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专题 6.5 角的比较与运算（4 大知识点 10 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】角度制及其换算
1
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60为1分，
1
记作“1′”，1′的60为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
【要点提示】在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的
要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于 60
时要向高一位进位．
【知识点2】角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【知识点3】角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝
∠AOB-∠2．【要点提示】
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上
的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，
75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【知识点4】角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
1
∠AOC＝∠BOC =2 ∠AOB．
【要点提示】由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点与题型目录
【题型1】角的单位与角度制...................................................2
【题型2】角的度数大小比较角的比较...........................................4
【题型3】三角板中角度计算问题...............................................5
【题型4】几何图形中角度计算问题.............................................8
【题型5】角度的四则运算.....................................................9
【题型6】实际问题中角度计算问题............................................11
【题型7】角平分线的有关计算................................................13
【题型8】角n等分线的有关计算..............................................15
【题型9】直通中考..........................................................18
【题型10】拓展延伸.........................................................20第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角的单位与角度制
【例1】（22-23六年级下·山东泰安·阶段练习）将下列各角用度、分、秒表示出来．
(1) ； (2) ；
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：
， ．
（1）先把度的小数部分化为分，再把分的小数部分化为秒即可．
（2）把度的小数部分化为分即可．
解：（1）
（2） ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若 ， ， ，则下面说法正确
的是（ ）
A． B．
C． D． ， ， 互不相等
【答案】C
【分析】本题主要考查比较角度的大小，据观察题中的角表示方法，只要把 转化为度的形式，即可比
较三个角的大小．
解：∵ ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）关于度、分、秒的换算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ＇ ＇＇．
【答案】 /
【分析】本题考查角度的互化，根据 ， 化简即可得到答案
解：由题意可得，，
，
，
，
故答案为： ， ， ， 、 、 ．
【题型2】角的度数大小比较角的比较
【例2】（23-24七年级上·四川达州·期末）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到 、
、 在吵架， 说：“我是 ，我应该最大！” 说：“我是37.2°，我应该最大！”．
也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们
谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？
【答案】
【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、
秒的换算1度 分，即 ，1分 秒，即 ．将 ， ， 的单位统一，再进
行大小的比较．
解：∵ ，
， ，
∴ ，即 最大，
【变式1】（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知 ， ， 下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将 转化为度的形式再与
， 比较，注意： ， ．
解： ，
∵ ，
∴ ，只有选项B符合．故选：B．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，大于 的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了角的大小比较；观察图形，首先找出以 为边的比 大的角，再找出以 为
边的比 大的角；最后找出最大的角是否比 大，即可求解．
解：图中大于 的角有 ， ， ，共 个；
故选：D．
【变式3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那
么 （填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【分析】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键是作出辅助线，得出 ，
，即可得出答案．
解：如图，取点E，连接 ，
根据网格可知， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：＞．
【题型3】三角板中角度计算问题【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起．
(1)如图①，若 ，求 的度数；
(2)如图②，若 ，求 的度数
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握
三角形板中角的度数．
（1）根据 ， ，求出 ．根据 ，得出
．
（2）根据 ， ，求出 ，根据
，求出 ，最后求出结果即可．
解：（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）由题图可知 ， ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，掌握角度的和差计算方法是解题的关键．
根据题意可得 ，得到 的度数，再根据 ，由此即
可求解．
解：根据题意可得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C ．
【变式2】（2024七年级上·河南·专题练习）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点 ，
则 ．
【答案】 /180度
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据题意知 ，结合
， ，即可求得 ．
解：由题意得： ，
∵ ， ，
∴ ．故答案为： ．
【题型4】几何图形中角度计算问题
【例4】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点O在直线 上， ，
．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试猜想 和 的数量关系，请直接写出结果________
【答案】(1) (2)
【分析】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
（1）根据补角的定义可得 ，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设 ，则 ，再利用 ，然后整理可得结论．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据如图所示，下列式子错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是角的计算，根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项．
解：A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C.由于 不确定，所以 ，故此选项符合题意；
D. ，正确，不符合题意．
故选：C．
【题型5】角度的四则运算
【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）首先将度转化为分，然后计算除法即可；
（3）根据角度的乘法运算法则求解即可；
（4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可．
解：（1）
；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角度的互化，根据 ， 化简即可得到答案；
解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，该选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，该选项不符合题意；
D、 ，原计算正确，故此选项符合题意.
故选：D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 /116度20分 /11度40分20秒 /106度25分
/58度57分20秒
【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键．
（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；
（2）首先将度转化为度分秒，然后计算减法即可；
（3）根据角度的乘法运算法则求解即可；（4）首先将度转化为度分秒，然后计算除法即可．
解：（1）
，
故答案为： ；
（2）
，
故答案为： ；
（3）
，
故答案为： ；
（4）
，
故答案为： ．
【题型6】实际问题中角度计算问题
【例6】（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，将长方形 沿 折叠，得到如图所示的图形，已
知 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出 ，
然后根据翻折可知 进而求解．
【详解】解：由翻折可知
故选：C．
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜 放置在水平地面 上，墙面 于点 ，
一束光线 照射到镜面 上，反射光线为 ，点 在 上，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得 ，根据平角的定义，代入即可求解，
本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
解：依题意， ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故选： ．
【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）小明从O点出发向北偏西 走了500米到达A点，小丽从
O点出发向南偏东 走了300米到达B点，这时A、B两点之间的距离是 米．
【答案】800
【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得 ，由角的
和差得 ，可得 、 、 三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；
理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键．
解：如图，由题意得：
，
，
，
，
，
，
、 、 三点在同一条直线上，
(米)，
故答案： ．
【题型7】角平分线的有关计算
【例7】（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，点 是直线 上一点，以 为顶点作 ，
且 、 位于直线 两侧， 平分 ．
(1)当 时，求 的度数．
(2)请你猜想 和 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) (2) ，理由见解析【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解
本题的关键．
（1）先求解 ，再证明 ，结合
，从而可得答案；
（2）证明 ， ，结合 ，
从而可得答案．
解：（1） ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图， 是平角， ，
分别是 的平分线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解
是解题的关键 ． 、 分别是 、 的平分线，结合 ， 可得
，再由平角的定义即可求得 的度数．解： 、 分别是 、 的平分线， ， ,
,
,
．
故选：B．
【变式2】（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图， ， ， 平分 ，
则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分是解答本题的关键．
根据条件先计算出 ，再依据条件计算出 ，根据 平分 求得结果即可．
解： ， ，
， ，
平分 ，
，
故答案为： ．
【题型8】角n等分线的有关计算
【例8】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点 ， ， 在同一直线上， ，
， 是 的一条靠近 边的三等分线．
(1)求 的度数；
(2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由．【答案】(1) (2) 是 的平分线．理由见解析
【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义，
（1）由题意可得 ，根据 可得答案；
（2）由题意可得 ，则 ，即可得出结论；
明确角的和差关系是解题的关键．
解：（1）∵ 是 的一条靠近 边的三等分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数为 ；
（2） 是 的平分线．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线．
【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知 是 的平分线， ， 平分
，设 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解
题关键．分类讨论：当 位于 内部时和当 位于 外部时，解答即可．
解：如图1，当 位于 内部时，∵ ， 是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
如图2，当 位于 外部时，
∵ ， 是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ；
综上可知 或 ．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图，射线 在 的内部，图中共有3个角：
， 和 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的
“平衡线”.若 ，且射线 是 的“平衡线”，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了角的和差，几何图形中角的计算，正确分情况讨论是解题关键．分① ，②
，③ ，④ 四种情况，再根据角的和差进行计算即可得．
解：由题意，分以下四种情况：
①当 时，射线 是 的“平衡线”，
，
；
②当 时，射线 是 的“平衡线”，
，
，
；
③当 时，射线 是 的“平衡线”，
， ，
，
解得 ；
④当 时，射线 是 的“平衡线”，
， ，，
解得 ；
综上， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型9】直通中考
【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）将含有 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 ，
则 度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件可得 ，再根据 即可求解．
解：如图所示，
∵ ，
，
∵ ，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
【例2】（2023·湖北十堰·中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在 上，点F在 上，若
，则 ．【答案】 /100度
【分析】根据直角三角板的性质，得到 ， ，结合 得到
，利用平角的定义计算即可．
解：如图，根据直角三角板的性质，得到 ， ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三
角形的性质是解题的关键．
【题型10】拓展延伸
【例1】（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O是直线 上的一点，从点O引出一条射线 ，
使 ，射线 、 同时绕点O旋转．
(1)若两条射线 、 旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线 、 同时与射线 重合，
则射线 与 旋转的速度之比为____；
(2)若两条射线 、 同时绕点O顺时针旋转，射线 每秒旋转 ，射线 每秒旋转 ，设旋转时
间为t秒， ，当 时，求t的值．【答案】(1) 或 (2)45或50或110或135或170
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键．
（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线 顺时针旋转、 逆时针旋转时；②射线 逆时针旋
转、 顺时针旋转时，根据射线 与 旋转的角度即可得出答案；
（2）分四种情况讨论：①当 即 时，②当 时，③当 即
时，④当 时，根据 即可得出答案．
解：（1）设旋转时间为x秒，①射线 顺时针旋转、 逆时针旋转时，
由题意得： ，
∴ ，
∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2；
②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，
由题意得： ，
∴ ，
∴射线 与 旋转的速度之比为5：4；
综上，射线 与 旋转的速度之比为1：2或5：4，
故答案为：1：2或5：4；
（2）①当 即 时，
由题意得： ，
解得： ；
②当 时，
由题意得： ，
解得： ；③当 即 时，
由题意得： ，
解得： （不合题意，舍去）；
④当 时，
由题意得： 或 或 ，
解得： 或135或170；
综上，t的值为45或50或110或135或170．
【例2】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
【特例感知】
（1）如图1，线段 ， ， ， 分别是 ， 的中点，则 ______ ．
【知识迁移】
（2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知 在 的内部转动，射线 和射线
分别平分 和 ．
①若 ， ，求 的度数．
②请你猜想 ， 和 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）【类比探究】
如图3， 在 的内部转动，若 ， ， ，
，求 的度数．（用含 的式子表示）
【答案】（1）22；（2）① ；② ．理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本
题的关键．（1）点 和点 分别是 ， 的中点，得 ， ，那么 ，进而
解决此题．
（2）①欲求 ，需求 ．已知 ，需求 ．由 和 分
别平分 和 ，得 ， ，进而解决此题．
②与①同理解决即可；
（3）由 ， 可得， ， ，所以
，根据 可得结论．
解：（1） 点 是 的中点，点 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：22；
（2）① 和 分别平分 和 ，
， ．
．
又 ， ，
．．
．
② ．理由如下：
和 分别平分 和 ，
， ．
．
．
（3） ， ，
，
， ，
，
，
，
．
