坐标为(2,− )；
2
3
综上所述，点Q的坐标为(2,1−2❑√5)或(2,1+2❑√5)或(2,− )或(2,−7)．
2
◆ 学霸必刷
1
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=− x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y
2
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
27
（2）P是抛物线上x轴上方的一个动点，当△PAB的面积为 时，求点P的坐标；
2
（3）在y轴上是否存在点D，使△BCD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明
理由．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点 的抛物线
(9,13) C :y=ax2+bx+1
1
（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=3．
（1）求抛物线C 的函数表达式和点D的坐标；
1
（2）将抛物线C 向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为E，连接CE、DE
1 2 2
，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，
请说明理由．
3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4x+c(a≠0)与x
轴分别交于点A(1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角
形，求新抛物线的解析式．4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1
，且抛物线经过A(1,0)， C(0,3)两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．1
5．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数y=− x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
2
1 1
B，二次函数y= x2+bx+c的图象与一次函数y=− x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两
2 2
点，且点D坐标为(−1,0)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐
标，若不存在，请说明理由．6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最
大值；
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点
A(−2,0)、B(4,0)（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0,8)，点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时
P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P
为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c过x轴上点A(−1,0)、点B(5,0)，过y
轴上点C(0,−5)，点P(m,n)(0<m<5)是抛物线上的一个动点．（1）求该二次函数的表达式；
（2）求四边形OCPB面积的最大值；
（3）当点P的横坐标m满足2<m<5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交
抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标．
9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点
A(−3,0)和点C，与y轴交于点B(0,3)，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交
于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若△QFE是以QE为腰的等腰三角形，求出所有符合条
件的点Q的坐标．
4
10．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图、已知直线y= x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物
3
线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和
点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交于
A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经
过点B的直线y=x+1交于点E．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两
点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，直线l与抛物线交于B，D两点，与y轴交于点E，
1
点D的横坐标为− ．
2（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△BCD的面积；
（3）若抛物线的对称轴与直线l的交点为N，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BMN是以MN为
腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点
A(3,0)，B(0,−3)两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．
设点P的横坐标为t．（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若S =2S ，求此时点P的坐标；
△BPO △APN
（3）是否存在这样的点M，使得以A、B、M为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
14．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线
y=−x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；
（3）点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三
角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．
15．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A，B(1,0)（
A在B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，顶点为D．（1）求出抛物线的表达式；
（2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰
的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知直线y=− x+2与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线
2
y=−x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，
交直线AB于点M，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线解析式；
（2）当MN=2MP，t的值为___________；
（3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；
（4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
