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第 26 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．
2．诱导公式
一 二 三 四 五 六
2kπ＋
α(k∈Z)
sin α
cos α
tan α
3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：
即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sin＝sin＝cos；
cos＝cos＝sin.
1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2、【2021年新高考1卷】若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1、（2022·山东威海·三模）已知 ， ，则 ___________.
2、已知 ，则 （ ）
A． B．6 C． D．
3、在△ABC中，下列结论不正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
4、化简：的值为（ ）
A. B. C. D.
5、（2022·湖南益阳·一模）若 ，则
A． B． C． D．
6、（2022·河北唐山·三模）若 ，则 ___________．
因此 ，
故答案为：4.
考向一 三角函数的诱导公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
变式1、已知f(α)＝，则f的值为 ．
变式2、 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
方法总结：1、熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
考向二 同角函数关系式的运用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求：
(1) sin x－cos x的值；
(2) 的值．
变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_ __．
(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．
变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：
(1) cos α＋sin α（α是第二象限角）；(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.
变式3、已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α的值；
(2) 的值．
方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利
用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的
应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求
解能力，考查函数与方程思想．
考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．
变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
变式2、 已知tan ＝，则tan ＝ ．
变式3、已知sin ＝，则sin （x－）＋sin2的值为 ．
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活
使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、（2022·广东广州·一模）若 ， ，则 ___________.
2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角 的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线
垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知 ，则 ______．
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、（2022·福建三明·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A．－ B． C．－ D．
7、（2022·湖北·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C．-3 D．3
