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专题 01 角（解决问题专项）
1．拿一个正方体盒子，先看看每个面上有几个直角，再数一数盒子上一共有多少个直角。换一
个长方体盒子再数一数，你发现了什么？
【答案】4个；24个；长方体和正方体盒子上都有24个直角
【分析】由题意得，正方体盒子的每个面都是正方形，正方形有4个直角，正方体盒子有6个
面，所以盒子上一共有（4×6）个直角；长方体盒子的每个面都是长方形，长方形有4个直角，
长方体盒子有6个面，所以盒子上一共有（4×6）个直角。所以长方体和正方体盒子上都有24个
直角。
【解答】4×6＝24（个）
答：正方体盒子的每个面上有4个直角，盒子上一共有24个直角。长方体盒子的每个面上有4
个直角，盒子上一共有24个直角。所以长方体和正方体盒子上都有24个直角。
2．剪纸社团的同学打算将精美的剪纸作品粘贴在展板上，展板不小心被小明撞掉了一个角，求
被撞掉的角的度数。
【答案】24°
【分析】观察图形可知，原展板为长方形，长方形的对边平行，所以撞掉角后，剩余部分的上下
两边仍然平行；已知其中一个角为114°，那么与它左边角的度数为：180°－114°＝66°；因为原
展板为长方形，长方形的四个角都是直角，即90°，所以被撞掉的角的度数为：90°－66°＝24°；
据此解答。
【解答】180°－114°＝66°
90°－66°＝24°
答：被撞掉的角的度数是24°。
3．如下图，饲养员从休息区到虎山有几条路可走？走哪条路最远？走哪条路最近？为什么？【答案】见详解
【分析】(1)观察图可知，饲养员从休息区到虎山有3条不同的路线可走.
(2)分别计算各条路的长度，比较大小得出最远的路；根据两点间线段最短的原理得出最近的
路。
【解答】(1)由图可得，有3条路可走。
答：饲养员从休息区到虎山有3条路可走。
(2)①号路长度： （km）
②号路长度：7km（直接为线段长度）
③号路长度： （km）
因为9＞8＞7，所以①号路最远。
又因为两点间所有连线中线段最短，②号路是休息区到虎山的直接线段，所以②号路最近。
答：走①号路最远，走②号路最近。
4．在下面4个点中画线段，你能画几条？
【答案】6条
【分析】线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。从第一个点出发，可以与第二、
三、四点分别画出3条线段；从第二点出发（已与第一点画过，不再重复），可以与第三、四点
画出2条线段；从第三点出发（已与第一、二点画过，不再重复），可以与第四点画出1条线
段；从第四点出发的线段已全部包含在前面的计数中。把以上统计出来的线段相加就是所有线段
的总数。
【解答】3＋2＋1＝6（条）
答：可以画6条线段。
5．摆一个三角形要用3根小棒，里面有3个角，摆两个三角形至少需要多少根小棒？一共有多
少个角？（画一画，想一想）
【答案】5根；8个角；图见详解
【分析】摆两个三角形，可以共用一条边，这样需要小棒的根数最少；然后数一数角的个数即
可。
【解答】据以上分析需要5根小棒，一共有8个角。
答：摆两个三角形至少需要5根小棒。一共有8个角。
6．欢欢晚上开始做家庭作业时，桌面上时针在6和7之间，分针刚好指向5，完成作业时，分针
正好走了一个平角。欢欢什么时间完成作业？
【答案】6：55
【分析】根据题意，时针在6和7之间，根据分针在钟面上走一大格是5分钟，此时分针指向
5，是5×5＝25（分钟）； 一个平角等于180°，一大格是30°，走6大格是180°，则分针从5开
始走6大格，据此算出经过的时间； 接下来，根据起始时间＋经过的时间＝结束时间进行计算
即可解答此题。
【解答】根据分析可知：
5×5＝25（分钟）
开始时间：6：2530°×6＝180°
经过时间：6×5＝30（分钟）
6：25＋30分钟＝6：55
答：欢欢6：55完成作业。
7．画一画，填一填。在钟面上画出时针和分针，让它们所成的角等于给定的度数。想一想，可
能是几时整？并在横线上填写相应的时间。
【答案】画图见详解；9：00或3：00；10：00或2：00
【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，3个30°是90°，因此图一
中，时针和分针相差3个大格；2个30°是60°，因此图二中，时针和分针相差2个大格，依此画
图并根据对钟面指针的认识写出对应的时间即可。
【解答】解答如下：
或
8．兰兰用学具小棒摆成一个50°的角，佳佳用同样的小棒摆成一个角，比兰兰的3倍还多30°，
佳佳摆的角是多少度？是什么角？
【答案】180°；平角
【分析】根据题意，用兰兰摆的角的度数乘3再加上30°，就是佳佳摆的角的度数，再根据角的分类：大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于
180°的角是平角；进行判定即可。
【解答】50°×3＋30°
＝150°＋30°
＝180°
答：佳佳摆的角是180°，是平角。
9．周六下午，文文和妈妈一起出门购物出门时，钟面上的时针在2和3之间，分针刚好指向6。
回到家时，分针刚好走了1个直角。文文和妈妈是在什么时候回到家的？
【答案】下午2：45
【分析】由题意得，文文和妈妈一起出门购物出门时，钟面上的时针在2和3之间，分针刚好指
向6，那么此时的时刻是下午2：30。分针走一个大格是5分，对应的角度是30°。回到家时，分
针刚好走了1个直角。直角的度数为90°，那么分针就走了3个30°，也就走了3个5分。直接用
2：30加上经过的时间即可算出她们回家的时刻。
【解答】30°×3＝90°，即分针走了3个大格。
5×3＝15（分钟），下午2：30＋15分钟＝下午2：45。
答：文文和妈妈是在下午2：45回到家的。
10．图中OA ，OA ，……， 都是射线。你能计算出图中共有多少个角吗？
1 2
【答案】190个
【分析】在看图中有多少个角时，首先需要明确“角”的定义。一个角是由两条射线（或线段）
与其公共端点组成的图形。根据这个定义，我们可以按照一定的步骤来数图中的角。已知两条射
线可以组成一个角，那么三条射线两两相交可以组成3个角，四条射线两两相交可以搭配组成6
个角，五条射线两两相交可以搭配组成10个角，六条射线两两相交可以搭配组成15个角，根据
搭配规则可以找到规律： 条射线可以组成 个角。
【解答】当 时（个）
答：图中共有190个角。
11．下面的图形中共有多少个角？
【答案】14个
【分析】
图形如下图所示：
单个的角有：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8、∠9总的9个角。两个角组成的大角
有：∠1和∠2；∠2和∠3，∠5和∠6，∠7和∠8，总的有4个角；三个角组成的大角有：
∠1、∠2和∠3，有1个角，总的角就是分别把它们相加即可。
【解答】9＋4＋1＝14（个）
答：图形中共有14个角。
12．图中有（ ）条直线，有（ ）条射线；有（ ）个直角，有（ ）个锐角，有（
）个钝角；若∠1＝30°，根据这个信息你能求出图中几个角的度数？请在图中标注出来。
【答案】1；5；3；4；2
3个；图见详解
【分析】直线无端点，长度无限，向两方无限延伸。 射线只有一个端点，长度无限，向一方无
限延伸。大于0°而小于90°的角叫锐角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，等于180°的角为平角。
与∠1 相邻的锐角∠2：因为∠2与∠1 组成直角，所以度数∠2＝90°－30°＝60°。
与∠2相邻的锐角∠3：因为∠2与∠3组成直角，所以度数∠3＝90°－60°＝30°。
与∠3相邻的锐角∠4：因为∠3与∠4组成直角，所以度数∠4＝90°－30°＝60°。
综上，已知∠1＝30°时，共能求出3个角的度数。
【解答】由分析得：
图中有1条直线，有5条射线；有3个直角，有4个锐角，有2个钝角；
已知∠1＝30°，则：
∠2＝90°－∠1＝90°－30°＝60°；
∠3＝90°－∠2＝90°－60°＝30°；
∠4＝90°－∠3＝90°－30°＝60°。
答：能求出图中3个角的度数，如下图所示∠2、∠3、∠4；
13．从乙地到冰雪乐园，包括出发站和终点站一共有6个汽车站，单程需要准备多少种不同的车
票？
【答案】15种
【分析】从乙地到冰雪乐园，包括出发站和终点站一共有6个汽车站，分别命名为站点1，站点
2，站点3，站点4，站点5，站点6。从站点1出发，到后面的站点一共有5种可能，分别到站
点2，站点3，站点4，站点5，站点6。从站点2出发，到后面的站点一共有4种可能，分别到
站点3，站点4，站点5，站点6。从站点3出发，到后面的站点一共有3种可能，分别到站点
4，站点5，站点6。从站点4出发，到后面的站点一共有2种可能，分别到站点5，站点6。从
站点5出发，到后面的站点只有1种可能，就是到站点6。然后把所有的情况加起来即可算出一
共需要准备多少种不同的车票。
【解答】5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1＝15（种）
答：单程需要准备15种不同的车票。
14．下面的图形中共有多少条线段？
【答案】10条
【分析】数线段时，可以分类有序思考。从A点出发，可以数出线段AB、AC、AD和AE，一
共4条。从B点出发，可以数出线段BC、BD和BE，一共3条。从C点出发，可以数出线段
CD和CE，一共2条。从D点出发，可以数出线段DE，只有1条。然后把它们全部加起来即
可。
【解答】4＋3＋2＋1
＝7＋2＋1
＝9＋1
＝10（条）
答：一共有10条线段。
15．王林的量角器损坏了（如下图），但他能用这个量角器完成“画一个60°的角”的作业，你
知道王林是怎样画出来的吗？请把你的想法写下来。
【答案】以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外一边即可画出60°的角
【分析】因为量角器破损，只能借助其他角度，比如以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外
一边，据此解答。
【解答】 ，所以以外圈60°为起始边，在外圈120°处画另外一边即可画出60°的
角。
（答案不唯一）
16．折纸是一种好玩的艺术创作活动，其蕴含着深刻的几何变换原理。如下图所示，将一张正方
形纸对折后，出现一条折痕，再将正方形的两个角折到折痕上，如果∠1＝60°，那么∠2是多少度？（提示：先判断∠3、∠4是什么角）
【答案】120度
【分析】由图可知，∠1、∠2、∠3、∠4构成了一个周角，周角是360°的角，又由对折的知识
可知∠3和∠4是正方形的两个直角，都是90°； 根据上述分析可得，∠2＝周角－∠1－∠3－
∠4，代入数据计算即可解答。
【解答】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°
∠3＝∠4＝90°
∠1＝60°
∠2＝360°－∠1－∠3－∠4
＝360°－60°－90°－90°
＝120°
答：∠2为120度。
17．如图所示，已知∠1＝40°，而且∠5是一个直角。请你算一算，∠2、∠3、∠4分别多少
度，并记录你的计算过程。
【答案】∠2＝50°；∠3＝130°，∠4＝50°
【分析】根据题意，∠5是直角，即90°，那么∠1＋∠2也应该等于90°，已知∠1＝40°，所以
∠2＝90°－∠1；∠1、∠5以及∠4组成一个平角，故∠4＝180°－∠1－∠5；∠3和∠4也组成
一个平角，故∠3＝180°－∠4，据此解答。
【解答】因为∠1＋∠2＝90°（直角）
故∠2＝90°－40°＝50°；
又因为∠1＋∠5＋∠4＝180°（平角）
故∠4＝180°－∠1－∠5
180°－∠1－∠5
＝180°－40°－90°＝140°－90°
＝50°
又因为∠3＋∠4＝180°（平角）
故∠3＝180°－∠4
180°－∠4＝180°－50°＝130°
答：∠2＝50°，∠3＝130°，∠4＝50°。
18．操作题。
把一张长方形纸折成如图所示的形状。
（1）看一看，∠1＝（ ）°。
（2）算一算，∠2的度数是多少？写出计算过程。
【答案】（1）150
（2）∠2＝180°－75°－75°＝30°
【分析】（1）量角器量角的方法： 点重合（量角器的中心点和你要量的那个角的顶点重合）；
边重合（量角器上的0刻度线和你要量的角的任意一条边重合，要是不能重合，可以通过旋转量
角器，达到一条边和0刻度线重合）；读准数（读数之前要看看角的另外一条边对应的是外圈的
数还是对应的内圈的数）。仔细观察图中量角器∠1的两个边分别指向的度数，左边的刻度是0°
前1格，右边的度数是149°，所以应该是149°＋1°＝150°。
（2）因为把一张长方形纸折成如图所示的形状，可知折叠的两个角相等，所以，如图可以判断
两个75°与∠2的度数的和是180°，∠2的度数就是用180°减去两个75°，列式计算即可。
【解答】根据分析可知：
（1）看一看，∠1＝150°。
（2）∠2＝180°－75°－75°＝30°
19．量出下面各角的度数，并指出各是什么角。( )°( )
角 ( )°( )角 ( )°( )角
【答案】 90 直 115 钝 60 锐
【分析】把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量
角器上的刻度，就是这个角的度数。
锐角指大于0°而小于90°的角，直角是等于90°的角，大于90°小于180°的角叫做钝角。通过测量
角度，判断各角分别是什么角，据此解答即可。
【解答】经测量，第一个角是90°，所以这个角是直角；
第二个角是115°，因为90°＜115°＜180°，所以这个角是钝角；
第三个角是60°，因为0°＜60°＜90°，所以这个角是锐角。
90° 直角 115°钝角 60° 锐角
20．一个正方形有几个角？如果去掉一个角后还剩下几个角？
【答案】4个；可能是5个角；或者4个角；或者3个角
【分析】根据正方形的特征，正方形有4个角，都是直角；题中说的去掉一个角，但没有规定怎
么剪。
（1）若剪掉正方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形，有5个角；
（2）若从正方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下
的部分为四边形，有4个角；
（3）若沿着正方形的对角线剪，则剩余部分为三角形，有3个角；据此解答即可。
【解答】一个正方形有4个角。
如图有3种剪法：如果去掉一个角后还剩下的角可能是5个角；或者4个角；或者3个角。
【点评】本题要结合实际，通过画图可以得出结论，要注意考虑到各种情况。
21．下图中已知∠2＝130°，∠1和∠3比，∠1（ ）∠3。请说明理由。
________________________________________
【答案】∠1＝∠3；理由见详解
【分析】通过观察可知，∠1和∠2组成平角，平角的度数为180°，因此∠1＝180°－∠2。
∠3和∠2也组成平角，同理可得∠3＝180°－∠2，因此∠1＝∠3。
【解答】∠1＝∠3。理由：∠1和∠3都与∠2组成平角，根据平角的定义，∠1＝180°－∠2，
∠3＝180°－∠2，因此∠1＝∠3。
22．下图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出几条线段？
你发现了什么规律？你能直接说出6个点最多可以连出几条线段吗？如果1路公交车有10个站
点，单程需要准备几种不同的车票？（可以先画图，再解答）
【答案】1条；3条；6条；10条规律见详解；15条；45种
【分析】根据题意，先在各个图中画出所有线段；可以发现第一个点可以和剩下的所有点画出线
段，第二个点可以和除了第一个点剩下所有的点画出线段，第三个点可以和除了第一、二个点剩
下所有的点画出线段…，据此找出规律即可。
【解答】2个点：1条
3个点：1＋2＝3（条）
4个点：1＋2＋3＝6（条）
5个点：1＋2＋3＋4＝10（条）
因此，图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出1条、3条、6条、10条线
段。
可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋…＋
（点的数量－1）1＋2＋3＋4＋5＝15（条）所以6个点最多可以连出15条线段。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（种）
答：图中的2个点、3个点、4个点、5个点，6个点分别最多可以连出1条、3条、6条、10
条、15条线段；发现了平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1
＋2＋3＋…＋（点的数量－1）；单程需要准备45种不同的车票。
【点评】解题关键是平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2
＋3＋…＋（点的数量－1）。
23．
（1）量一量，上面左图中∠1＝（ ）°，它比直角小（ ）°。
（2）请以上图中点B为顶点，射线BA为一条边，画一个110°的角。
【答案】（1）30；60
（2）见详解
【分析】（1）用量角器量角的方法：把量角器的中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边
重合；另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数。因为直角＝90°，求它比直角小多
少度，要用直角的度数减去测量角的度数，它比直角小的度数＝90°－∠1。
（2）量角器画角的方法：把量角器的中心与射线的端点B重合，0刻度线与射线BA重合，在量角器110°的刻度线位置上，点一个小圆点，用直尺把射线的端点和标记的小圆点连接起来，
画出另一条射线，就得到110°角。
【解答】（1）经过测量∠1＝30°
90°－30°＝60°。
所以经过测量∠1＝30°，它比直角小60°。
（2）画图，如下图所示：
24．看图回答问题。
（1）从邮局到学校有（ ）条路可以走，最近的路要走（ ）米。
（2）从邮局经过医院到学校最近要走（ ）米。
（3）自己提出问题并解答。
【答案】（1）3；640
（2）720
（3）从医院经过工厂到学校要走多少米？650米（答案不唯一）
【分析】（1）从邮局→学校、邮局→医院→学校、邮局→医院→工厂→学校，所以从邮局到学
校有3条路可以走，根据两点之间距离最短，来判断哪条路线最短，即邮局→学校这条路线最
短，为640米。
（2）用邮局到医院的距离加上医院到学校的距离，即可求出邮局→医院→学校这条路线的距
离，用邮局到医院的距离加上医院到工厂的距离，再加上工厂到学校的距离，即可求出邮局→医
院→工厂→学校这条路线的距离，比较这两条路线的长度即可。
（3）根据所给信息，提出合理问题即可。问题：从医院经过工厂到学校要走多少米？用医院到
工厂的距离加上工厂到学校的距离，即可求出从医院经过工厂到学校要走多少米。【解答】（1）由分析可知，从邮局到学校有3条路可以走，最近的路要走640米。
（2）300＋420＝720（米）
300＋350＋300＝950（米）
720＜950
所以从邮局经过医院到学校最近要走720米。
（3）从医院经过工厂到学校要走多少米？
350＋300＝650（米）
答：从医院经过工厂到学校要走650米。（答案不唯一）
25．操作。
（1）量一量，并在图中标出线段的长度。
（2）图中有（ ）条线段，直角有（ ）个，钝角有（ ）个。
（3）在图形里画一条线段，使它增加2个直角。
【答案】（1）见详解
（2）5；2；3
（3）见详解
【分析】（1）将直尺的0刻度线与线段的一端对齐，使直尺与线段保持平行，然后读取线段另
一端对应的刻度值，这个刻度值就是线段的长度。
（2）观察图形可知，该图形是由5条线段组成。直角是等于90°的角，该图形的左侧上下两个角
是90°，即有2个直角。钝角是大于90°小于180°的角，该图形的右侧上中下的3个角都大于
90°，且小于180°，所以有3个钝角。
（3）在图形右侧的斜边上，作一条垂直于上下边的线段，即与左侧竖直线段平行，这样会新增
2个直角。
【解答】（1）经测量标出的线段长度是3厘米。
（2）该图形是由5条线段组成；该图形的左侧上下两个角是90°；该图形的右侧上中下的3个角
都大于90°，且小于180°。
图中有5条线段，直角有2个，钝角有3个。（3）在图形右侧的斜边上，作一条垂直于上下边的线段。
26．丁俊晖是亚洲首位登上世界第一的台球运动员，并于2017年12月19日获得央视2017年体
坛风云人物年度非奥项目最佳运动员奖（提名）。下面两幅图是台球撞击球桌边框时的运动路
线，让我们由此来一起探索台球运动中的秘密吧！
（1）测量：∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。
（2）发现：∠1（ ）∠2，∠3（ ）∠4。
（3）运用：根据上面的发现补全下面台球的运动路线。
【答案】（1）60；60；40；40
（2）＝；＝
（3）见详解
【分析】（1）用量角器量角时，把量角器的中心与角的顶点对齐，把角的一条边与量角器上的
0刻度线对齐，然后观察另一条边所指的刻度线是几，这个角就是几度；
（2）根据（1）中各个角的大小作答即可；
（3）先用量角器测量出每个角的度数，再比较各角的度数大小并从中找出规律，可以发现台球
撞向球桌边框时的运动路线与球桌边框的夹角大小等于台球从球桌边框弹出时的运动路线与球桌
边框的夹角，最后由此规律在题图中补全台球的运动路线即可。
【解答】根据分析可得：
（1）测量可得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝40°，∠4＝40°；
（2）根据（1）所得，∠1＝∠2，∠3＝∠4；
（3）根据前两题发现：台球撞击桌面和撞击后弹出，两次与桌面的夹角是相等的，故作图如
下：27．清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸
鸢。”生动描绘了儿童放风筝的场景。下图画的是甲、乙两人放风筝的场景，风筝线的长度相
等。
（1）量一量，王红的风筝线与地面的夹角是（ ）°，李明的风筝线与地面的夹角是（ ）
°。
（2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？（夹角90°范围内）
（3）如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°（风筝线的长度与王红、李明的相等），那么他的
风筝飞得高度有王红和李明的高吗？为什么？
【答案】（1）65；40；
（2）风筝线与地面的夹角越大，风筝越高；
（3）张亮的风筝飞得比王红的风筝低比李明的高。理由见详解
【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重
合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。
（2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可。
（3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。
【解答】（1）量一量，王红的风筝线与地面的夹角是65°，李明的风筝线与地面的夹角是40°；
（2）经过测量发现，风筝线与地面的夹角越大，风筝就越高；
（3）65°＞50°＞40°
如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°，他的风筝飞得比王红的风筝低比李明的高。因为张亮的
风筝线与地面的夹角，比王红的风筝线与地面的夹角小，比李明的风筝线与地面的夹角大。
