文档内容
专题 24.15 圆（5 大考点 15 类题型）（全章知识梳理与题型分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【知识点二】圆心角、弦、弧、弦心距之间关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对
应的其余各组量都分别相等.
【知识点三】圆周角定理及其推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：直径所对的圆周角是直角； 圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【知识点四】点和圆的位置关系
点在圆外， ；点在圆上， ；点在圆内， ；
【知识点五】直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为 ，圆的半径为 ）
相交：直线与圆有两个公共点， ；
相切：直线与圆有一个公共点， ；
相离：直线与圆无公共点， .
【知识点六】切线性质定理与判定定理
切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法
（1）直线与交点个数；
（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.
【知识点七】切线长定理
（1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条
切线的夹角.
（2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.
【知识点八】确定圆的条件
（1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【知识点九】圆的外心与内心
（1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形
各顶点的距离相等.
（2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外
部。
A
O
B C
（3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
（4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距
离相等。
A
D
F
O
B C
E
【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系
（1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去 再乘以 2..
（2）三角形周长为 ，面积为 ，内切圆半径为 ,则 .
（3）直角三角形两直角边分别是 ，斜边为 ，内切圆半径为 ，则 .
【知识点十一】正多边形与圆、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积
（1）正 变形的圆心角为 度.
（2）弧长计算公式：在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长计算公式为 .
（3）如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
（4）如果扇形的半径为 ，弧长为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
（5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积
， 圆锥的全面积: .
知识点与题型目录
【考点一】圆的有关性质
【题型1】圆及相关概念.......................................................4
【题型2】垂径定理及推论.....................................................4
【题型3】弧、弦、圆心角、弦心距关系.........................................6
【题型4】圆周角.............................................................7
【题型5】圆的有关性质综合...................................................7
【考点二】点和圆、直线和圆的位置关系
【题型6】点和圆的位置关系...................................................9
【题型7】直线和圆的位置关系.................................................9
【题型8】切线的性质与判定综合..............................................10
【题型9】切线长定理........................................................11
【考点三】正多边形和圆【题型10】正多边形和圆.....................................................12
【考点四】弧长与扇形面积
【题型11】利用弧长公式求值.................................................13
【题型12】利用扇形公式求值.................................................13
【题型13】求圆的不规则图形面积.............................................14
【考点五】直通中考与拓展延伸
【题型14】直通中考.........................................................15
【题型15】拓展延伸.........................................................16
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆及相关概念
【例1】如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，点 ， 分别是 ，
的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求 的最大值.
【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角
所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离
相等．其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．
已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点， 是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，
若 ，则图中 ．【变式3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中， 为直径， ，点 、点 均
在 上， ，将点 沿直线 翻折，翻折后点 的对应点为点 ，若 ，则 的长为
．
【题型2】垂径定理及推论
【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知 的半径长为1， 、 是 的两条弦，且
， 的延长线交 于点D，连结 ， ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求 的度数．
(3)当 是直角三角形时，求B、C两点之间的距离．
【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，以 为
直径作 ．将矩形 绕点C旋转，使所得矩形 的边 与 相切，切点为E，边 与
相交于点F，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．【变式2】（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在圆上，且 经
过 中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 过原点 ，交 轴，
轴分别于点 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【变式4】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， ， 是半径为 的 的两条弦， ，
， 是直径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小
值为 ．
【题型3】弧、弦、圆心角、弦心距关系
【例3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为
，交 延长线于点 ．
(1)求证： 是 的中点；(2)若 ， ，求 的半径．
【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， ， ， ， 是 上的点， ，下列结论
中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 的直径 ，半径 ，点 在弧
上， ， ，垂足分别为 、 ，若点 为 的中点，弧 的度数为 ．
【题型4】圆周角
【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 是半圆上一动
点，且与点 分别在 的两侧．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)求证： ．【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图， ， 是 的直径，弦 ，连结 ，
，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 的半径是4，C，D是直径 同侧圆周
上的两点， ， ，动点P在 上，则 的最小值为 ．
【题型5】圆的有关性质综合
【例5】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】
如图1， ， 是 上两点，且在直径 的上方，若直径 上存在一点 ，连接 ， ，满足
，则称 是 的“幸运角”．【问题探究】
（1）如图2， 是 的直径，弦 ， 是 上的一点，连接 交 于点 ，连接 ．
① 是 的“幸运角”吗？请说明理由；
②设 所对的圆心角为 ，请用含 的式子表示 的“幸运角”的度数；
【拓展延伸】
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径 ， 的“幸运角”为 ， ，求 的长．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记
载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小
组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设 所在圆的圆心为 ，经测量：弦
，过弦 的中点 作 交圆弧于点 ，且 ，则该车轮的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广东中山·三模）如图，量筒的液面 呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与
液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒
上点D的高度为 ；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为 ，若点
D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为 ，则平视点C，点C的高度为 ．【题型6】点和圆的位置关系
【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．
(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半
径 的取值范围？
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若
圆的半径是5，则 的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中
点，连接 ， ，交 于F，D两点．若 ， ， ，则 的周长为 ．
【题型7】直线和圆的位置关系
【例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心
作 ．(1)当半径 为________时，直线 与 相切；
(2)当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
(3)当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
【变式1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，
以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为 ，若直线l与半圆只有一个公共点，则t
的值是 ．
【变式2】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出
发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若 ，则
PC长的最小值为 ．
【题型8】切线的性质与判定综合
【例8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大
的两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于
．小 的半径为 ．
(1) 的长为__________；
(2)试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 为 的直径 延长线上的一点， 与 相
切，切点为 ，点 是 上一点，连接 ．已知 ．下列结论：（1） 与 相切；
（2）四边形 是菱形；（3） ；（4）弧 弧 ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图， 是 的弦， 是 的切线．若
，则 ．
【题型9】切线长定理
【例9】（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线 经过原点 和
三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线与 轴的另一个交点为 ．以 为直径作 ，如果过抛物线上一点 作 的切线 ，
切点为 ，且与 轴的正半轴交于点 ，连接 ．已知点 的坐标为(0,m)，求四边形 的面积．（用含 的代数式表示）
(3)延长 交 于点 ，连接 ，当点 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
？请求出此时点 的坐标．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，其内切圆分别
与 相切于点D、E、F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， ， 是 的切线，切点为 ，点
在 上，若 ，则 ．
【题型10】正多边形和圆
【例10】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
【变式1】（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的
比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著
名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，
他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416，如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正
八边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正六边形近似估计 的面积，可
得 的估计值为 ．（结果保留根号）
【题型11】利用弧长公式求值
【例11】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，
在 中， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的
对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长是多少？（结果用含 的式子表示）．【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ， ，现以三
角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与 的顶点重合），
则 的长为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或2π D． 或
【变式2】（2023·河南新乡·二模）如图，将矩形 绕点 逆时针旋转 得到矩形 ，点
的对应点 恰好落在边 上，若 的长为 ，则 的长为 ．
【题型12】利用扇形公式求值
【例11】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为 ，
．将 绕圆心O逆时针旋转至 ，点 在 上，求边 扫过区
域（图中阴影部分）的面积．
【变式1】（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形 的边长为4，以A为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角 的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴
影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则 的面积为 ．
【题型13】求圆的不规则图形面积
【例13】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，
切点分别为 ， ．则图中的 与 ， 与 有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，
延长 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；
②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，边长为 的等边三角形 的外心为点G，以点G为圆心， 长为半径作半圆 ，直径 交 于点D，以 为邻边作矩形 交半圆于点E，将
半圆在 下方的部分沿 向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形 的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，
正六边形边长为半径画 ，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型1】直通中考
【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是
上的一点，连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径； ②求图中阴影部分的面积．【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点
为圆心， 为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【题型14】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏南京）已知 的两边分别与 相切于点A，B， 的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上， ，求 的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明
理由；
(3)若 交 于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1， 是 的直径，点D为 下方 上一点，
点C为 的中点，连结 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，延长 相交于点E，①求证： ．
②若 ， ，求 的半径．
