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第 43 讲 数列的通项公式
1、正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为a ＝a＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
n＋1 n
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列
{a}的通项公式．
n
(3)对于递推关系式形如a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
n＋1 n
2、避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a 而导致错误；二是根据
1
连乘求出a 之后，不注意检验a 是否成立．
n 1
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
1、（2023•北京）数列 满足 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
B．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
C．若 ，则 是递减数列， ，使得 时，
D．若 ，则 是递增数列， ，使得 时，
【答案】
【解析】对原式进行变形，得 ，
当 ，则 ， ，
设 ，则 ，所以 是递减数列，
当 ， ， 错误，同理可证明 错误，
当 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，假设 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以当 ， ， 正确，
对于 ，当 ，代入进去很明显不是递减数列， 错误，
故选： ．
2、（2022•浙江）已知数列 满足 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
为递减数列，
又 ，且 ，
，
又 ，则 ，
，
，
，则 ，
；
由 得 ，得 ，累加可得， ，
，
；
综上， ．
故选： ．
3、（2023•甲卷（理））已知数列 中， ，设 为 前 项和， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
， ，
当 时，可得 ，
，
当 或 时， ， 适合上式，
的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，
， ，，
．
4、（2021•乙卷（理））记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
【解析】（1）证明：当 时， ，
由 ，解得 ，
当 时， ，代入 ，
消去 ，可得 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）由题意，得 ，
由（1），可得 ，
由 ，可得 ，
当 时， ，显然 不满足该式，
所以 ．5、（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．
另由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，则 的 前 20 项 和 为
1、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）已知数列{a}中的首项a＝2，且满足 ，则此数
n 1
列的第三项是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，
令 ，得 ，
令 可得 ,
故此数列第三项为 .
故选：A
2、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意， 是等比数列，设其公比为 ，
由于① ，所以 ，由于② ，所以 ，
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
3、根据下列条件，确定数列{a}的通项公式．
n
(1) a＝2，a ＝a＋3n；
1 n＋1 n
(2) a＝2，a ＝2a＋3n.
1 n＋1 n
【解析】 (1) 由题意，得a－a＝31，a－a＝32，…，a－a ＝3n-1，
2 1 3 2 n n－1
所以当n≥2时，a－a＝31＋32＋…＋3n-1，
n 1
所以a＝2＋＝.
n
当n＝1时，a＝2也符合上式，
1
所以a＝.
n
(2) 因为a －2a＝3n，
n＋1 n
所以－＝＝·，
所以－＝×，
－＝×，
……
－＝×，
所以当n≥2时，－＝·＝－，
所以＝1＋－＝－，
所以a＝2n＝3n－2n-1.
n
当n＝1时，a＝3－1＝2符合上式，
1
所以a＝3n－2n-1.
n
考向一 有 an 递推关系研究数列的通项
例3、根据下列条件，确定数列{a}的通项公式．
n
(1) a＝1，a ＝3a＋2；
1 n＋1 n
(2) a＝1，a＝·a (n≥2)；
1 n n－1
(3) a＝2，a ＝a＋3n＋2.
1 n＋1 n
【解析】 (1) 因为a ＝3a＋2，
n＋1 n
所以a ＋1＝3(a＋1)，即＝3，
n＋1 n所以数列{a＋1}为等比数列，公比q＝3.
n
又a＋1＝2，所以a＋1＝2·3n-1，
1 n
所以a＝2·3n-1－1.
n
(2) 因为a＝·a (n≥2)，
n n－1
所以a ＝·a ，…，a＝a，
n－1 n－2 2 1
以上(n－1)个式子相乘，得a＝a···…·＝＝.
n 1
又a＝1也符合上式，故a＝.
1 n
(3) 因为a －a＝3n＋2，
n＋1 n
所以a－a ＝3n－1(n≥2)，
n n－1
所以a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋a＝(n≥2).
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
当n＝1时，a＝×(3×1＋1)＝2符合上式，
1
所以a＝n2＋.
n
变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列 的前n项和为 ，若 ，且
，则下列说法确的是（ ）
A. 为单调递增数列
B.
C.
D. 当 时，数列 的前n项和 满足
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，因为 ，
若 ，则 ，故 是各项为 的常数列，与 矛盾，所以 ， ，则 ，故 ，即 ，
所以数列 是单调递减数列，故A错误；
对于B，因为 ，
若 ，则 ，故 是各项为负数的数列，与 矛盾，所以 ，
又因为数列 是单调递减数列，所以 是数列 中最大的项，所以 ，
综上： ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
上述各式相加得 ，
又 ，所以 ，
经检验： ，满足 ，
所以 ，故C正确；
对于D，由选项A知， ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.变式2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 已知正项数列 满足
．
（1）求数列 的通项公式；
【解析】由条件可知， ,
得 ，
当 时，
，
当 时， 成立，
所以 ；
变式3、（2021年八省适应性考试）已知各项都为正数的数列 满足 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若 ， ，求 的通项公式．
【解析】（1）解法一：由题设得 ，
且 ．
因此数列 是首项为 ，公比为3的等比数列．
（2） 解法一：由（1）知 ，于是 ．
又 ，故 ．
因此数列 的通项公式为 ．
解法二：由（1）知 ，
所以 ．
令 ， ，从而 ．
又 ，所以 ．
从而 ，即 ．
因此数列 的通项公式为 ．
说明另一种设法：
令 ，则 ，从而 ．又 ，
所以 ．从而 ，即 ．
因此数列 的通项公式为 ．
解法三：由（1）知 ，
所以 ．
令 ，则 ．
从而
又 ，所以 ．
即 ．
因此数列 的通项公式为 ．
说明也可以在“ ”两边同时乘以“ ”，得到，然后累加．
解法四：因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．
从而 ，即 ．
所以数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列．
因此数列 的通项公式为 ．
解法五：因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．
从而 ．
由（1）知 ．
因此 ，即数列 的通项公式为 ．
方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数
列，迭加即可；变形为＝，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、
变形和转化的能力，需要牢固掌握．
考向二 由 Sn 与 an 的递推关系求通项公式
例2、（2022年广州番禺高三模拟试卷）已知各项均为正数的数列 的首项 ，前 项和为 ，
且 ．
（1）求数列 的通项公式；
【解析】（1）由 两式相减，得：
，又 ， ，
当 时， 且 ，
故 ，得 （ 舍去），
，
数列 为等差数列，公差为 ，
所以 ．
变式1、（2022年福建省福州市高三模拟试卷）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，等
差数列 中， ， .
的
（1）求数列 ， 通项公式；
【解析】
因为 ，当 时 ，解得 ，
当 时 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
设数列 的公差为 ，由 ， ，可得 ，解得 ，
所以 .变式2、 （2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知正项数列 的前 项和为 ，且 和 满足：
.
（1）求 的通项公式；
【解析】
【小问1详解】
解：∵ ，①
当 时 ，解得 ，
∴ ，②
①－②得 ，
∴ ，化简 .
∵ ，∴ .
∴ 是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴ .
变式3、（2023·河北唐山·统考三模）设 为数列 的前 项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
【详解】（1）已知 ①，
当 时， .
当 时， ②
①-②得： ，
即 .
又 ，所以 ， .
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列.所以 .
方法总结：a 与S 关系的应用
n n
(1)仅含有S 的递推数列或既含有S 又含有a 的递推数列，一般利用公式S －S ＝a(n≥2)实施消元法，
n n n n n－1 n
将递推关系转化为仅含a 的关系式或仅含S 的关系式，即“二者消元留一象”．
n n
(2)究竟消去a 留S 好，还是消去S 留a 好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可
n n n n
求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去a 留S 可以得到简单可求的数列关系，那么就应
n n
当消去a 留S，否则就尝试消去S 留a，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．
n n n n
(3)值得一提的是：数列通项公式a 求出后，还需要验证数列首项a 是否也满足通项公式，即“通项求
n 1
出莫疏忽，验证首项满足否”。
考向三 构造等差、等比数列研究通项
例3、（2023·江苏·统考三模）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知， ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
显然 与 ， 矛盾，∴ ，
∴∴ ，
∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，①，
又∵由第（1）问， ，②，
∴② ①得， ，∴存在 ， ，两个等比数列 ， ， 使得 成立变式1、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列 ， 满足 ，
，且 ，
（1）求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
（2）求数列 ， 的通项公式．
【答案】（1） ， ，证明见解析
（2） ，
【解析】
∵
∴ ， .
∵ ，∴ ＝
∴
∴ 是 为首项， 为公比的等比数列
【小问2详解】
由（1）知 是 为首项， 为公比的等比数列.
∴ ，∴
∵ ，∴∴当 时，
.
当 时， 也适合上式
所以数列 的通项公式为
数列 的通项公式为 .
变式2、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
．
（1）求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
【解析】
由 ，得 ，则 ，
又 ，则 ，
所以，数列 是以1为首项，2为公比的等比数列．
则 ，则 时，
．
方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：a ＝pa＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待
n＋1 n
定系数构造，可化为a ＋x＝p(a＋x)，从而解出x＝.
n＋1 n常见形式二：a ＝pa ＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得＝·＋，换
n＋1 n
元b＝，即转化形式一．
n
1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷） 设数列 的前n项和为 ，写出 的一个通项公式
________，满足下面两个条件：① 是单调递减数列；② 是单调递增数列.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为
单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子， 就是符
合条件的例子，
故答案为： （答案不唯一)
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知数列 中， ，则
_______________．
【答案】-3
【解析】
由题意得 ， ， ， ， ，
， ，所以数列 的周期为6，.
故答案为：-3.
3、（2022·福建省高三模拟试卷）已知数列 满足 ， ，则 的前n项
和为___________.
【答案】
【解析】
数列 满足 ，整理得： ，
所以 ，
又 ，
故 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 的前 项和
故答案为：
4、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷） 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图
所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 个球，第二层有 个球，第三层有 个球，…，
设各层球数构成一个数列 ，则（ ）A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意知： ，故 ，
∴ ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
， ，显然 ，故D错误；
故选：BC
5、（2022年广东省高三大联考模拟试卷）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列
满足 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 数列 的前 项和为
【答案】BCD
【解析】对于A， ，A错误；对于B，当 为奇数时， 为偶数，则 ， ，可得 ；
当 为偶数时， 为奇数，则 ， ，可得 ，B正确；
对于C，当 为奇数且 时
，
累加可得
， 时
也符合；
当 为偶数且 时 ，
累加可得
；则
，C正确；
对于D，设数列 的前 项和为 ，则 ，
又 ， ，D正确.
故选：BCD.
6、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）已知数列 为非零数列，且满足.
（1）求数列 的通项公式；
【解析】
当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，
得 ，
两式相除得： ，即 ，
当 时， 也满足，
所以 .
7、（2022年福建省德化一中高三模拟试卷） 数列 的前n项和 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
【解析】
：当 时， ，所以 ，
因为 ①，
所以当 时， ②，
①-②得 ，所以 ，
所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ；当 时， 满足上式，所以， 的通项公式为 ．
