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19.2(第 1 课时)二次根式的乘法（解析版）
目 录
类型一、二次根式的乘法运算..................................................................................................................................1
类型二、用字母表示二次根式................................................................................................................................14
类型三、估计二次根式的值....................................................................................................................................18
类型四、二次根式的小数部分计算........................................................................................................................22
类型五、二次根式乘法的实际应用........................................................................................................................27
类型一、二次根式的乘法运算
1．对于任意的正数 ，定义运算为： ，计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算 和 ，再求乘积即可求解，
理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决
问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，故A选项不符合题意；
B． 与 不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项符合题意；D． ，故D选项不符合题意．
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方．
根据运算性质，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A． ，不符合题意；
B． ， 不符合题意；
C．在实数范围内， 无意义，不符合题意；
D． ，符合题意．
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方根和立方根的计算及二次根式的乘法，需根据算术平方根的非负性和立方根的性质
及二次根式的乘法法则逐一判断各选项．
【详解】A：∵ 表示49的算术平方根，∴ ，故A错误．
B：∵ ，故B错误．
C：∵ ，故C错误．
D： ，故D正确．
故选：D
5．下列各数中，与 的积为有理数的是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与
的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案．【详解】解：A、 ，是无理数，不符合题意；
B、 ，是无理数，不符合题意；
C、 ，是有理数，符合题意；
D、 ，是无理数，不符合题意；
故选：C．
6．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质，
根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可．
【详解】A． ，正确；
B． ，正确；
C． ，故选项错误；
D． ，正确．
故选：C．
7．下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，
否则可能导致错误．
【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意；
B. ，该选项计算正确，不符合题意；
C.当 时， ，该选项计算错误，符合题意；
D. ，该选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的
关键．
逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解．
【详解】 二次根式乘法法则： ，
，故 正确；
，故 错误；
，故 错误；
，故 错误；
故选 ．
9．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方根的运算性质，解题的关键是掌握平方根的运算法则： ，
同时注意平方根与算术平方根的计算性质．
根据平方根的运算性质，逐一分析每个选项的计算是否正确．
【详解】解：A、 ，因为平方根不满足 ，故A错误；
B、根据平方根性质 ． ，故B正确；
C、 ，而 ，两者不相等，故C错误；
D、 ，故D错误．
故选：B．
10．下列选项正确的是（ ）
A． B． 的算术平方根是
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的乘法，算术平方根定义．根据二次根式的性质，二次根式
的乘法以及算术平方根的定义，逐项计算，即可求解．
【详解】解：选项A、 ，故A选项运算正确；选项B、 ， 的算术平方根是 ，故B选项运算错误；
选项C、 ，故C选项运算错误；
选项D、 ， ，即 ，故D选项运算错误．
故选：A．
11．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法、整式的加减以及算术平方根的性质，正确运用法则、注意算术平方
根的非负性是解题的关键．根据二次根式的乘法法则、合并同类项法则及二次根式化简规则判断其正确性，
从而确定正确选项．
【详解】∵ 选项A：根据二次根式乘法法则， ，
∴ ，正确，符合题意；
选项B： ，错误，不符合题意；
选项C： 与 不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
选项D： ，错误，不符合题意．
故选：A．
12．计算 结果的平方根为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】该题考查了二次根式的乘法，先利用平方差公式计算原表达式的值，再求该值的平方根．
【详解】解：∵ ，
∴ 原表达式结果的平方根为 ．
故选：C．
13．计算 的结果是（ ）
A． B．6 C．8 D．4
【答案】D
【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质
计算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，故选：D．
14．计算： （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键；因此此题可根据二次根
式的乘法进行求解．
【详解】解： ；
故选B．
15．计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故选：B．
16．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解
题的关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
17．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
18．计算： ．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则 计算即可．
【详解】解： ．
故答案为：4．
19．计算 的结果为 ．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则， ，直接
计算即可．
【详解】解： ，其中 已是最简二次根式，
故答案为： ．
20．计算： ． ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法
法则进行计算即可求解．
【详解】解： ，
，
故答案为： ， ．
21．若一个无理数a与 的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数 ，使得 与 的乘积为有理数．由于
可化简为 ，因此 应包含 的因子，以便与 相乘后得到有理数．
【详解】解：取 ，则 ， 是有理数，满足条件．
故答案为 ．
22．化简与计算： ， ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则．
第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用
积的乘方公式计算．
【详解】解：
；；
．
故答案为： ， ， ．
23．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中 代表的实数为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程
，解出 即可．
【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即 ，
∴ ，
故答案为： ．24．计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，即
可作答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
25．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用二次根式相乘的性质直接计算．
【详解】解： ，
故答案为： ．
26．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
27．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，二次根式的乘法运算，化简绝对值，先运算立方根，二次根式的乘法以及化
简绝对值，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
．
28．计算下列各式：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可；
（3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
29．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)24
(2)32
(3)
(4)
【分析】本题考查二次根式的计算，掌握二次根式乘除计算的法则是解题的关键．
（1）先计算出根式的结果，再算乘法；（2）先进行根式下的乘法，再计算根式；
（3）直接计算根式；
（4）先进行根式下的除法计算，再计算根式，最后分母有理化即可；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
30．计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键；
先计算乘方，去绝对值，然后计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
31．计算： ．【答案】
【分析】本题考查混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘除运算等知识，熟记二次根式相关运算法则
是解决问题的关键．
先由二次根式性质、二次根式乘法及二次根式除法运算化简即可得到答案．
【详解】解：
．
32．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，零指数幂，根据二次根式的乘法，零指数幂，绝对值的意义运算
即可．
【详解】解：
．
33．已知 ， ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
（ ）先利用平方差公式进行因式分解，然后把 ， 代入即可求解；
（ ）先提取公因式进行分解，然后把 ， 代入即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
34．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先计算立方根，零指数幂，平方差公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
35．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ________， ________，
② ________， ________；
推理：运用（1）中的结果可以得到： ； ；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ________，②化简： ________．
【答案】（1）① ， ；② ， ；（2）① ；②
【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题
的关键．
（1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（2）利用得出的规律化简各式即可．
【详解】解：（1）① ， ，② ， ，
故答案为：① ， ；② ， ；
（2）① ，②
故答案为：① ；② ．
类型二、用字母表示二次根式
36．若 ， ，则 的值用a，b可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将 化为分数形式，利用二次
根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可．
【详解】解： ， ，
．
故选：C．
37．若 ，则下列表示 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求
得答案．
【详解】解： ，
故选：B．
38．若 ，则 用含x，y的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键． ，结
合已知条件 和 ，直接可得 ．
【详解】解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ．
故选：C．
39．设 ， ，则 可以表示为()A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
又 ，
．
故选：C．
40．若 ，则 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，
将原式化为 ，再代入可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴ .
故选：D.
41．设 ， ，则 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
42．设 ， ，则用含a，b的式子表示 ，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将 进行化简变形，然后把a，b的值
代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
43．若 ， ，则下列表示 正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求
得答案．
【详解】解得： ，
故选：B．
44．设 ， ，则用含a，b的式子表示 ，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将 进行化简，从
而求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：C．
45．设 ， ，用含a，b的式子表示 ，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题关键是熟记二次根式乘法公式．
．根据 ， ，得出 ，根据 即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，．
故选：C．
46．若 ， ，则 用含a，b的式子表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据 即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
47．已知 ， ，则用 表示 为 ．
【答案】 /
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的乘法．掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
48．如果二次根式 ，那么 可以用含a和b的代数式表示为 ．
【答案】 /
【分析】根据 ，即可得到答案．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式乘法运算及代数式的表示，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键．
49．已知 ，用只含a，b的代数式表示 ，这个代数式是 ．
【答案】 /
【分析】观察发现a、b的代数式得到的数比a、b都大，且a、b不是同类二次根式，故可想到应用二次根
式的乘法解答，根据二次根式的乘法法则，得 ；接下来用a，b替换即可得
出答案．
【详解】解：∵ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算．掌握乘法法则 ．
50．设 ＝m， ＝n，用含m，n的式子表示 ＝ ．
【答案】m2n
【分析】分解 ，用含 ， 的式子表示 ，再用m，n代替即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟悉二次根式的乘法法则是解决本题的关键．
类型三、估计二次根式的值
51．估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的
性质估算范围即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 值在4和5之间，
故选：B．
52．估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．
先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可．【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
53．估计 的值应在 （ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法
法则进行计算．先根据乘法分配律计算 的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从
而确定其所在的取值范围．
【详解】∵
且 ， ， 介于 和 之间，
∴
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴ 值在 和 之间，
故选 C．
54．估计 的值应在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】
【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，无理数的大小估算，解题关键是正确掌握二次根式的运算
法则．
先计算原表达式，化简为 ，然后估计 的近似值，从而判断整体值的范围．【详解】解： ，
，
，
，
，
即 的值应在 和 之间．
故选： ．
55．估计 的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算．
先计算表达式 ，将其化为 ，再估计 取值范围，最后确定 范围即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值在6到7之间．
故选：C．
56．估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的化简和运算，平方根的估算；先通过展开化简原式，再估算其值．
【详解】解： ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴原式的值在3和4之间，
故选：B．57．估计 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的
性质估算范围即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴估计 的值应在6和7之间，
故选：D．
58．估计 的值在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通
过估算无理数的大小的方法解答即可，解题的关键在于掌握二次根式的运算方法以及估算无理数大小的方
法．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值在 和 之间，
故选： ．
59．估计 的值应在（ ）A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】C
【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
先化简二次根式，再进行估算即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值应在9和10之间，
故选C．
60．估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的计算，以及无理数的估算，解决本题的关键是计算出 的范围．
直接利用二次根式的性质化简，进行估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 的值应在5和6之间 ．
故选：B ．
类型四、二次根式的小数部分计算
61．若 的小数部分是 ，那么 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的计算，根据题意得出 的值是解题关键．首先估算出 的
取值范围： ，得出 的小数部分 ，进一步代入求得数值即可．
【详解】解：∵
∴ ，
的小数部分 ，
．
故选：B．
62．设 的小数部分是a，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键是正确求出 的值．
先根据无理数的估算方法求出 ，再代入，根据平方差公式计算．
【详解】解： ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，
∴ 的小数部分
∴ ，
故选：C．
63．我们都知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，
但是因为 ，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用 表示它的小数部分，若 的整数
部分是a， 的小数部分是b，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小
数部分．先求出 的整数部分，即a的值，再求出 的小数部分，即 的值，再利用二次根式乘法计算
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
64．设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练地求解a，b的值是解本
题的关键．
先判断 得到 ，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴ ，
∴
故选：A．
65． 的整数部分是x，小数部分是y，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于 ，由此可确定 的整数部分x，
接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ 的整数部分 ，小数部分 ，
∴ ．
故选：A．
66．已知 是 的小数部分，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】B【分析】根据无理数的估算可求出 ，再代入所求式子求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的小数部分为 ，即 ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算．正确确定 的值是解题关键．
67．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，平方差公式，先利用夹逼法估算出 的取
值范围，进而得到 的值，代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法估是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
68．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数
部分是解答的关键．本题先求解 ， ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ，
故选：A．
69．设 的小数部分为a，则 的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算，求 的小数部分为 ，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的整数部分为3，则小数部分 ，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．
解题的关键在于熟练掌握各知识的运用．
70．已知x是 的整数部分， 是 的小数部分，则 的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查无理数的估算，先求出x和y，代入 根据二次根式运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
71．已知 的整数部分是 ，小数部分是 ， 是 的算术平方根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，实数的混合运算，根据题意得出
，代入代数式求值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵ 的整数部分是 ，小数部分是 ， 是 的算术平方根，
∴
∴
故答案为： ．
72．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ， 的值 ．
【答案】【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出 的值，再代入代数式计
算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
73．若 ，其中a是整数部分，b是小数部分，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了估算无理数大小的知识，注意运用“夹近法”得出a，b的值是解答此题的关键．
先利用逼近法求出 在哪两个连续的整数之间，得出整数部分a的值，再求出小数部分b的值，然后代所
求代数式即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：9．
类型五、二次根式乘法的实际应用
74．有一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的乘法的应用．直接根据长方体体积公式求解可得．
【详解】解：∵长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
∴长方体的体积，
故选：B．
75．若正三角形的边长为 ，则这个正三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正三角形的性质，二次根式的乘法，正三角形的周长等于其边长的3倍．题目中给出
边长为 ，因此周长可直接通过边长乘以3计算得出．
【详解】解：正三角形的三条边长度相等，因此周长为： ．
故选：A．
76．若某矩形的长为 、宽为 ，则这个矩形面积的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算
无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围．
【详解】解：矩形的面积 ，
，
，
矩形面积的值在3与4之间，
故选：B．
77．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 和 ，则这个直角三角形的面积为（ ）
A．16 B． C． D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法、直角三角形面积公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据直角三角形的面积公式，代入数据计算即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为 和 ，
∴这个直角三角形的面积为．
故选：B．
78．矩形相邻两边长分别为 、 ，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理
数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：矩形的面积 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故 在3和4之间，
故选：C．
79．若计算 的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号）
【答案】③
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的
关键是掌握以上法则．
先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴数a落在了如图所示数轴上的③段，
故答案为：③．
80．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使
横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ．【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键．
根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得： ．
故答案为： ．
81．若一个半径为 的圆的面积扩大为原来的3倍，则扩大后的圆的半径是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，二次根式的乘法运算，根据圆的面积扩大为原来的3倍，则
圆的半径扩大为原来的 倍，再根据原来圆的半径为 ，进行计算即可．
【详解】解：∵圆的面积扩大为原来的3倍，
∴圆的半径扩大为原来的 倍，
∴扩大后的圆的半径是 ．
故答案为： ．
82．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为 米，现在要在正方形空地内修建四个大小、
形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为 米、宽为 米，除去修建花坛的地方，其他地方全
部修建成通道．求通道的总面积．
【答案】通道的总面积为
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键．
分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可．
【详解】解： ．
答：通道的总面积为 ．83．已知一个长方形的长为 ，宽为 ．求它的面积．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．
根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解： ．
84．如图，某小区有一块长方形空地 ，长方形空地的长 为 ，宽 为 ，现要在空地
中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为 ，宽为
．求种植花草的面积．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
用长方形空地的面积减去小长方形喷泉的面积即可．
【详解】解：种植花草的面积
．
85．阅读下面的材料，并完成相应任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两
个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪： ，所以
小明：
这就说明 和 都是 的算术平方根，而 的算术平方根只有一个，所以
任务：
(1)猜想：当 时 和 之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算： ．
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为 ，宽为 ，求这个长方形的面积．
【答案】(1)(2)24
(3)16
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．
（1）由题意可得 ，即可解答；
（2）根据 ，即可求解；
（3）由长方形的面积可求 ，再化简求值即可．
【详解】（1）解：由题意可得 ；
（2）解： ；
（3）解： 长方形的长为 ，宽为 ，
，
答：这个长方形的面积为16．
1．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得 ，
，即得 ，再利用积的乘方的逆运算可得 ，再
代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．化简 的结果为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二
次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可．【详解】解：原式
；
故答案为 ．
3．求不超过 的最大整数．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，二次根式的运算，设 ， ，
则 ， ，可得 ，即得 ，
即得到 ，进而根据 即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴不超过 的最大整数为 ．
1．在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知：
，则 的“对偶式”是 ，通过
，可以得到 ，同样也可以得到
，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题：
已知实数 、 满足 ，则 ．【答案】2025
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据题意构造 的对偶式 ，
的对偶式 ，得出 ，
，两式相加得出 ，从而可计算 ．
【详解】解：根据题意得： 的对偶式 ， 的对偶式
，
∴ ①，
②，
得，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2025．
2． 是一种数学比例关系，人们称其为黄金分割比，它在艺术、建筑和自然界中广泛存在，
因其和谐美感而广受青睐．设 ， ，记 ， ，
，则 ．
【答案】
5050
【分析】本题考查了分式的化简求值、黄金分割比的性质及等差数列求和，解题的关键是利用 与 的乘
积关系（ ）化简 ，再通过等差数列求和公式计算总和．
先推导 得 ，化简 得出 ，再求1到100的和．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即对 ，代入 得： ，
∴ ．
则 ．
故答案为：5050．
3．已知： ，求y的值．
【答案】
【分析】本题考查了乘方运算，准确的计算是解决本题的关键．
令 ，求出 ，再依次求出 即可求解．
【详解】解：令 ，
∴
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，，
∴
．
