专题28.3模型构建专题：解直角三角形应用之四大基本模型（教师版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 28.3 模型构建专题：解直角三角形应用之四大基本模型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 “独立”型】....................................................................................................................................1 【类型二 “背靠背”型】................................................................................................................................5 【类型三 “叠合”型】..................................................................................................................................10 【类型四 “斜截”型】..................................................................................................................................16 【典型例题】 【类型一 “独立”型】 例题：（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，小明站在点C 处测得树顶A的仰角为 ，若小明的测量点到地面距离 ，测量点与树底距离 ，则这 棵树 的高度是（ ） A．6m B． m C． m D． m 【答案】D 【分析】在 中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， 在 中， ， ，∴ ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函 数概念是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·湖北随州·统考模拟预测）一座楼梯的示意图如图所示， 是铅垂线， 是水平线，已知 米，楼梯宽度3米，则地毯面积为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】D 【分析】由三角函数表示出 ，得出 的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【详解】解：在 中， （米）， ∴ （米）， ∴地毯的面积至少需要 米 ； 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出 是解决问题的关键． 2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼 顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 米；【答案】 【分析】在 中，由 可求 ，再由 ，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得： 米， 米， ， 在 中， ， ， ， 甲楼的高为（ ）米； 故答案： ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键． 3．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，为了测量旗杆的高度 ，在离旗杆底部12米的A 处，用高 米的测角仪 测得旗杆顶端C处的仰角α为 ．求旗杆 的高．（精确到 米）[参考数 据： ， ， ]【答案】旗杆的高度约为 米 【分析】过 作 于 ，首先根据题意得到 ， ， ，然后解 直角三角形得到 ，然后利用 求解即可． 【详解】 解：过 作 于 ， 根据题意， ， ， ， 在 中， （米）， ∴ （米）， 答：旗杆 的高约为 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角 三角形是解答的关键． 4．（2023上·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考开学考试）北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地， 拥有国际标准雪道19条，其中青云大道某段坡长 为800米，坡角 ，求垂直落差 的高度． （结果保留整数：参考数据： ， ， ） 【答案】338米 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在 中， 米， ∵ ， ∴ （米）， 答：垂直落差 的高度约为338米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）位于长春莲花山生态旅游度假区的冰雪新天地，是人们冬季打卡的必选之地，其中的世界最长的大滑梯六条冰道并驾齐驱，如图是大滑梯示意图， 测得 米，坡角 ，求垂直落差 的高度．（结果保留整数，参考数据： ， ， ） 【答案】垂直落差 的高度约为 米． 【分析】利用 的正切值列式计算即可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， 解得： ． 答：垂直落差 的高度约为 米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确理解正切的定义是解题关键． 【类型二 “背靠背”型】 例题：（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）如图，无人机在塔树上方 处悬停， 测得塔顶 的俯角为 ，树顶 的俯角为 ，树高 为 米，无人机竖直高度 为60米， 、 、 在一条直线上，且 点到塔底 的距离比到树底 的距离多 米，求塔高 的值．（结果可保留根号， 参考数据： ， ， ） 【答案】 米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ， 由题意得： ， ， 米， ， ，从而可得（米），在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中， 用锐角三角函数的定义求出 的长即可求解，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线． 【详解】解：如图：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ， 由题意得： ， ， 米， ， ， ∵ 米， ∴ （米）， 在 中， ， ∴ （米）， ∵ ， ∴ ， ∴ 米， 在 中， ， ∴ 米， ∴ 米， ∴塔高 的值为 米， 【变式训练】 1．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）某同学利用数学知识测量建筑物 的高度．他从点A出发 沿着坡度为i＝ 的斜坡 步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为 ，建筑物 底端E的俯角为 ．若 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度 米，则此建筑物的高度 ， （结果保留根号）（ ， ， ）【答案】 米 【分析】利用坡度的定义得到 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 的长，进而得出 以及 的长，解题的关键是找到边长之间的关系． 【详解】解：过点B作 ， 垂足分别为：N，M，如图所示： ， ∵坡度i＝ ， 米， ∴设 ，则 ， ∴ ， 则 ， 解得： ， 故 米， ∴ 米， 则 ， ∴ 米， ∵ ， ∴ 米， 故 米， 则此建筑物的高度 米． 2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A，B 位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为 ，无人机的 飞行高度为 ，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为 ，若小婉的身高， ， （点A，B，C，D在同一平面内）．求A、B两点之间的距离．（结果精确到1m， ） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是根据题意画出几何图形，当图形 中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题 加以解决． 【详解】如图所示, 作 交 于点 ,作 交 于点 , ∵无人机的飞行高度为 ， ∴ ， 由题意可得，四边形 是矩形， ， ， ， ， ∵四边形 是矩形, ， ∵无人机 测得湖岸边 处的俯角为， ， 即 ， 解得 ， ∴ , 两点之间的距离 . 3．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻 仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A ﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西 方向 米处，点D在点E的正北方 向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东 方向，点 C在点D的正东方向，且在点B的北偏西 方向． (1)求EB的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还 是线路②？（参考数据 ， ， ， ， ） 【答案】(1) (2)应该选择线路②，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用． (1)过点C做 交于点H， 做 交于点G，然后利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角函 数解题即可． (2)利用解直角三角形和线段之间的关系解题即可．【详解】（1）解：过点C作 交于点H， 做 交于点G， 如下图： ∵在等腰 中， ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ． （2）根据题1的详解，则 ， 在 中， ， ∴ ∴ ， ∴ ， 线路①： (米)， 线路②： (米)， 故线路②距离较短． 【类型三 “叠合”型】 例题：（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，如图，在点B处测得楼顶A的仰角为 ，他正对着城楼前进29米到达C处，再登上2米高的楼台D处， 并测得此时楼顶A的仰角为 ． (1)求城门大楼的高度； (2)每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之 间的长度．（结果保留整数）（参考数据： ， ， ） 【答案】(1)18米 (2)49米 【分析】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数 和数形结合的思想解答． （1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得 ， 之间所挂彩旗的长度． 【详解】（1）解：作 交 于点 ，交 于点 ，如图所示， 由题意可得， 米， ， ， 米， ， ， ， ， ， 设 米，则 米， 米， ，，即 ， 解得， ， 答：城门大楼的高度约是18米； （2）解： ， 米， ， ， (米)， 即 ， 之间所挂彩旗的长度约是49米． 【变式训练】 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，湖的旁边有一建筑物 ，某数学兴趣小组决定测量它的 高度．他们首先在点 处测得建筑物最高点 的仰角为 ，然后沿 方向前进12米到达 处，又测得 点 的仰角为 ．请你帮助该小组同学，计算建筑物 的高度约为 米．（结果精确到1米， 参考数据 ） 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题意可得： ， 米，然后 设 米，则 米，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而列出关于 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角 三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 米， 设 米， 米， 在 中， ，米， 在 中， ， （米 ， ， 解得： ， （米 ， 建筑物 的高度约为16米， 故答案为：16． 2．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 ， 飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 ．若飞机离地面的高度 为1600米，且 点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】由题意易得 ，然后根据 米及三角函数可求 解． 【详解】解：由题意可得： ， ∵ ， ∴ ， ∵ 米 ∴ （米）， （米），∴ 米． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）徐州新区欢乐世界．摩天轮高约130米（最高点到地面的距离）．如 图，点 是摩天轮的圆心， 是其垂直于地面的直径，小明在地面 处用测角仪测得摩天轮最高点 的 仰角为 ，测得圆心 的仰角为 ，求摩天轮的半径．（结果保留根号） 【答案】半径为 米 【分析】如图，延长 与地面所在直线交于点 ，先求出 得到 米，再 解直角三角形 得到 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，延长 与地面所在直线交于点 ， 根据题意可知： ， ， ， ∴ 米， ，在 中， ， ， ∴ ， 解得 （米 ． 答：摩天轮的半径为 米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线 构造直角三角形是解题的关键． 4．（2023上·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在一个坡角位 的斜坡上有一棵树 ， 树高 米．当太阳光 与水平线成 角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段 ． (1) ______ ， ______ ； (2)求树影 的长．（结果保留一位小数）（参考数据： ， ， ， ， ， ， ） 【答案】(1) ， ； (2) 米 【分析】（1）根据平行线的性质以及邻补角即可求解； （2）本题可通过构造直角三角形来解答，过 点作 ， 为垂足，在直角三角形 中，已知 的长，可求 的度数，那么可求出 的长，在直角三角形 中，可求 ，前面又 得到了 的长，那么就可求出 的长． 【详解】（1）解：如图，∵ , ∴ , ∴ , ∵ , , , ∴ ； 故答案为： ， ； （2）解：过 点作 ， 为垂足， 在直角三角形 中， ， 米， 在直角三角形 中， ， 米． 答：树影 的长约为 米． 【点睛】本题考查了邻补角定义，解直角三角形，30度直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握解 直角三角形是解题的关键． 5．（2023上·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现 了常态化巡航管理， 如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处 测得 灯塔 P 在北偏东 60 °方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东30 °方向上．(1)求 的度数； (2)已知在灯塔 P 的周围 30 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（ 【答案】(1)30° (2)海监船继续向正东方向航行是安全的 【分析】（1）在 中，求出 、 的度数即可解决问题； （2）作 于 ．求出 的值即可判定； 【详解】（1）由题意得， ， ， ， （2）由（1）可知 ， （海里）， 过点 作 于点 ，在 中， （海里）， ∵ ， 海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟 练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 【类型四 “斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，   100 31 现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距 海里，船C在船A的北偏东60方向上， 船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上． (1)求出A与C之间的距离AC． (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触 2 1.41 31.73 暗礁危险？（参考数据： ， ） 【答案】(1)200海里 (2)无触暗礁危险 CEAB AEx BECE 3x AB AEBE 【分析】（1）作 于点E，设 海里，则 海里，根据 可列出方程 求得x的值后即可求得AC的长； （2）根据（1）中结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案． 【详解】（1）解：作CEAB于点E， 由题意得：ABC=45，BAC60，设AEx海里， Rt△AEC CE  AEtan60 3x 在 中， ， RtBCE BECE 3x 在 中， ， ( ) \ AE+BE=x+ 3x=100 3+1 ， 解得：x100， AC 2x200， A与C之间的距离AC等于200（海里）； DF = 3AF = 3创100 ( 3-1) �126.8 （2）解：由（1）知， （海里）， Q126.8>100， 所以巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 题关键． 【变式训练】 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架 水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12米至B处， D 30 AM 24 3 M C D 测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一 tan2 CD 31.7 条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）． 【答案】河流的宽度CD约为64米 【分析】过点B作BEMD于点E，分别解Rt△AMC、Rt△BDE即可． 【详解】解：过点B作BEMD于点E．则四边形AMEB是矩形．BE AM 24 3 ME AB12 ∴ ， ∵AF∥MD ∴ACM  在Rt△AMC中，AMC 90 AM tan 2 ∴ ， MC 24 3 ∴ 2 MC MC 12 3 ∴ 在Rt△BDE中，BED90，DBE903060 DE ∴ tanDBE ，∴ BE DE tan60  3， 24 3 DE24 3 372 ∴ CDDECEDEMCME72  12 312  8412 384121.78420.464 ∴ 米 答：河流的宽度CD约为64米． 【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键． 2．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测 得岛C在北偏东 方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛C周围9海 里内有暗礁．（参考数据： ， ， ．）(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)有触礁危险 (2)没有触礁危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）过点 作 于 ，在 中和在 中利用解直角三角形进而可求解； （2）过点 于 ，在 中，利用解直角三角形即可求解； 熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点 作 于 ，如图： （海里）， 设 ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， ，解得： ， 答：渔船继续向东航行，有触礁危险． （2）过点 于 ，如图： 由（2）得： （海里）， 在 中， ， ， 海里， ， 答：没有触礁危险． 3．（2023·辽宁·模拟预测）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚 展开长度 ，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度 ，遮阳棚与墙面的夹角 ． (1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面 的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长（结果精 确到 ）．（参考数据： ） 【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面 的距离约为 (2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为 【分析】（1）作 于E，在 中，根据 列式计算即可； （2）作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ，可得四边形 ，四边形 是矩形，解直角三角形 求出 ，可得 ，然后 中，解直角三角形求出 ，进而可得 的长． 【详解】（1）解：如图3，作 于E， 在 中， ，即 ， ∴ ， 答：遮阳棚前端B到墙面 的距离约为 ； （2）解：如图3，作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ， ∴四边形 ，四边形 是矩形， 由（1）得 ， ∴ ， 在 中， ，即 ， ∴ ， 由题意得： ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ，即 ， ∴ ， ∴ ， 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形， 熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．