文档内容
专题22.32 实际问题与二次函数（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图， 为半圆的直径，动点 为 上，点 从点 出发，沿 匀速运动到点 ，速度为
，运动时间为 ，分别以 与 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致
为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，等腰 ， ， ，正方形 中 ， 、 、 在同一直线上，
正方形 沿射线 方向平移，直到点 与 重合，若点 的平移距离为 ，平移过程中两个图形重
叠部分的面积为 ，则 与 的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）A．2 m B．2 m C． m D． m
4．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，
每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．14元
5．竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，
若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
6．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水
流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出
水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，
使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）
A．0.55米 B． 米 C． 米 D．0.4米
7．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时
30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与
教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1
中的【 】A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商
计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生
产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x
为多少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒
每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
液
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
9．如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，点 为线段 上一动点，点
的坐标为 ，连接 ，以 为底边向右侧作等腰直角 ，若点 恰好在抛物线上，则
长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
10．如图，抛物线 经过点 ，点 从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，
再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①a＝－1；
②抛物线的对称轴为x＝－1；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n＝1；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当 时，△PAC的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①④ D．①②④
二、填空题
11．如图，在 中， ， ，点 是线段 上一点（不与点 、 重合），连
接 ，过点 、 分别作 、 的垂线，两线相交于点 ，则 面积的最大值为 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边
作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
13．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下
通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过 m.14．某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系．每盆植入
4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0．5元．要使每
盆盈利达到最大，则每盆应植 株．
15．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运
行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式 ．已知球网与O点的水平距离为
9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范
围为 ．
16．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米
处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动
1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M
的距离增加了 米．
17．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，
小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明
计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时
发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实
际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为 元．
18．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之
间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系 中，（如图），
已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线 （ ＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知二次函数 经过点 ， ，与 轴交于另一点 ，抛物线的顶点为
．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接 ， ， ，求证： 是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形？若存在，求
出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，某桥拱截面 可视为抛物线的一部分，以 为坐标原点、 所在直线为 轴建立平面
直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽 米，桥拱顶点 到水面的距离是4米．
（1）①直接写出 、 两点的坐标： （ ）， （ ）；
②求抛物线对应的函数解析式；
（2）要保证高 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 米），求小船的最大宽度是多少？
（3）如图2，桥拱所在的抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图像，
将新函数图像向右平移 个单位长度，平移后的函数图像在 时， 的值随 值的增大而减小，
结合函数图像，直接写出 的取值范围．
21．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 （元 千克）与时间
第 （天）之间的函数关系为 ，日销售量 （千克）与时间第 （天）之
间的函数关系如图所示．
（1）求日销售量 （千克）与时间第 （天）的函数表达式；
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠 元给村里的特困户，如果
共捐赠了7350元，求 的值．22．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面
上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（ 轴经过箱子底面中心，并与其
一组对边平行，正方形 为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从 处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛
物线 ： （单位长度为 ）的一部分，已知 ， ．
（1）若抛物线经过点 ．
①求抛物线 的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线 形状相同的抛物线 运动，且无阻挡时弹珠最
大高度可达 ，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
（2）要使弹珠能投入箱子，求 的取值范围．23．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水
平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线 ．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱
的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为 ，
其图像如图②所示．已知坡地 所在直线经过点 ．
（1） 的值为______；
（2）若 ，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
（3）若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；
（4）若 时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌
溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．24．过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．
如图所示， 为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中
米， 米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段
（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线 的形状与抛物线
完全相同，E点坐标为 ，求n的值；
（3）现需要对轨道下坡段 进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架
，且要求 ，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算 多长时，造价
最低？最低造价为多少元？参考答案
1．D
【分析】结合题意，可分别得到AP和PB关于t的函数；再结合图形得到阴影面积S为关于t的二次函
数，根据二次函数的性质，从而得到答案．
解：∵点 从点 出发，沿 匀速运动到点 ，速度为 ，运动时间为t
∴AP=2t
∵
∴PB=AB-AP=4-2t
∴阴影面积
∴阴影面积S为关于t的二次函数，且开口向下并经过坐标原点∵选项D的曲线和阴影面积S的函数吻合
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数、一次函数的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而
完成求解．
2．B
【分析】分三种情况解题计算解析式，在平面直角坐标系中画出函数图象解题即可．
解：如图，当 时， ；
如图，当 时，
如图，当 时，
则画出函数图像符合B选项，
故选B．
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，分类讨论的数学思想是解题的关键．
3．A
解：建立如图所示直角坐标系：可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=– ，
∴y=– x2，当y=–3时，– x2=–3．解得：x=± ，∴水面下降1m，水面宽度为2 m．故选A．
4．D
解：设利润为w，由题意得，每天利润为：
w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72．
所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．
故选D．
5．C
【分析】根据函数的表达式，算出第2秒与第6秒时的高度，列出等式，求出a、b的关系，然后根据
二次函数的性质，求出对称轴，进而得出最高点.
解：由题意可知：h（2）=h（6），
即4a+2b=36a+6b，
解得b=﹣8a，
函数h=at2+bt的对称轴
故在t=4s时，小球的高度最高，
题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，
故在第4.2秒时小球最高
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质.根据已知条件求出a、b的关系是解题的关键.
6．B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝ ，A（0，
0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝ ，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴ ，
解得： ，
所以解析式为：y＝ x2+ x+ ，
当x＝2.75时，y＝ ，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣ ＝ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数
法解出函数解析式是解题的关键
7．D
解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本
选项错误；
B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，
故本选项错误；C、 ，
假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等
于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；
D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；
故选D．
8．D
【分析】根据单日利润=单日的销售量×每瓶的利润－每日其他费用即可列出函数关系式，然后利用函
数的最值问题即可求解 ．
解：根据题意，得
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下， 有最大值，
又∵ ，
∴当 时， ，
故选：D
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．
9．C
【分析】过点C作 轴，垂足为E，过点D作 ，交 延长线于点F，设点
，然后证明 ≌ ，则 ， ，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出 的长度．
解：根据题意，
∵ ，
令 ，则 ， ，
∴点A的坐标为： ，
过点C作 轴，垂足为E，过点D作 ，交 延长线于点F，设点 ，
如图：
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
∵ ，
∴ ，∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴点B的横坐标为 ，
∴ 的长度为 ；
故选：C
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐
标与图形，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
10．D
【分析】将C点坐标代入抛物线解析式求出a即可判断①；根据a即可得抛物线解析式，则其对称轴
可得，②即可判断；只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，连接AC交对称轴与
点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，根据 轴，OA=OC=3，即有 则n可求，③即可判
断；连接PC、AC、OP、PA，根据 可得 ，则④可判断．
解：∵抛物线 过C点（0,3），
∴ ，
∴a=-1，即①正确，
即抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为 ，即②正确，
当x=0时，y=3，即C点坐标为（0,3）
∴OC=3，
当y=0，有 ，
解得x为1或者-3，
∴A（-3,0），B（1,0），
∴OA=3，OB=1，
∵B（1,0），C（0,3），
∴ ，∴要求△PBC周长最小值，即求PC+PB+BC的最小值，
∵BC为定值，
∴即求PC+PB的最小值，
可知只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，
连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，如图1所示，
∵A、B关于PM对称，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∵对称轴x=-1，
∴OM=1，
∴AM=OA-OM=3-1=2，
显然有 轴，
有∵OA=OC=3，
∴ ，
∴PM=AM=2，
∴P点坐标为（-1,2），
∴n=2，
∴即△PBC周长最小值时，n=2，即③错误，
如图2所示，连接PC、AC、OP、PA，
由图有： ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∵P在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
即当 时，△PAC的面积最大，即④正确，
综上分析可得，正确的有：①②④．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了二次函数的对称轴、最值、与坐标轴交点等知识，
判断只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，是解答本题的关键．
11．
【分析】先添加辅助线，证明三角形全等，根据性质求出线段，最后转换为求二次函数的最大值即可．
解：如图在 上截取 ，设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是分析题意，弄清数量关系，转换为二次函数
的应用．
12． 10
【分析】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据
等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出 ，继而根据勾股定理求出 ，从而求得 的长，
然后证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，设 ，则 ，继而根据三
角形的面积公式可得 ，根据二次函数的性质即可求得答案．
解：如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
， ， ，
，
，
，
即 ，，
在 中， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
的最大值为 ，
故答案为 ， ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用
等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
13．1.2
解：以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，
设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=- ，
即抛物线的解析式为y=- （x+2）（x-2），
令x=1，解得y=1.5，
船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
14．6
【分析】每盆的盈利=每株盈利 每盆种植的株数，设每盆的盈利为y，每盆种植的株数为x，依题意
可得 ，利用配方法算出最值.
解：设每盆的盈利为y每盆种植的株数，每盆种植的株数为x，
依题意可得 ，
，
，
，
，
，
，当且仅当 时， 取得最大值.
本题的答案是：6.
【点拨】本题考查是的利用二次函数解决利润问题，配方法的经典应用.15．
【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝ （x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值
范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解．
解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝ ，
∴抛物线的表达式为y＝ （x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞ ；
当x＝18时，y＝ （x﹣6）2+h＝ （18﹣6）2+h≤0，
解得：h≥ ，
故h的取值范围是h≥ ．
故答案为：
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题
关键．
16．
【分析】以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设
该抛物线解析式为 ，由该抛物线经过点（9，0），即可求出该抛物线解析式为
，即能求出平移后的解析式为 ，即可知D点坐标．由点A和点C
坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即
求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为（-4，0）．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为 ．
∴设该抛物线解析式为 ，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点（9，0）．
∴ ，即 ，
∴该抛物线解析式为 ．
当x=0时，
故点A坐标为（0，-27a）．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为 ．
∴点D坐标为（3， ）．
设经过点A、C的直线解析式为 ，
∴ ，解得 ．
即经过点A、C的直线解析式为 ．
又∵该直线经过点D．
∴ ．
解得： ．
故平移后的抛物线解析式为 ，整理得： ．
当 时，即 ，
解得： （舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为 米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了 （米）．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式以及一次
函数的应用是解答本题的关键．数据处理较大，较难．
17．312.
【分析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B
商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，
且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值.
解：设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品
为（a+2）件，
根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，
∴x＝ ，
∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，
∴a＝10，x＝10
∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，故答案为：312.
【点拨】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.
18． ＜ ＜
【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标
（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
解：抛物线 ，
∴其对称轴为： ，且图象与x轴交于（ ，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1， ），当顶点在线段AB上时，有 ，则 ；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得： ；
∴ ，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（ ，0），（3，0）可知，
当 ＜ ＜ 时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则 的取值范围是 ＜ ＜ ；
故答案为： ＜ ＜ .
【点拨】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，
与x轴交点情况等，难度较大．
19．（1） ；（2）见分析；（3）存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设 点坐标为 ，可得 ，即 ．又 在抛物线上，
可得一元二次方 ，求解一元二次方程即可得解．
解：（1） 二次函数 经过点 ， ，解得
抛物线的解析式为 ．
（2）由 得， 点坐标为 ．
，
，
．
， ，
，
是直角三角形．
（3）解：存在，以 为底边，则 ．
设 点坐标为 ，得 ，即 ．
又 在抛物线上，
，即 ．
解得 ， （舍去）．
．
，即点 坐标为 ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，二次
函数的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握二次函数的性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．（1）① ， ② ；（2） 米；（3）
解：（1）①∵ ，且点A在x轴上，∴ ，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 ，
故答案为： ， ．
②设抛物线的解析式为 ，把原点代入得
，
解得 ，
∴此二次函数的表达式 ．
（2）∵二次函数的表达式 ，
令 得：
，
解得： ， ，
∴小船的最大宽度为： 米．
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为 ，对称轴平移后的对称轴为 ，点A平移
后的对应点为 ，根据图像性质，得到函数在 上，满足y随x的增大而减小，
∴ 或 ，
解得 或 （舍去），
故n的取值范围是 ．【点拨】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的平移，函数的增减性，抛物线的应用，熟练掌握抛物
线的平移，函数的增减性，抛物线的应用是解题的关键．
21．（1） （ ， 为整数）；（2）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450
元；
（3） 的值为350．
【分析】（1）设日销售量 与时间 的函数解析式为 ，将 、 代入，得二
元一次方程组，解得 和 的值，再代入 即可；
（2）设日销售利润为 ，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得 ，分两种情况
讨论：①当 时，②当 时；
（3）令 ，即 ，解一元二次方程组，求得解，得出符合题意的天数，
即可得出 的值．
（1）解：设日销售量 与时间 的函数解析式为
将 、 代入，
得： ，解得： ．
∴ （ ， 为整数）；
（2）解：设日销售利润为 ，则 ，
①当 时，，
当 时， 有最大值2450元；
②当 时，
，
当 时， 有最大值2301
第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；
（3）解：由（2）得：当 时，
，
令 ，即 ，
解得： ，
即 时，日销售利润不低于2400元，
共有21天符合条件．
（元 ．
【点拨】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析
式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合，是解题的关键．
22．（1）①抛物线 的解析式为 ，顶点坐标为 ；②弹珠能弹出箱子，理由见分析；
（2）
【分析】（1）①把点 ， 代入 ，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点
坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为 ，再根据题意可设抛物线M的解析式为
，然后把 代入，求出抛物线M的解析式，再求出当 时，y的值即可求解．
（2）由抛物线 经过点 ，得到 ，则抛物线解析式为 ，求出 ， ；当 时， ， 或
，要使弹珠能投入箱子，则 ，解不等式组即可
得到答案．
（1）解：①把点 ， 代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
解得： ，
∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为 ，
根据题意可设抛物线M的解析式为 ，
把点 代入 ，得： ，解得： 或 ，
∵抛物线M的对称轴在直线 的左侧，
∴ ，
∴抛物线M的解析式为 ，
∵当 时， ，
∴弹珠能弹出箱子．
（2）解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，当 时，则 ，
∴ ，
解得 或 ，
∵要使弹珠能投入箱子，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ；
当 ，即 时，满足 ，
当 ，即 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当 时，弹珠能投入箱子．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
23．（1）1；（2）水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；（3） ；（4）水平向后移动4
米，不能灌溉到这棵树，理由见分析
【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点 的坐标即可求解；
（2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线 解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作
轴交 于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算 的长度，建立关于t的二次函数，在取值
范围内求最大值即可；
（3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入 点、抛物线对称轴及B点横坐
标到二次函数解析式，建立不等式进行求解；（4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入 到抛物线解析式和直线 解析式进行对比即
可．
解：（1）代入 到抛物线解析式，得： ；
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为
将点 代入，得
抛物线的解析式为
即
坡地 经过点
的解析式为
如解图，
设抛物线上一点 ，过点P作 轴交 于点Q，
则 ， 的长为
，
函数图像开口向下，d有最大值
根据顶点公式当 时，有最大值
水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；
故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为 米；
（3）由（2）知，直线 的解析式为 ，时 ，
，
抛物线的解析式为 ，即 ，
当 时， ，要使水柱能超过点B则 ，
解得
故答案为： ；
（4）不能；
当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为 ．
将 代入抛物线解析式，得 ，
将 代入直线OB解析式，得
水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规
律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3）当 为 米时，造价最低，最低造价为2356000元
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，利用待定系数法即可求解；
（2）求得 ，推出 ，得到 ，据此即可求解；
（3）设 ，得到l关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入，得：，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵ 米，E点坐标为 ，
∴ ，
∵P和C到地面的距离均为n米，且P，C在抛物线 上，
∴P，C关于直线 对称．
∵C为两条形状完全相同的抛物线 与 的交点，
∴抛物线 由抛物线 向右平移20个单位得到，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得
∴ ；
（3）解：∵ ，设 ，
则 ， ，
∴
，
∵ ，
∴开口向上，
∴当 时， 最短，最短为23.56．
（元）
∴当 为 米时，造价最低，最低造价为2356000元．【点拨】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用二次函数的性质解决实际问题．
