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专题22.33 实际问题与二次函数（直通中考）（基础练）
一、单选题
1．（2023·浙江·统考中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 （秒）时球距
离地面的高度 （米）适用公式 ，那么球弹起后又回到地面所花的时间 （秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
2．（2010·广西南宁·中考真题）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与
小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（
）
A．6s B．4s C．3s D．2s
3．（2023·天津·统考中考真题）如图，要围一个矩形菜园 ，共中一边 是墙，且 的长不
能超过 ，其余的三边 用篱笆，且这三边的和为 ．有下列结论：
① 的长可以为 ；
② 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ；
③菜园 面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省 年的地区生产总值为
亿元， 年的地区生产总值为 亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据
题意可列方程（ ）A． B．
C． D．
5．（2019·山东临沂·统考中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球
运动时间 （单位： ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 ；②小球抛
出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度 时， ．其中正确的是
（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
6．（2007·江苏扬州·中考真题）烟花厂为扬州 烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，
这种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空到最高点
处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·江苏·中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若
新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B． m2 C． m2 D． m2
8．（2019·台湾·统考中考真题）如图，坐标平面上有一顶点为 的抛物线，此抛物线与方程式 的图形交于 、 两点， 为正三角形．若 点坐标为 ，则此抛物线与 轴的交点坐标为何？（
）
A． B． C． D．
9．（2011·青海西宁·中考真题）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3
米，此时距喷水管的水平距离为 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝－（x－ ）2＋3 B．y＝－3（x+ ）2+3
C．y＝－12（x- ）2＋3 D．y＝－12（x+ ）2+3
10．（2020·湖南长沙·统考中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽
小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为
“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：
（ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可
以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
二、填空题
11．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小
球沿与地面成 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系
是 ，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
12．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，
小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：
s）之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
13．（2020·江苏连云港·中考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．
在特定条件下，可食用率 与加工时间 （单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工
时间为 ．
14．（2016·广东梅州·中考真题）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是
抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地
处离池中心 ，水管长度应为 ．
16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距
离x（单位：m）之间的关系是 ，则铅球推出的距离 m．
17．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，王叔叔想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一
个矩形羊圈 ，已知房屋外墙足够长，当矩形 的边 时，羊圈的面积最大．
18．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线
运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是
．
三、解答题19．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过
程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
20．（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研
究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如
图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平
距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的
头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．21．（2022·山东滨州·统考中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每
月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x
（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
22．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽子，
两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用为
7000元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进
行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋
的销售价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水
平的路面，以O为坐标原点，以 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求： ，该抛物线的顶点P到 的距离为 ．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．
已知点A、B到 的距离均为 ，求点A、B的坐标．
24．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架
ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．参考答案
1．D
【分析】根据球弹起后又回到地面时 ，得到 ，解方程即可得到答案．
解：球弹起后又回到地面时 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间 （秒）是2，
故选：D
【点拨】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意可得，当﹣5t2+30t＝0时，小球从抛出至回落到地面，解出即可求解．
解：由小球高度h与运动时间t的关系式h＝30t﹣5t2．
令h＝0，有﹣5t2+30t＝0，
解得：t＝0（舍去），t＝6
1 2
∴小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
故选：A．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，得到当﹣5t2+30t＝0时，小球从抛出至回落到
地面是解题的关键．
3．C
【分析】设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，根据矩形的面积公式
列二次函数解析式，再分别根据 的长不能超过 ，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
解：设 的长为 ，矩形 的面积为 ，则 的长为 ，由题意得
，
其中 ，即 ，
① 的长不可以为 ，原说法错误；
③菜园 面积的最大值为 ，原说法正确；
②当 时，解得 或 ，
∴ 的长有两个不同的值满足菜园 面积为 ，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题
的关键．
4．B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
5．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为： ，
把 代入得 ，解得 ，
∴函数解析式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得： 或 ，
∴小球的高度 时， 或 ，故④错误；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
6．B
解：h=- t2+20t+1=- （t-4）2+41
- <0
∴这个二次函数图象开口向下，
∴当t=4时，升到最高点，
故选B．
7．C
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则
∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出 得出
，又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积
S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt CBE中，∵∠CEB=90°，
△
∴梯形ABCD面积
∴当x=4时，S最大=24 ．
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2；
故选C．
【点拨】此题考查了梯性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运
用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键
8．B
【分析】设 ， ， ，可知 ，再由等边三角形的性质可知
，设抛物线解析式 ，将点 代入解析式即可求 ，进而求解.
解：设 ， ，
点坐标为 ，
，为正三角形，
， ，
设抛物线解析式 ，
，
，
，
当 时， ；
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转
化为点的坐标是解题的关键．
9．C
【分析】根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，由此得到
顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可
确定抛物线的解析式．
解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为 米，∴顶点坐标为（ ，3），
设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，
而抛物线还经过（0，0），
∴0=a（0- ）2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x- ）2+3．
故选C．
10．C
【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
解：将（3,0.8）（4,0．9）（5,0.6）代入 得:
②－①和③－②得
⑤－④得 ,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴= ．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答
案．
11．2
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
解：根据题意，有 ，
当 时， 有最大值．
故答案为：2．【点拨】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点
及应用．
12．2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
13．3.75
【分析】根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可．
解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点拨】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公
式是解题关键．
14．（1+ ，2）或（1﹣ ，2）．
解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，在 中，令y=2，可得 ，解得x= ，∴P点坐标为（
，2）或（ ，2），故答案为（ ，2）或（ ，2）．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算．
15． /2.25米/ 米/ m/ 米/ m
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系，设
抛物线的解析式为 ，将 代入求得a值，则 时得的y值即为水管的长．
解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，
则设抛物线的解析式为：
，
代入 求得： ．
将 值代入得到抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ．
故水管长度为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直
角坐标系是解题的关键．
16．10
【分析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关键．
17．15
【分析】设 为 ，则 ，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．
解：设 为 ，面积为 ，
由题意可得： ，
当 时， 取得最大值，
即 时，羊圈的面积最大，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，
我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量
的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
18．4
【分析】将 代入 中可求出x，结合图形可知 ，即可求出OH．
解：当 时， ，解得： 或 ，
结合图形可知： ，
故答案为：4
【点拨】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
19．（1） ；（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润
是810元
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
（1）解：设一次函数的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
∴求y与x之间的函数关系式为 ；（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当 时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关
系，列出方程或函数关系式是解题的关键．
20．（1） ；（2）2或6m
【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求
解；
（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 （m），或 （m）．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．21．（1） ；（2）价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为
3630元
【分析】（1）设 ，把 ， 和 ， 代入求出k、b的值，从而得
出答案；
（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解
可得答案．
（1）解：设 ，把 ， 和 ， 代入可得
，
解得 ，
则 ；
（2）解：每月获得利润
．
∵ ，
∴当 时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【点拨】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中
蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．
22．（1） 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）当 品牌粽子
每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；（2）设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，列出 关于 的函数关系式，求出函数的最
值即可．
（1）解：设 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
故 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，
根据题意得，
，
∵ ，
∴当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980
元．
【点拨】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一
次方程组是解题的关键．
23．（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为 ，再代入（0，0），求出a的值即
可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
解：（1）依题意，顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
将 代入，得 ．解之，得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．（2）令 ，得 ．
解之，得 ．
∴ ．
【点拨】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解
答时求出二次函数的解析式是关键．
24．（1）AB的长为8厘米或12厘米；（2）150
【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，
进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有 ，然后根据二次
函数的性质可进行求解．
（1）解：设AB的长为x厘米，则有 厘米，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，即为 ；
故答案为：150．【点拨】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
