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专题22.7 二次函数y=a(x−h) 2(a≠0)与y=a(x−h) 2+k(a≠0)图象与性质（分
层练习）（提升练）
一、单选题
1．二次函数 图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
2．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标为
C．该函数有最大值，最大值为5 D．当 时，y随x的增大而增大
3．若点 是二次函数 图象上的三点，则 的大
小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数 ，当 时，y的最小值为 ，则a的值为（ ）
A． 或4 B．4或 C． 或4 D． 或
5．如图，抛物线 （ ， ）与 轴交于 ， 两点，直线 交抛物线于另一点 ，
直线 交抛物线于另一点 ， 的解析式为 ， 的解析式为 ，若
，则 和 ， 和 的关系都正确的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．如图，抛物线 的顶点在 的边 所在的直线上运动，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，若抛物线与 的边 都有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ， ， 都在抛物线 （ ）上点 在点 左侧，下列选
项正确的是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
9．已知二次函数 （h为常数），在自变量x的值满足 的情况下，与其对应的函
数值y的最小值为 ，则h的值为（ ）
A． 或4 B．0或6 C．1或3 D． 或6
10．如图，二次函数 的图象与 轴交于两点，有下列结论：① ；
②点 的坐标为 ；
③图象的对称轴为直线
④当 时， 随 的增大而减小
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
12．抛物线 ，当 时， 的最小值是 ， 的最大值是 ．
13．在平面直角坐标系中，点 、 在抛物线 上．当 时，抛物线
上 、 两点之间（含 、 两点）的图像的最高点的纵坐标为3，则 的值为 ．
14．已知：点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2＋k（k≠0）的图象上，也在函数y＝（x＋k）2﹣k的图象
上，则m＋n的最小整数值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的对称中心为坐标原点 ， 轴，点A的坐标为
，若抛物线 在矩形 内部的图象中， 随 的增大而减小，则 的取值范围
是 ．16．已知抛物线 如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不
变，得到一个新图象如图2．当直线 与新图象有四个交点时，m的取值范围是 ．
17．如图，抛物线 与 交于点 ，过点A作x轴的平行线，分别交
两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y 的值总是正数；② ；③当 时，
2
；④ ；其中正确结论是 ．
18．在线段 上取点 ，分别以 、 为边在 的同一侧构造正方形 和正方形 ，
点 、 分别是 、 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最小值为 ．三、解答题
19．已知抛物线 的对称轴为直线 ，与y轴交于点 ．
(1) 求a和h的值；
(2) 求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
20．已知二次函数 （ 是实数）．
(1) 小明说：当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？
为什么？
(2) 已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
21．已知抛物线 经过点 ， ， ，连接 、 ，令 ．
(1) 若 ， ，求 的值；
(2) 若 ， ，求a的值．22．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，
0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S =3，求抛物线的解析式．
AMP
△
23．如图，已知二次函数的图象顶点是 ，且过C点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知直线 与该二次函数图像相交于点 ，求 两点的坐标．
（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．24．已知抛物线 （a，h，是常数，a≠0），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1) 若 ，点C的坐标为 ，求h的值；
(2) 若 ，当 时，对应函数值y的最小值是 ，求此时抛物线的解析式；
(3) 直线 经过点M，且与抛物线交于另一点D．当 轴时，求抛物线的解析式．
参考答案
1．C
【分析】根据对称轴方程 解答．解：∵ 的二次项系数 ，一次项系数 ，
∴对称轴 ，即 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．解答该题时，也可以利用顶点式方程来求二次函数的对称轴．
2．D
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
解： 中，
的系数为1， ，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是 ，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为 ， 时y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大，所以，
当 时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
3．C
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 ，利用二次函数的性质即可判断．
解：∵二次函数 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴ 关于对称轴的对称点为 ，
且 时， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据表达式求出对称轴，对 的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．解： 的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，
当 时，在 ，
∵y的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
时，在 ，
当 时函数有最小值，
∴ ，
解得 ；
综上所述：a的值为4或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，对 的分类讨论是本题的解题关键．
5．B
【分析】利用一次函数的特征，先求得 ， ，再由抛物线 （ ，
）与 轴交于 ， 两点，得 ，进而一次函数平行的性质即可得解．
解：∵ 的解析式为 ， 的解析式为 ，
∴令 得 ，解得 ，
令 得 ，解得 ，
∴ ， ，∵抛物线 （ ， ）与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先求得直线 的解析式为： ，然后由抛物线的顶点在直线 上，可求得 ，
于是得到抛物线的解析式为 ，由图形可知当抛物线经过点 和点 时抛物线与 的边
都有公共点，然后将点 和点 的坐标代入抛物线的解析式可求得 的值，从而可判断出 的取值
范围．
解：设直线 的解析式为： ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
抛物线 的顶点为： ， 且在 的边 所在的直线上运动，
，
抛物线解析式为： ，
当抛物线经过点 时，将 代入 得：
，解得 ， ，
当抛物线经过点 时，
将 代入 得：
，解得 ， ，
综上所述， 的取值范围为： ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，通过平移抛
物线探究得出抛物线与 的边 都有公共点，抛物线经过的“临界点”为点 和点 是解题的
关键．
7．D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为 ，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
解：由 得
二次函数的对称轴为 ，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关
键.
8．D
【分析】根据题意画出二次函数的大致图像，利用数形结合的思想求解．
解：根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为 ，再根据 可以画出抛物线的大致图像，分为
两种情况：
当 时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得 ，故 选项错误， 选项正确；当 时，如图所示，根据二次函数图像的性质可得 ，故 、 选项错误；
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，根据题意画出函数的大致图像利用数形结合的思想解题
是解决本题的关键．
9．D
【分析】根据题意可得分类讨论当 或 取最小即可得到答案．
解：由题意可得，
抛物线的顶点为 ，最小值为1，
∵当 函数值y的最小值为 ，
∴有两种情况对称轴 ，
当 时，
， 时y随x增大而减小，
∴ 时取最小，即 ，解得 ， （不符合题意舍去），
时，
， 时y随x增大而增大，
∴ 时取最小，
即 ，解得 ， （不符合题意舍去），
综上所述 或 ，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
10．B
【分析】根据二次函数的图象判断 ，根据顶点式判断对称轴，增减性即可得出结果．
解：∵抛物线开口向上，
∴ ，故①正确；
无法确定 、 的坐标，故②错误；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，故③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，故④错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数顶点式，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标；
解： 是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
故答案为
【点拨】考查二次函数的性质，在顶点式 中，顶点坐标是 ．
12．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．解：∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
∴函数最大值为3，
∵ ，
∴若 ，当 时，函数取最小值，
将 代入 ，得 ，
∴ 的最小值为 ，最大值为3．
故答案为： ，3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函
数与方程及不等式的关系．
13．
【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求
解即可．
解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ，
∴当 时， ，不符合题意；
当 时，抛物线上 、 两点之间（含 、 两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3，
不符合题意；
当 时， 随 增大而增大，
∴当 时，函数值 ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键．
14．1
【分析】由题意求出m= ，n=k2+ ，则可得出答案．
解：∵点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y＝（x+k）2﹣k图象上，
∴ ，
解得： ，
∴m+n＝ ＝ ，
∵k2＞0，
∴m+n的最小整数值是1．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
15．
【分析】求出抛物线经过C，B两点时，m的值，可得结论．
解：由题意，A的坐标为 ，
∴C ，B ，
当抛物线 经过点C 时， ，
∴ ．
当抛物线 经过点B 时， ，
∴ ，
观察图象可知满足条件m的值为 ．
故答案为： ．【点拨】本题考查矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用数形结合
思想．
16．
【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线 与图象恰有四个公共点时m的取值范
围即可．
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
根据翻折变换， 关于x轴的对称点为 ，
∴曲线 所对应的函数解析式为 ，
当直线 与图象2恰有四个公共点时，如图所示：①当直线 与x轴重合，即 时与图象②有两个公共点，
所以当 时与图象②有四个公共点；
②当 时，直线 与 有三个公共点，
所以当 时，直线 与新图象有四个交点．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线 有四
个不同公共点的条件是解题的关键．
17．①②④
【分析】根据 的图象在x轴上方即可得出 的取值范围；把 代入抛物线
即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出 的值；根据两函数的解析式求出A、
B、C的坐标，计算出 与 的长，即可得到 的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴无论x取何值， 的值总是正数，①正确；
∵抛物线 与 交于点 ，
∴ ，
∴ ，②正确；当 时， ， ，
∴当 时， ，③错误；
当 时， ，解得 或1，
当 时， ，解得 或5，
∴ ，
即 ，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时
要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18．4
【分析】过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值
即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ= = = ，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．19．(1) ， ；(2) ．
【分析】（1）利用对称轴为直线 ，可得 ，
（2）根据原抛物线为 ，顶点坐标为： ，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为
，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为 ．
（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于点 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知：该抛物线为： ，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为 ，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为 ．
【点拨】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．
20．(1)对的，理由见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；
（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a
的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次
函数的性质即可证得结论．
（1）解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数 （ 是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当 的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．（2）证明：点 ， 都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入 ，得
∴c≤15．
【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)1；(2)
【分析】（1）当 ，点 为抛物线的顶点，点 、 关于抛物线对称轴对称，即可求解；
（2）求出点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，即可求解．
（1）解：∵ ， ，
则点 为抛物线的顶点，点 、 关于抛物线对称轴对称，
故 ，
∴ ；
（2）解：若 ，则 ，
则 ， ， ，
即点 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
则 ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，能根据题意，巧妙地利用性质进行解题是解此题的关键．
22．（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．
【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S =3求出M的坐标，最后求出解析式.
AMP
△
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得
解得
解析式为y=﹣x+4．
（2）设M点的坐标为（m，n），
∵S =3，
AMP
△
∴ （4﹣1）n=3，
解得，n=2，
把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，
M（2，2），
∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），
可得y=a（x﹣1）2，
把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．
【点拨】此题重点考查学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键.
23．（1） ；（2）A（ ， ），B（4，5）；（3） ＜x＜4
【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C坐标代入，即可求出解析式；
（2）令 ，解方程即可得到A、B的横坐标，从而计算出纵坐标；
（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x取值范围．解：（1）∵二次函数的图象顶点是 ，
设二次函数表达式为 ，
∵过C点 ，代入，
，解得：a=2，
∴二次函数表达式为： ；
（2）由题意可得： ，
解得：x= 或4，
+1= ，4+1=5，
∴A（ ， ），B（4，5）；
（3）由图像可得：
当一次函数图像在二次函数图像上方时， ＜x＜4，
∴当 ＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合，用待定系数法求二次函数的解析式，是中档题，要熟
练掌握．
24．(1) ；(2) 或 ；(3) ．
【分析】（1）把 ，点 代入函数 ，即可求出h的值；
（2）把 代入函数得 ，根据当 时，对应函数值y的最小值是 ，则分三
种情况讨论：①若 在对称轴的左边，则y随x的增大而减小，此时 ，且 ， ，代入函
数即可求出h的值；②若 在对称轴的右边，则y随x的增大而增大，此时 ，且 ， ，代入函数即可求出h的值；③若对称轴在 内，则抛物线在顶点处取得最小值，为 ，不合题意，
舍去．综上所述可得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线解析式可得顶点坐标为 ，又直线 经过点M，从而可 ，抛物
线解析式为： ，抛物线与y轴交点C的坐标为 ，根据 轴，且点D在抛物
线上可得点D的坐标为 ．又直线 经过点D，从而求得 ，因此抛物线解析式为
．
（1）解：把 ，点 代入函数 ，得
，
解得： ．
（2）解：∵ ，
∴抛物线为 ，抛物线开口向上，对称轴为 ．
∵当 时，对应函数值y的最小值是 ，
∴分三种情况讨论：
①若对称轴 ，则 在对称轴的左边，y随x的增大而减小．
∴ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴抛物线的解析式为： ．
②若对称轴 ，则 在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
∴ ， ，∴
解得： （舍去）或
∴抛物线的解析式为： ．
③若 ，则为抛物线在顶点处取得最小值，即当 时，函数最小值为 ，不合题意，舍
去．
综上所述，抛物线的解析式为： 或 ．
（3）解：∵抛物线 的顶点为 ，直线 经过点M，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ．
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 轴，
∴点D的纵坐标为为 ，
把 代入抛物线 中，得
，
解得 或 ，
∴点D的坐标为 ．
∵直线 经过点D，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ．【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的
关键．
