文档内容
专题24.28 切线长定理（直通中考）
【要点回顾】
1．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
2．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
3．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
一、单选题
1．（2023·山东·统考中考真题）在 中， ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 内切圆的半径 D．当 时， 是直角三角形
2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为圆心，任意长为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的定长为半径画弧，两弧
交于点 ，作射线 交 于点 ，作 ，垂足为 ，则下列结论不正确的是（
）
A． B．
C． D． 一定经过 的内心
3．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心，连接
， ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内
心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿 ， 分
别相切于点 ， ，不倒翁的鼻尖正好是圆心 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形材料 中， ， ，
， ， ．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是
（ ）A． B． C． D．
7．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在 ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为
半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆△心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射
线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是 ABC的内心
D．I到△A，B，C三点的距离相等
8．（2022·广西贵港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等 D．正多边形都是中心对称图形
9．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交
于点 ，与 相交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点
为 的中点，则 ；④ ．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·贵州遵义·统考二模）如图，AB为 的直径，延长AB到点P，过点P作 的切线
PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若 ， ，则AD
的长为（ ）A． B． C．2 D．
二、填空题
11．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， 的内切圆 与 分
别相切于点 ， ，连接 的延长线交 于点 ，则 ．
12．（2022·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和
一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为
49，则大正方形的面积为 ．
13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在等腰直角三角形 中， ，点P在以斜边 为
直径的半圆上，M为 的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
14．（2022·辽宁锦州·统考二模）如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于 度．
15．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，直线 ， ， 分别与 相切于 ， ， ，且
，若 ， ，则 的长等于 ．
16．（2022·安徽蚌埠·统考二模）如图， 中， ，M是BC的中点， 的内切圆
与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若 ，则 的大小为 ．
17．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在 中，点 是直径 的延长线上一点，过点 作 的切线
，C为切点．连接 ，若 ，则 的度数为 ．
18．（2022·湖南株洲·统考一模）已知点P（ ， ）和直线 ，求点P到直线 的距离d可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），
半径为1，直线AB的表达式为 ，P是直线AB上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是
．
三、解答题
19．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）已知： ．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出 内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果 的周长为14 ，内切圆的半径为1.3 ，求 的面积．
20．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径， ．
（1）求证： ；（2）若 ，求 的半径．
21．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知
．
（1）若 的半径为5，求 的长；
（2）试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）22．（2022·天津·统考中考真题）已知 为 的直径， ，C为 上一点，连接 ．
（1）如图①，若C为 的中点，求 的大小和 的长；
（2）如图②，若 为 的半径，且 ，垂足为E，过点D作 的切线，与 的
延长线相交于点F，求 的长．
23．（2022·江西·统考中考真题）（1）课本再现：在 中， 是 所对的圆心角， 是
所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与 的位置关系进行分类．
图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况
证明 ；
（2）知识应用：如图4，若 的半径为2， 分别与 相切于点A，B， ，求 的
长．24．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐
角 的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不
与点A、C重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点E，使 ，
连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点P在 上，且点P与点B在
的两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________．
参考答案
1．C
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
解：∵ ，
∴ 即 ，故A说法正确；
当 时， ，若以 为底，高 ，
∴ ，故B说法正确；
设 内切圆的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C说法错误；
当 时， ，
∴ 是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握
内切圆半径与圆的面积周长之间的关系 是解题的关键．
2．C
【分析】根据作图可得 是 的角平分线，根据角平分线的性质得出 ，即可判断B，
证明 ，根据全等三角形的性质，即可判断A，根据三角形内心的定义，即可判断D选项，
假设 成立，得出 ，即可判断C选项．
解：根据作图可得 是 的角平分线，点 在 上， ，
∴ ，故B选项正确，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，故A选项正确；∵ 是 的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，
∴ 一定经过 的内心，故D选项正确；
若 ，则 ， ，
又 ，
则 ，
∴ ，而题目没有给出这个条件，故C选项不一定正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心
的定义，熟练掌握基本作图是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形内心的定义可得 的度数，然后由圆周角定理求出 ，再根据三角形
内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
解：连接 ，
∵点I是 的内心， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分
线的交点是解题的关键．
4．B
【分析】过点 作 ，根据切线长定理设 ，进而结合已知条
件表示出 ，求得 的长，进而即可求解．
解：如图，过点 作 ，∵ 是 的内心，
∴ ，
设 ，
∵BD＝10，
∴ ，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
5．C
【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相
切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
解：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°．
故选：C
【点拨】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
6．B
【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据
此求解即可．
解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，
∵ ，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴EB=32cm，
∴ ，
设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此圆的半径为8cm，
故选B．【点拨】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题
的关键．
7．D
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
解：A.由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B.∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项正确，不符合题意；
C.由上可知，I是 ABC的内心，故选项正确，不符合题意，
D.∵I是 ABC的内△心，
∴I到AB△，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内
心的性质．
8．C
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
解：当 时， ，故A为假命题，故A选项错误；
当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；
正三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
9．D
【分析】根据点 是 的内心，可得 ，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确；
，得出 ，再由点 为 的中点，则 成立，故③正确；根据点 是
的内心和三角形的外角的性质，可得 ，再由圆周角定理可得
，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
解：∵点 是 的内心，
∴ ，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点 是 的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∴ ,
∵点 为 的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴ 成立，故③正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴ ，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴ ，
∴∠DBE=∠BED，
∴ ，故④正确；
∴正确的有4个．
故选：D
【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形
的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
10．A
【分析】连接 ，设 ， 的半径为 ，由勾股定理求出 ，在 中，由
可得方程 ，代入 的值，可求出x的值，再根据勾股定理可得出
结论．
解：连接 ，如图所示，
∵PC，PD是 的切线，
∴
设
∵
∴
∴设 的半径为
∴
在 中， ，
解得，
在 中，
∵ 是 的切线，
∴
在 中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得， 或 （舍去）
∴
∴
在 中， ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关
键．11． / 度
【分析】如图所示，连接 ，设 交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理
求出 ，再由切线长定理得到 ，进而推出 是 的垂直平分线，即 ，
则 ．
解：如图所示，连接 ，设 交于H，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 分别相切于点 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，
三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．289
【分析】设直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于 ，即 ，根据小正方的面积为49，可得
，进而计算 即 即可求解．
解：设四个全等的直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①， ②，
，
③，
，
解得 或 （舍去），
大正方形的面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的
内切圆的半径等于 是解题的关键．
13．
【分析】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，可
得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．
解：取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，如图，则 ，且 ， ， ，
∴四边形CEOF为平行四边形，
∵AC=BC，∠ACB=90 ，
∴四边形 为正方° 形，
∴CE=CF= ，EF=OC，
由勾股定理得： ，
∵在等腰 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
当点 点在点 时， 点在 点；点 点在点 时， 点在 点，
∴ 点的路径为以 为直径的半圆，
∴点 运动的路径长 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性
质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．
14．64
【分析】由已知条件推导出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根据∠DAC=78°，能求出∠AOD
的大小．
解：∵AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，BD=OB，
垂直平分 ,∠CAO=∠OAB
∠OAB=∠BAD，∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，
∵∠DAC=78°，
∴∠BAO= ∠DAC=26°，
∴∠AOD=90°-26°=64°．
故答案为：64．
【点拨】本题考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用是解题的关键．
15．10cm
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明 ，再根据勾股定理即可求得 的
长，再结合切线长定理即可求解．
解： ，
，
、 ， 分别与 相切于 、 、 ，
， ， ， ，
，
，
，
．
故答案为：10cm．
【点拨】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和
这点的连线平分两条切线的夹角．
16．30°/30度
【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，
的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定△理证明 BDE是等腰三角形，得到∠BED＝
∠BDE，利用 得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，△进一步证得 ABM是等边三角形，∠B＝
60°，即可求出∠C的大小． △
解：∵ ，
∴ ABC是直角三角形
∵△M是BC的中点，∴AM＝BM＝ ，
∴△ABM是等腰三角形，
∴∠B＝∠BAM，
∵ 的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BED＝∠BDE，
∵ ，
∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，
∴∠BMA＝∠BAM
∴∠B＝∠BMA＝∠BAM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝90°－∠B＝30°，
故答案为：30°．
【点拨】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的
判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
17．
【分析】连接 ，根据切线的性质，得出 ，再根据直角三角形两锐角互余，得出
的度数，然后再根据三角形的外角和定理，得出 ，再根据等边对等角，得出
，再进行计算即可得出 的度数．
解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵点 是直径 的延长线上一点，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本
题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
18．
【分析】连接 ，先根据点与圆的位置关系可得当点 为 与 的交点时， 取得最小值
，再根据垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，然后利用点到直线的距离公式可得
的长，由此即可得．
解： 的半径为1，
，
如图，连接 ，
则当点 为 与 的交点时， 取得最小值，最小值为 ，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
直线 的表达式为 ， 的坐标为 ，的最小值为 ，
则 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系、垂线段最短等知识点，正确找出 取得最小值时，点
的位置是解题关键．
19．（1）作图见详解；（2）9.1
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角
的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三
角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进
而求出三角形的面积．
（1）解：如下图所示，O为所求作点，
（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3 ，
∴OD=OF=OE=1.3，∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则
故三角形ABC的面积为9.1．
【点拨】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的
性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，即
可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在 中，
根据勾股定理得出 ，求出 即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆
周角定理．
21．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）由题意得， ，根据 得 ，根据切线的
性质得 ，即 ，根据题意得 ，则 ，即可得 ，
根据角之间的关系和边之间的关系得 是等边三角形，即可得∴ ，则 ,根据题
意得， ， ，在 中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得， 为等边三角形，可得 ，在
中，根据直角三角形的性质得 ，即 ；方法二：连接 ，过点O作 ，
垂足为H，根据题意得，四边形 是矩形，所以 ，根据等边三角形的性质得 ，根
据边之间的关系得CE=OE，根据HL得 ，即可得 ，由此即可得 ．
（1）解：如图所示，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，C为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，垂足为F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为5，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴在 中， ．
（2） ，证明如下
证明：方法一：如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ，
∴ ，
即 ；
方法二：如图所示，连接 ，过点O作 ，垂足为H，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，即DE=2EH，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
22．（1） ， ；（2）
【分析】（1）由圆周角定理得 ，由C为 的中点，得 ，从而 ，即可
求得 的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形 为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．
解：（1）∵ 为 的直径，
∴ ，
由C为 的中点，得 ，
∴ ，得 ，
在 中， ，
∴ ；
根据勾股定理，有 ，
又 ，得 ，
∴ ；
（2）∵ 是 的切线，∴ ，即 ，
∵ ，垂足为E，
∴ ，
同（1）可得 ，有 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，于是 ，
在 中，由 ，得 ，
∴ ．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，
勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性
质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得
∠OPA=30°，从而得PA的长．
解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB= ∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB= ∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO= ∠APB= （180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
【点拨】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．24．感知： ；探究：见分析；应用： ．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三
角形，进而得证；
应用：延长 至点E，使 ，连结 ，通过证明 得，可推得 是等腰
直角三角形，结合 与 可得 ，代入 即可求解．
解：感知：
由圆周角定理可得 ，
故答案为： ；
探究：
证明：延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴ ， ，
，
是等边三角形，
，
，
即 ；
应用：
延长 至点E，使 ，连结 ，
四边形 是 的内接四边形，．
，
．
，
，
∴ ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边
三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换
求解．
