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第十三章 三角形
13．4 课题学习 最短路径问题
学习目标：1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题．
自主学习
一、知识链接
1．如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
2．如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为
什么？
3．在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
（1）三角形的三边关系：__________________________________；
（2）直角三角形中边的关系：______________________________．
4．如图，如何作点A关于直线l的对称点？课堂探究
一、要点探究
探究点1：牧人饮马问题
有关“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的
“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
实际问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到
河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
数学问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题．
问题1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个
点到点A，点B的距离的和最短？
问题2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？方法揭晓：
作法：（1）作点B 关于直线l的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l相交于点C．
则点C即为所求．如图所示．
问题3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向
P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的
是（ ）
典例精析
例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、
AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最
小值为（ ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为
求某一线段的长，再根据已知条件求解．
例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上
的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（
）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点
关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连接，连线与动点所在直线的交点即
为三角形周长最小时动点的位置．
探究点2：造桥选址问题
实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使
从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是
AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮
助我们呢？
画一画：
（1）把A平移到岸边． （2）把B平移到岸边．
（3）把桥平移到和A相连． （4）把桥平移到和B相连．问题解决：
1．如图，平移 A 到 A ，使 AA 等于河宽，连接 AB 交河岸于 N 作桥 MN，此时路径
1 1 1
AM+MN+BN最短．
证明：另任作桥MN ，连接AM，BN ，AN ．
1 1 1 1 1 1
2．如图，平移 B 到 E，使 BE 等于河宽，连接 AE 交河岸于 M，作桥 MN，此时路径
AM+MN+BN最短．
要点归纳：
解决最短路径问题的方法：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把
未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择．
二、课堂小结
当堂检测
1．如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线
m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点B
A
Q
P m
A' n
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在 OA 上有一点 Q，OB 上有
一点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
3．如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且
AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回
家，所走的最短路程是_____ 米．
4．如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分
别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′，
EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB
的路程最短？
拓展提升：
6．（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的
三角形的周长最短，找出此点；
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、
P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点；（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得
E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
图① 图② 图③参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：②最短，因为两点之间，线段最短．
2．解：PC最短，因为垂线段最短．
3．两边之和大于第三边 斜边大于直角边
4．解：如图．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：牧人饮马问题
问题1 解：连接AB，与直线l相交于一点C．根据是“两点之间，线段最短”，可知这
个交点即为所求．
问题2 利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′．
问题3 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC= AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′
+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．
练一练 D
典例精析
例1 B 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD
对称．∵点F在AD上，故BF=CF．即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故
连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值．
例2 A 解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长
最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
探究点2：造桥选址问题
画一画：
（1）（2）如图所示．
（3）（4）如图所示．
问题解决：
1．证明：另任作桥MN ，连接AM，BN ，AN ．
1 1 1 1 1 1
由平移的性质知，AM＝AN，AA＝MN＝MN ，AM＝AN ．
1 1 1 1 1 1 1
AM+MN+BN转化为AA＋AB，而AM＋MN ＋BN 转化为AA＋AN ＋BN ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
在△AN B中，因为AN +B＞A1B，因此AM＋MN ＋BN ＞ AM+MN+BN．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2．证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，
所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN．
若桥的位置建在CD处，连接AC，CD，DB，CE，
则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN．
在△ACE中，∵AC+CE＞AE，∴AC+CE+MN＞AE+MN，即AC+CD+DB＞AM+MN+BN，
∴桥的位置建在MN处，A到B的路径最短．
当堂检测
1．A 2．A 3．1000
4．解：如图，点P即为所求．5．解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′，
D′．
作DD′，EE′ 即为桥．
理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′．同理，BE=GE′．
由两点之间线段最短可知，GF最小．
拓展提升：
6．解：如图所示．
