文档内容
专题 4.3 整式（精选精练）（专项练习）（培优练）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符
合题目要求)
1．（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列式子： ， ， ， ， ， 中，整式的个
数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）单项式 的系数和次数分别是（ ）
A． ，6 B． ，6 C． ，5 D． ，5
3．（2022七年级上·全国·专题练习）如果多项式 是关于y的三次多项式，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，
…，第 个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·云南大理·一模）观察下列多项式： ， ， ， ， ，则第 个多项
式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南昆明·二模）一列多项式按以下规律排列： ， ， ， ， ，
， ，则第 个多项式是（ ）A． B．
C． D．
7．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下图是一些棱长为 的小正方体木块叠放成的几何体，第1
个几何体的表面积为6，按照图中的叠放规律，第5个几何体的表面积为（ ）．
A．54 B．38 C．42 D．30
8．（2024·贵州·模拟预测）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数 ，计算 得 ，第二
步：算出 的各位数字之和得 ，计算 得 ，第三步算出 的各位数字之和得 ，计算
得 ；以此类推，则 的值为（ ）
A．7 B．52 C．154 D．310
9．（22-23七年级上·山东日照·期末）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 5 6 7 8 9
第4行 10 1 1 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示 ，则表示 的有序数对是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·重庆沙坪坝·一模）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小
正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第
三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形
的个数为（）A．15 B．23 C．27 D．31
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若单项式 的系数为 ，次数为 ，则 ．
12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为 ，含有字母 ， 的三次单项式 ．
13．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知多项式 （ 为常数）是二次三项
式，则 ．
14．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如果 是关于 的三次二项式，则 ．
15．（23-24七年级上·上海闵行·期中）把多项式 按照字母 降幂排列：
．
16．（24-25七年级上·重庆·开学考试）小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、2个黄
灯、3个蓝灯的规律排列，第39盏彩灯是 颜色，这39盏灯串红灯有 盏．
17．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）观察下面的一列数组： ， ， ，
， 按照这样的规律，你知道 在第 组．
18．（2024·上海·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，第一次对折后的图形面
积为 ，第二次对折后面积为 ，以此类推，第n次对折后得到图形面积为 ，则
．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式 是一个四次三项
式，n是最高次项的系数，求 的值．
20．（本小题满分8分）（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式
是五次四项式（m，n为有理数），且单项式 的次数与该多项式的次数相
同．
(1)求m，n的值；
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读理解
解：设 ①
则 ②
，得
所以原式=
扩展运用
(1)
(2)
22．（本小题满分10分）（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律：
在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示：第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为 ；
第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为 ；
第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为 ；
……
根据以上规律，完成下列问题：
(1)尝试：第4次分割后， ______
(2)初步应用：根据规律，求 的值．
(3)拓展应用：利用以上规律，求 的值．
23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）学校餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两
种摆放方式：
(1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人；
(2)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐_______人，第二种摆放方式能坐_______人；
(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
24．（本小题满分12分）（2024·安徽合肥·一模）如图，用 个实心圆圈， 个圆圈相间组成一个圆环，
然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实
心圆圈和空心圆圈相间排列．
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
(1)把表格补充完整：
(2)设圆环串由 个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含
的代数式表示)；
(3)如果圆环串由这样的圆环 个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈?参考答案：
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
答 B B C B C C B C A D
案
1．B
【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可，正确
把握定义是解题关键．
【详解】解： 是单项式，属于整式，
是分式，
是单项式，属于整式，
是分式，
是单项式，属于整式，
是单项式，属于整式，
∴根据整式的定义可知，共有 个，
故选： ．
2．B
【分析】本题考查了单项式系数、次数的定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成
数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求
解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：单项式 的系数、次数分别是 ，6，
故选：B．
3．C
【分析】根据多项式及多项式的次数的定义求解．由于多项式是几个单项式的和，那么此多项式中
的每一项都必须是单项式，而整式中的字母可以取任意数，0的0次幂无意义，所以a、b均为正数；
又由于多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三次多项式是指次数为3的多项式，则a、b
均不大于3；又此多项式中另外的项的次数都小于3，故a、b中至少有一个是3．即a、b的取值都
是正整数，且a、b中至少有一个是3．据此选择即可．【详解】解：A、 时，如果 ，那么 无意义，故错误；
B、 时， 是分式，此时 不是多项式，故错误；
C、正确；
D、 时，多项式 是关于y的一次多项式，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了对多项式的有关概念的应用，能理解多项式的次数和项数的意义是解此题的关
键，
4．B
【分析】本题考查了数字的变化规律，通过观察多项式中 的系数和指数规律即可求解，读懂
题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
，
，
∴第 个单项式是 ，
故选： ．
5．C
【分析】本题考查了多项式，正确理解式子的规律是关键．根据已知的式子可以得到每个式子的第
一项中 的次数是式子的序号；第二项的符号：第二项中 的次数是序号的 倍减 ，第二项系数是
序号的 次方，据此即可写出．
【详解】解： ，
，
，，
……
由上可知第 个式子为： ，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的
关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答．
【详解】观察、分析这列二项式的排列规律可知：
第1个二项式为 ，
第2个二项式为 ，
第3个二项式为 ，
，
第n个二项式为 ．
故选B．
7．B
【分析】本题考查图形类规律探究，先找到规律，第n个几何体有 个小正方体，其表面积为
，即可求解．
【详解】解： 第1个几何体有1个小正方体，
第2个几何体有3个小正方体，
第3个几何体有5个小正方体，
第n个几何体有 个小正方体，
第5个几何体有9个小正方体，
小正方体的边长为 ，
第1个几何体的表面积为6，
第2个几何体的表面积为 ，
第3个几何体的表面积为 ，∴第n个几何体的表面积为 ，
∴第5个几何体的表面积为 ，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．
通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知： ；
；
；
； ；
由上可知， 是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列，
∵ ，
∴ ．
故选C．
9．A
【分析】根据第 行的最后一个数是 ，第 行有 个数即可得出答案．
【详解】解： 第 行的最后一个数是 ，第 行有 个数，
在第10行倒数第 个，
第10行有： 个数，
∴ 在第10行从左到右第 个数，，
的有序数对是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第 行的最后一个数是 ，第 行有 个数
是解题的关键．
10．D【分析】由已知图形观察规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数．
【详解】解： 第一代勾股树中正方形有 (个)，
第二代勾股树中正方形有 (个)，
第三代勾股树中正方形有 (个)，
第四代勾股树中正方形有 (个)，
故选：D．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
11．
【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根
据项式系数和次数的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可得： ， ，
，
故答案为： ．
12． （答案不唯一）
【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一
个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或 时，1可以省略不
写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：系数为 ，含有字母 ， 的三次单项式：
故答案为： （答案不唯一）
13．
【分析】本题考查了多项式，代数式求值，根据二次三项式的定义可得 ，且 ，据此
得到 ，再代入代数式计算即可求解，掌握多项式的有关概念是解题的关键．
【详解】解：∵多项式 （ 为常数）是二次三项式，∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，根据题
意 是关于 的三次二项式，可知最高次项是3，而且只有两项，可得 ， 的值，
然后代入即可求出代数式的值．
【详解】解：根据题意可得： 是关于 的三次二项式，
， ，
∴∴ ， ，
∴ ，
故答案为：4．
15．
【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序
排列．
【详解】解： 按照字母 降幂排列为： ，
故答案为： ．
16． 红
【分析】本题考查了数字规律，根据题意可求得彩灯的循环周期，用39除以彩灯的循环周期，用
余数即可得知第39盏彩灯颜色，再根据周期次数、余数和彩灯规律即可求得这39盏灯串红灯盏数．
【详解】解：由题可知：彩灯的周期为 ，
，
彩灯规律为4个红灯、2个黄灯、3个蓝灯，
所以第39盏彩灯为红色，
这39盏灯串红灯有 盏，
故答案为：红； ．17．
【分析】本题考查数字的变化规律，正确发现数字的概率是解题的关键；
根据题意找到本题的规律即可求解；
【详解】解：每组最后一个数字 ， ， ， ，分别是数组 ， ， ， 的前 项和，前 项
和…，而此数组的和公式是 ，同时 ， 是第 组的尾数，
， 是 组的尾数，所以 在第 组．
故答案为：
18．
【分析】本题考查图形中的规律问题．掌握“错位相减法”是解题关键．由题意可得 ，据
此即可求解．
【详解】解：由题意可得： ， ， …
故
∴
得：
故答案为：
19．3
【分析】本题考查了多项式的次数和系数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解
题的关键．根据多项式的次数和系数的定义求出m，n的值，代入代数式计算即可．
【详解】解∶ ∵多项式 是一个四次三项式，n是最高次项的系数，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
20．(1) ，(2)
【分析】本题考查整式的项与次数．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得 ，再由单项式的次数与该多项式的次数相
同，可得 ，求解即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式 是五次四项式，单项式 的次数与该多
项式的次数相同，
∴ ， ，
解得： ， ．
（2）由（1）可知，这个多项式为 ，
将这个多项式按x的降幂排列为 ．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合计算，规律型-数字变化类，解题的关键是利用材料掌握求和的
方法．
（1）根据阅读材料将 表示为S，再表示出 ，再利用 ，可得 ，等
式两边同时除以2即可得S的值，即可求解．
（2）根据（1）进行解答即可．
【详解】（1）设 ①，
将等式两边同时乘以3得： ②，
将②－①得： ，即 ，即 ；
（2）设 ①，
将等式两边同时乘以3得： ②，
将②－①得： ，
即 ，即
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论．
（2）利用规律解决问题即可．
（3）用转化的思想解决问题即可．
本题考查规律型 图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用
数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为
故答案为： ；
（2）解：第1次分割后空白部分的面积为
第2次分割后空白部分的面积为
第3次分割后空白部分的面积为
第4次分割后空白部分的面积为∴
故答案为：
（3）解：由（2）得出
第n次分割后空白部分的面积为
∴
∴
23．(1)22；14
(2) ；
(3)选择第一种方式；理由见解析
【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考
常考题型．
（1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，
由此即可解决问题；
（2）根据（1）中所得规律列式可得；
（3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断．
【详解】（1）解：当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 （人），
第二种摆放方式能坐 （人）；
（2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，
即有n张桌子时是 ；
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，
即 ．
（3）解：选择第一种方式．理由如下；
第一种方式：50张桌子一共可以坐 （人）；
第二种方式：50张桌子一共可以坐 （人）；
∵ ，∴选择第一种方式．
24．(1)表格补充完整见解析；
(2) ；
(3)实心圆圈和空心圆圈的总数有 个，空心圆圈有 个．
【分析】（ ）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，由此规律得出答
案即可；
（ ）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，由此规律得出答案即可；
（ ）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 个，由（ ）得出的规律，直接算出总数，
进而即可求出空心圆圈数；
本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键．
【详解】（1）解：表格补充完整如下：
圆环串中圆环的个数
实心圆圈和空心圆圈的总个数
（2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出 个，
∴当圆环串由 个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为 个，
故答案为： ；
（3）解：当 时，实心圆圈和空心圆圈的总数有 个，
∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 个，
∴空心圆圈有 个．
