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专题24.4 垂径定理（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别指出：
(1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【知识点2】垂径定理的推论
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.
特别指出：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，
在 这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，
平分的弦不能是直径）
【考点一】与圆相关的概念
【例1】垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，
同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
解：可以运用垂径定理解决问题的图形是．
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧．
【举一返三】
【变式1】．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，
小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，
但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【变式2】如图，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝ ．当EO＝ BE且∠OEC＝
45°时，弦BC的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．【答案】B
【分析】作OH⊥BC于H，连接OB，可知△OEH是等腰直角三角形，设EH＝OH＝a，则OE＝
， BE＝a，利用勾股定理得OB＝ ，从而解决问题．
解：作OH⊥BC于H，连接OB，
∵∠OEC＝45°，∠OHE＝90°，
∴∠OEC＝∠EOH＝45°，
∴EH＝OH，
设EH＝OH＝a，则OE＝ ，
∵EO＝ BE，
∴BE＝a，
∴BH＝2a，
由勾股定理得，OB＝ ＝OA= ，
∴a＝1，
∴BH＝2，
∵OH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
判断出BH=2OH是解题的关键．
【考点二】垂径定理➼➻求值★★证明
【例2】弦心距：圆心到 的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
在直角三角形中，由勾股定理得： 2＋半弦2＝半径2【答案】 弦 弦心距
【分析】由垂径定理和勾股定理求解即可．
解：弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．
由题意得： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即弦心距 半弦 半径 ．
故答案为：弦，弦心距．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
【举一返三】
【变式1】如图，已知 中，弦 ，点 是弦 上一点， ， ．
(1) 求 的长；
(2) 过点 作弦 与弦 垂直，求证： ．
【答案】(1) ；(2)见分析
【分析】（1）过点 作 于 ，根据 ，在直角三角 中，求得 ，勾股定理求得 即可求解；
（2）过点 作 于 ，则 ，根据已知得出 ，进而根据角
平分线的性质得出 ，连接 ，证明 ，得出 ，即可得证．
（1）解：如图，过点 作 于 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，如图，在 与 中，
∴ ，
∴
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以
上知识是解题的关键．
【变式2】已知：在圆O内，弦 与弦 交于点 分别是 和 的中点，联结
．
（1）求证： ；
（2）联结 ，当 时，求证：四边形 为矩形．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连结 ，由M、N分别是 和 的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由
， 可得 ，可证 ， ，根据等腰
三角形三线合一性质 ;（2）设OG交MN于E，由 ，可得 ，可得 ，
，可证 可得 ，由CN∥OG，可得
，由 可得AM∥CN，可证 是平行四边形，再由
可证四边形ACNM是矩形．
解：证明：（1）连结 ，
∵M、N分别是 和 的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在 中， ，
，
在Rt OMG和Rt ONG中，
△ △
，
，
∴ ，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴ ，
∴ ，即 ，，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，
矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，
矩形的判定是解题关键．
【考点三】垂径定理的推论➼➻求值★★证明
【例3】如图， 是 的弦，根据下列条件填空：
（1）如果 是 的直径，且 于点 ，那么有________，________，________；
（2）如果 是 的直径，且 ，那么有________，________，________；
（3）如果 ，且 ，那么有________，________，________．【答案】（1） ；（2） ；（3） 是
的直径
【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（2）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
求解即可；
（3）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点E，
∴ ， ， ；
（2）AB是⊙O的直径，且CE=DE，
∴ ， ， ；
（3）∵AB⊥CD，且CE=DE，
∴AB是⊙O的直径， ， ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
【举一返三】
【变式1】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点
C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝
∠COD，然后通过证得 AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
解：∵E点为AF中点，△
∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在 AEO和 ODC中，
△ △
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝ ＝ ＝3．
【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，
熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
【变式2】如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP=5，
①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条．
【答案】（1）见分析；（2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出
AB=24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP=BP= = =12，
∴AB=2AP=24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，
最短的弦24，
长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【考点四】垂径定理及其推论➼➻应用
【例4】如图，已知弓形的弦长AB＝12，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的
半径的长．【答案】⊙O的半径的长为10．
【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AD＝6，由于OD＝r−2，则利用勾股定理得到62＋
（r−2）2＝r2，然后解方程即可．
解：设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB并经过圆心O，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×12＝6，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAD中，62+（r﹣2）2＝r2，解得r＝10，
即⊙O的半径的长为10．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股
定理．
【举一返三】
【变式1】如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽 为 米，污水
的最大深度为 米．
(1) 求此下水管横截面的半径：
(2) 随着污水量的增加，水位又被抬升 米，求此时水面的宽度增加了多少？
【答案】(1) 米；(2) 米
【分析】（1）过点O作 于点C，交圆O于点D，连接 ，则 米，根据垂径定理可
得 米，设此下水管横截面的半径为r米，则 米，可得 米，在
中，由勾股定理，即可求解；（2）过点O作 于点H，根据垂径定理可得 ，再由勾股定理求出 的长，
即可求解．
（1）解：过点O作 于点C，交圆O于点D，连接 ，则 米，
∴ 米，
设此下水管横截面的半径为r米，则 米，
∴ 米，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即此下水管横截面的半径为 米；
（2）解：如图，过点O作 于点H，
∴ ，
根据题意得： 米， 米，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，∴此时水面的宽度增加了 米．
【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
【变式2】赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥（如图1），因赵县古称赵
州而的得名．赵州桥始建于硝代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现
有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即 米，如图
2），拱顶到水面的距离4米（即 弧的中点C到 的距离 等于4米）．
(1)在图2中画出线段 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)问一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能否顺利通过？
【答案】(1)见分析；(2)能顺利通过
【分析】（1）作线段 的垂直平分线即可；
（2）设圆O的半径为 ，画出草图，结合勾股定理，即可求解．
解：（1）分别以A、B为圆心，大于 的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接 交 于
C，交 于D，如图所示，线段 即为所求，
（2）在 上方作一个矩形 ，其中点 在 上， 在 上， 交 于 ，且
∵∴
设 圆心为 ，连接 ，设半径为 ，
在 中， ， ，
∴
解得：
∴
在 中，
∴
∴
∴一艘宽12米，水面以上高1.87米的货轮能顺利通过
【点拨】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定
理计算是解题的关键．
