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人教版九年级数学期末押题卷 01
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：九上+九下26-27章
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面四个图案中，是中心对称不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是中心对称不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列关于x的方程中一定有实数根的是（ ）
A．x2＝﹣x﹣1 B．2x2﹣6x+9＝0
C．x2+mx+2＝0 D．x2﹣mx﹣2＝0
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．
【解答】解：A、方程整理得x2+x+1＝0，
则Δ＝1﹣4＝﹣2＜0，所以没有实数解，故本选项错误；
B、Δ＝36﹣72＝﹣36＜0，所以没有实数解，故本选项错误；
C、Δ＝m2﹣8，由于m2﹣8不一定大于或等于0，原方程，不一定有实数解；故本选项错误；
D、Δ＝m2+8＞0，原方程有实数解，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两
个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次
方程的定义．
3．（3分）已知AB＝10cm，以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5cm的点共有（ ）
A．无数个 B．1个 C．2个 D．4个
【分析】找到与AB平行且距离为5的两条直线即可．
【解答】解：以AB为直径作圆，那么到AB的距离等于5cm的点在两条与AB平行到AB的距离为5的直
线上，而这两条直线与圆的交点只有两个．
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
4．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线
的解析式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的
抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加
下减是解题关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正确的变形是（ ）
A．（x﹣5）2＝1 B．（x+5）2＝26 C．（x﹣5）2＝26 D．（x﹣5）2＝24
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣10x﹣1＝0，
移项，得
x2﹣10x＝1，
方程两边同时加上25，得
x2﹣10x+25＝26，
∴（x﹣5）2＝26．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元
二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（3分）已知反比例函数y＝﹣ ，则下列结论正确的是（ ）
A．点（1，2）在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
【解答】解：A、将x＝1代入y＝﹣ ，得到y＝﹣2≠2，
∴点（1，2）不在反比例函数y＝﹣ 的图象上，故本选项错误，不符合题意；
B、因为比例系数为﹣2，则函数图象过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、由于函数图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
D、如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；故选：D．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质的理解和掌握，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是
解此题的关键．
7．（3分）y＝m（x﹣x ）（x﹣x ）+n（m＞0），点（x ，y ）是函数图象上任意一点，（ ）
1 2 0 0
A．若n＜0，则y ＜﹣ （x ﹣x ）2
0 1 2
B．若n≥0，则y ＞﹣ （x ﹣x ）2
0 1 2
C．若n＜0，则y ≤﹣ （x ﹣x ）2
0 1 2
D．若n≥0，则y ≥﹣ （x ﹣x ）2
0 1 2
【分析】利用二次函数的性质，m大于0，抛物线有最低点，构建不等式，可得结论．
【解答】解：对称轴公式为x＝ ，将其代入y＝m（x﹣x ）（x﹣x ）+n（m＞0），
1 2
∴y的最小值为m（ ﹣x ）（ ﹣x ）+n＝﹣ （x ﹣x ）2+n，
1 2 1 2
∵m＞0，
∴顶点处为最小值，
∵点（x ，y ）是函数图象上任意一点．
0 0
∴y ≥﹣ （x ﹣x ）2+n，
0 1 2
∴n≥0时，y ≥﹣ （x ﹣x ）2，
0 1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图， O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，EF是 O的切线，△AEF的内切圆 P切
⊙ ⊙ ⊙
EF于点N，半径为 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用切线长的关系求出EF，构造矩形OMNH，则MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求
比值．
【解答】解：设AB与 O、 P的切点分别是Q、G，AC与 O、 P的切点分别是T、S，连接OQ、
PG、OM、OA、PS、OT，过O作OH垂直于PN，垂足为H，则AG＝AS，EG＝EN，FS＝FN，EQ＝
⊙ ⊙ ⊙ ⊙EM，FM＝FT，FM＝FT，AQ＝AT，
∵OQ＝OT，OQ⊥AB，OT⊥AC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∵PG＝PS，PG⊥AB，PS⊥AC，
∴P在OA上，
Rt△APG中，AG＝ ＝ ＝ ，
∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝2AG＝ ①，
Rt△AOQ中，AQ＝ ＝ ＝ r，
∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2 r②，
②﹣①得2EF＝ ，
∴EF＝ ，
∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°，
∴四边形OMNH是矩形，
∴MN＝OH，NH＝MO，
Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝2r﹣2× ＝ ，PH＝PN+NH＝PN+MO＝ +r＝ ，
∴OH＝ ＝ ＝ ，
∴MN＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形OMNH，把MN转移到OH是关键．
9．（3分）如图，E是 ABCD的边AD上的一点，连接并延长，交CD的延长线于点F，若AE：BC＝3：
5，则FD：DC的值为（ ）
▱A．2：3 B．2：5 C．3：4 D．3：5
【分析】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥DC，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定
得到 ＝ ，△FED∽△BEA，由相似三角形的性质得到 ＝ ，根据这些比例线段及已知即可得到
结果．
【解答】解：∵ ABCD，
∴AD∥BC，AB∥DC，
▱
∴ ＝ ，△FED∽△BEA，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
故选：A．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的
判定和性质．
10．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+t交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线顶点为
D，下列四个结论：
①无论t取何值，CD＝ 恒成立；
②当t＝0时，△ABD是等腰直角三角形；
③若a＝﹣1，则b＝4；
④抛物线上有两点M（x ，y ）和N（x ，y ），若x ＜1＜x ，且x +x ＞2，则y ＜y ．其中正确的结论
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
是（ ）A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③
【分析】①先求出C、D的坐标，再根据两点距离公式求得CD，便可判断；
②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；
③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；
④根据二次函数图象当x ＜1＜x ，且x +x ＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．
1 2 1 2
【解答】解：①∵y＝x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1，
∴C（0，t），D（1，t﹣1），
∴CD＝ ，
故①正确；
②当t＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，﹣1），
∴AD＝BD＝ ，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故②正确；
③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∵对称轴x＝1，
∴另一个交点坐标为（3，0），
∴b＝3，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当x ＜1＜x ，且x +x ＞2，
1 2 1 2
则1﹣x ＜x ﹣1
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、
等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，3），点C是反比例函
数y＝ （x＞0）图象上一点，∠ABC＝135°，AC交y轴于点D， ＝ ，则k的值为 8 ．【分析】过A作AH⊥BC于H，得到AH＝BH＝ ，根据已知条件得到B，H，A，O四点共圆，连接
OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形的性质得到AM
＝BN＝1，求得直线HB的解析式，根据平行线分线段成比例定理求得 OI，于是得到C的坐标，代入y＝
（x＞0）即可求得k的值．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝ ＝ ，
过A作AH⊥BC于H，
∵∠ABC＝135°，
∴∠HBA＝∠HAB＝45°，
∴AH＝BH＝ × ＝ ，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四点共圆，
连接OH，
∴∠BOH＝∠BAH＝45°，
∴H在第二象限角平分线上，
作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，
则四边形HMON是正方形，
∴HM＝HN，
在Rt△AHM与Rt△BHN中，
，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN（HL），
∴AM＝BN，
∵OM＝ON，
∴AM＝BN＝1，
∴H（﹣2，2），
∴直线BH的解析式为y＝ x+3，
过C作CI⊥x轴于I，
∴OD∥CI，∴ ＝ ＝ ，
∴OI＝2AO＝2，
把x＝2代入y＝ x+3得y＝4，
∴C点坐标为（2，4），
∵点C是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，
∴k＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，正方形的判定和性质，求一次函
数的解析式，全等三角形的判断和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，7）关于原点对称的点的坐标是 （ 3 ，﹣ 7 ） ．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的
对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【解答】解：∵点P（﹣3，7），
∴关于原点对称的点是（3，﹣7）．
故答案为：（3，﹣7）．
【点评】本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所
在的象限．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至
△AB C 的位置，点B 恰好落在边BC的中点处，则CC 的长为 2 ．
1 1 1 1
【分析】由旋转的性质得出△ABB 是等边三角形，求出CA的长，则可得出答案．
1
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB C 的位置，
1 1
点B 恰好落在边BC的中点处，
1
∴AB ＝ BC，BB ＝B C，AB＝AB ，
1 1 1 1
∴BB ＝AB＝AB ，
1 1
∴△ABB 是等边三角形，
1∴∠BAB ＝∠B＝60°，
1
∴∠CAC ＝60°，
1
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB C 的位置，
1 1
∴CA＝C A，
1
∴△AC C是等边三角形，
1
∴CC ＝CA，
1
∵AB＝2，
∴CA＝2 ，
∴CC ＝2 ．
1
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，得出
△ABB 是等边三角形是解题关键．
1
14．（3分）已知圆锥的高为7.6米，底面积半径为2.7米，则圆锥的体积为 57.9 9 立方米（ 取3.14，结
π
果精确到0.01，圆锥的体积＝ ×底面积×高）．
【分析】把圆锥的高为7.6米，底面积半径为2.7米，代入所给公式求值即可．
【解答】解：圆锥的体积＝ ×底面积×高＝ × ×2.72×7.6≈57.99立方米．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，把相应的值代入求值即可．
π
15．（3分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单
位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出来的射程s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（20
﹣h），则射程s最大值是 2 0 cm．（射程是指水流落地点离小孔的水平距离）
【分析】将s2＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即
可．
【解答】解：∵s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
故答案为：20．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题
的关键．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E、F，连
接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①△EPD∽△HPB；
②PD＝HD；
③ ；
④ ．
其中正确的是 ②④ （写出所有正确结论的序号）．
【分析】证出∠FDP＝∠PBD，∠EPD≠∠BDP，由相似三角形的判定可得出结论；由等边三角形的性质
证出∠PDH＝∠CPD，由等腰三角形的性质可得出结论；证明△FPE∽△CPB，由相似三角形的性质得出
＝ ，设PF＝x，PC＝y，则DC＝y，求出x与y的关系式可得出结论；证明△DFP∽△BPH，
由相似三角形的性质得出 ．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠FEP＝∠EPD+∠EDP＝60°，
∴∠EPD＝45°，
∴∠EPD≠∠HPB，
∴△EPD∽△HPB不成立，
故①错误；
∵CD＝PC，∠DCP＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CPD＝75°，
∵∠DHP＝∠PCD+∠BDC＝75°，
∴∠DHP＝∠CPD，∴DP＝DH，故②正确；
∵∠FPE＝∠PFE＝60°，
∴△FEP是等边三角形，
∴△FPE∽△CPB，
∴ ＝ ，
设PF＝x，PC＝y，则DC＝y，
∵∠FCD＝30°，
∴y＝ （x+y），
整理得：（1﹣ ）y＝ x，
解得： ，
则 ，
故③错误；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴ ，故④正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是
熟练掌握正方形的性质及相似三角形的判定与性质．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解一元二次方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2x﹣2，
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A（﹣2，0），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣5）都在格点上．
（1）将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△A B C ，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将△A B C 绕原点逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ，并直接写出点C 的坐标；
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
（3）在（2）的条件下，求△A B C 在旋转过程中B C 扫过的面积．
1 1 1 1 1
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C ，再依次连接即可；
1 1 1
（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A ，B ，C ，再依次连接，再写出点C 的坐标即可；
1 1 1 2 2 2 2
（3）利用扇形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求，
1 1 1
；
（2）如图所示，△A B C 即为所求，点C （1，6）；
2 2 2 2
（3） ＝ ＝ ．
【点评】本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇
形面积公式是解题的关键．
19．（6分）已知点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5与x轴、y轴交于A，B
两点．
（1）如图1，若二次函数的图象也过点A，B，
①求抛物线的解析式；
②若mx+5＜﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象直接写出x的范围；（2）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由；
（3）如图2，点A的坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ ，y ），D（ ，y ）都在二次函数
1 2
图象上，试比较y 与y 的大小．
1 2
【分析】（1）①求出点B的坐标，代入二次函数解析式求出b的值即可；
②根据①的解析式求出A点坐标，再根据图象decubitus结论；
（2）由抛物线解析式求出顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解；
（3）根据抛物线的顶点在△AOB的内部，确定b的取值范围，由于抛物线的对称轴为x＝b，再根据点点
C（ ，y ），D（ ，y ）的横坐标与对称轴的距离和抛物线的增减性进行判断．
1 2
【解答】解：（1）①直线y＝mx+5分别交y轴于点B，
当x＝0时，y＝5，因此B（0，5）
把点B（0，5）代入二次函数关系式得：5＝﹣b2+4b+1，
解得：b＝2，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9；
②由①知，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＜﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是0＜x＜5；
（2）点M在直线y＝4x+1上，理由：
∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4b+1，
得y＝4x+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（3）A（5，0），B（0，5），
二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点M（b，4b+1）在△AOB内部，
，
解得：0＜b＜ ，由抛物线的对称轴为x＝b，
①当0＜b＜ 时，点C（ ，y ），D（ ，y ）根据抛物线的对称性和增减性可得：y ＞y ，
1 2 1 2
②当b＝ 时，点C（ ，y ），D（ ，y ）根据抛物线的对称性和增减性可得：y ＝y ，
1 2 1 2
③当 ＜b＜ 时，点C（ ，y ），D（ ，y ）根据抛物线的对称性和增减性可得：y ＜y ，
1 2 1 2
答：当0＜b＜ 时，y ＞y ；当b＝ 时，y ＝y ；当 ＜b＜ 时，y ＜y ．
1 2 1 2 1 2
【点评】本题考查二次函数与不等式（组）之间的关系、二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与
方程及不等式的关系．
20．（6分）某班利用课余时间举办了一次“数学知识快问快答”有奖竞答活动，最终甲、乙两位同学均获
得一次抽奖机会，抽奖规则：将准备好的正面分别标有数字1，2，3，4的四张翻奖牌（除正面数字外，
所有翻奖牌完全相同）背面朝上，并洗匀，两名抽奖者从中任意翻取一张翻奖牌，即可获得该翻奖牌正
面数字所对应的奖品，已知数字1～4分别对应奖品：文具盒、笔记本、文具盒、水杯，且被翻取后的翻
奖牌失效，不参与下一次抽奖（即下一位抽奖者不能翻取同一张翻奖牌）．
（1）求第一位同学抽中文具盒的概率；
（2）若甲、乙两位同学都想抽中水杯．
甲：先抽的中奖率高，我先抽，抽中了你就没机会了；
乙：先抽的中奖率低，你很可能抽不中，那我中奖的几率就更大了．
你认为两人中谁的说法正确？请用列表或画树状图的方法说明．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，先抽的抽中水杯的结果有3种，后抽的抽中水杯的结果有3种，
再由概率公式求出各自的概率，即可解决问题．
【解答】解：（1）第一位同学抽中文具盒的概率为 ＝ ；
（2）两人的说法不正确，理由如下：
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，先抽的抽中水杯的结果有3种，后抽的抽中水杯的结果有3种，
∴先抽的抽中水杯的概率＝后抽的抽中水杯概率＝ ＝ ，
∴甲、乙两位同学抽中水杯的机会是相等的，
∴两人的说法不正确．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两
步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比．
21．（8分）已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．（2）若方程的一个根为x ＝﹣1，设另一根为x ，求x 2+x 2的值．
1 2 1 2
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到﹣1+x ＝﹣ ，则可求出x ＝ ，然后x 2+x 2的值．
2 2 1 2
【解答】解：（1）根据题意得△＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣ ；
（2）根据题意得﹣1+x ＝﹣ ，
2
∴x ＝ ，
2
所以x 2+x 2＝（﹣1）2+（ ）2＝ ．
1 2
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x +x ＝
1 2 1 2
﹣ ，x x ＝ ．也考查了根的判别式．
1 2
22．（10分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家
及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m
平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为 ；今年上半年，
受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去
年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为 ，同时公共营
销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：
（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积
与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且 A公司每半年每平方千
米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【分析】（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？根据比的定义即可求
解；
（2）根据同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，列出方程求出 x，再求
出去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？
3n× ＝ n，
n：n＝ ；
（2）依题意有 ×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣ ×3n（1+x%）][3n× ÷（3n+n﹣ n）
+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，
解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，
今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，
去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．
【点评】考查了一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方
程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．本题难度较大．
23．（10分）已知，在 O中，弦AB、CD相交于E，点C是 的中点．
（1）如图1，当AB是 O直径时，求证：∠ABD＝2∠BDC；
⊙
（2）如图2，当AB⊥CD时，求证：AE＝EB+BD；
⊙
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，作直径CF，连接AF并延长交CD的延长线于G，DG＝2，
AG＝6，求 O的半径长．
⊙
【分析】（1）连接AC、OC，OD，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，圆心角是圆周角的 2倍，推导出
∠COA＝2∠CAO，∠AOD＝4∠OAC，∠AOD＝2∠ACD，∠COB＝∠OBD，得到∠COB＝2∠CDB，即
可证明∠ABD＝2∠CDB；
（2）连接AC，在AE上截取ME＝BE，延长CM交圆于点N，连接AD，可得△BDM是等腰三角形，再
由弧的关系得到 ＝ ，则∠BAD＝∠ADN，得到AM＝D，即可证明AE＝AM+ME＝BD+BE；
（3）连接DF，作∠DFG的平分线FK交DG于点K，过K点作KL⊥FG交于点L，根据弧的关系得到
AF＝FD，设AF＝a，则FD＝a，在Rt△FDG中，（6﹣a）2＝a+4，解得a＝ ，分别可求FG＝ ，FD
＝FL＝ ，LG＝ ，在Rt△KGL中，（2﹣KL）2＝KL2+ ，解得LK＝ ，FK＝ ，求出sin∠DFK
＝ ，再由A、F、D、C四点共圆，推导出∠DFK＝∠ACF，得到 ＝ ，求出OC＝ ，即
可得圆O的半径为 ．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，OD，
∵ ＝ ，∴∠CAB＝∠CDB，
∵OC＝AO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠COB＝2∠CAO，
∵C是 的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠BOD＝180°﹣4∠OAC，
∴∠AOD＝4∠OAC，
∵ ＝ ，
∴∠AOD＝2∠ACD，
∴∠OCD＝∠ACO，
∵∠DEB＝∠CEO，
∴∠COB＝∠OBD，
∵ ＝ ，
∴∠COB＝2∠CDB，
∴∠ABD＝2∠CDB；
（2）证明：连接AC，在AE上截取ME＝BE，延长CM交圆于点N，连接AD，
∵AB⊥CD，ME＝EB，
∴△BDM是等腰三角形，
∴∠MDE＝∠CDB，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠BAD＝∠ADN，
∴AM＝DM，
∵BD＝DM，
∴AE＝AM+ME＝BD+BE；
（3）解：连接DF，作∠DFG的平分线FK交DG于点K，过K点作KL⊥FG交于点L，
∵AF是圆的直径，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠ACF＝∠FCD，
∴AF＝FD，
设AF＝a，则FD＝a，
∵AG＝6，
∴FG＝6﹣a，
∵∠FDG＝90°，
在Rt△FDG中，（6﹣a）2＝a+4，解得a＝ ，
∴FG＝ ，
∵∠DFK＝∠KFG，DK⊥FD，KL⊥FG，
∴FD＝FL＝ ，
∴LG＝ ，
在Rt△KGL中，（2﹣KL）2＝KL2+ ，
解得LK＝ ，
∴FK＝ ＝ ，
∴sin∠DFK＝ ，
∵A、F、D、C四点共圆，
∴∠DFG＝∠ACD，
∴∠DFK＝∠ACF，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
∴OC＝ ，
∴圆O的半径为 ．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角与圆心角定理，四点共圆的性质，等腰三角形的性质，
垂径定理是解题的关键．
24．（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，BC＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，且
点B的坐标为（﹣4，0）
（1）求点D的坐标；
（2）设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，设点P的坐标为（m，0），△ABP的面积为
s，求△ABP的面积s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）直接写出当△ABP为等腰三角形时点P的坐标．
【分析】（1）根据勾股定理求出OA，根据平行四边形的性质求出点D的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分AB＝AP、AB＝BP、AP＝BP三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理解答．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（﹣4，0）
∴OB＝4，
∴OA＝ ＝3，
∴点D的坐标为（10，3）；
（2）s＝ ×（4+m）×3＝ m+6，
s关于m的函数关系式s＝ m+6（﹣4＜x＜6）；（3）当AB＝AP时，OP＝OB＝4，
则点P的坐标为（4，0），
当AB＝BP＝5时，OP＝BP﹣OB＝1，
则点P的坐标为（1，0），
如图，当AP＝BP时，BP＝AP＝OB﹣OP＝4﹣OP，
由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（4﹣OP）2＝32+OP2，
解得，OP＝ ，
则点P的坐标为（﹣ ，0），
综上所述，当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为（4，0）或（1，0）或（﹣ ，0）．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、一次函数解析式的确定、勾股定理的应用，掌握平行四边形
的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+ x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是
A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D
在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记
为S ，△ABQ的面积记为S ，求 的值最大时点P的坐标．
1 2
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为y＝ ，点B坐标为（﹣4，0）．可证明△AOC∽△COB．继而可证
AC⊥BC，则将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC＝AC，过点
D作DE⊥y轴交y轴于点E，可证△ACO≌△DCE，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；（3）分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出
的值，根据二次函数的性质可以确定出 的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ x+c过点A（1，0），C（0，﹣2），
∴ ，解得： ．
∴抛物线的表达式为y＝ ．
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则
，解得： ．
∴直线AC的表达式为y＝2x﹣2．
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y＝ ，
∴点B坐标为（﹣4，0）．
∵OA＝1，OC＝2，
∴ ．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB．
∴∠ACO＝∠CBO．
