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20.1 勾股定理及其应用（第 1 课时）
知识点1：利用勾股定理计算
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】由勾股定理得：BC＝√AB2 −AC2=√132 −52=12.
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键.
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，则AB2 −BC2等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别
为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．根据勾股定理求得AC2+BC2=AB2，代入式子即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC=4，
∴AB2 −BC2=AC2=42=16．
故选：B．
3．（2025年安徽）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足
ED⊥AC．若DE=√3，则AC的长是（ ）
A．4√3 B．6 C．2√3 D．3
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含30∘角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，
通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出∠C的度数，再利
用中点得到线段关系，最后在Rt△EDC中，结合含30∘角的直角三角形性质及勾股定理求出AC的长 ．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
180° −120°
∴∠C= =30°．
2
∵D是AC中点，
∴设AC=2x，则CD=x．
∵ED⊥AC，
∴△EDC是直角三角形，且∠C=30°，
∴EC=2DE，
∵DE=√3，则EC=2√3．在Rt△EDC中，根据勾股定理EC2=DE2+CD2，
∴(2√3)2=(√3)2+x2，
12=3+x2，
x2=9，
解得x=3（x>0）．
∵AC=2x，
∴AC=6．
故选：B．
4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B．√7 C．√5 D．5或√7
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当4为斜边，3为
直角边时；分别利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为√32+42=5，
当4为斜边，3为直角边时，则第三边长为√42 −32=√7，
综上所述，第三边的长为5或√7，
故选：D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a=7，b=24，求c；
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司(2)若c=10，a:b=3:4，求a，b．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理可得：a2+b2=c2，
∵ a=7，b=24，
∴ c2=a2+b2=72+242=625=252，
∴ c=25；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理可得：a2+b2=c2，
设a=3x，b=4x(x>0)，
由a2+b2=c2，
可得：(3x) 2+(4x) 2=102，
∴x=2，
∴ a=6，b=8．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D．求AC的长和△ABC的面积.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=√AB2 −BC2=√52 −32=4(cm)，
1 1
∴S = AC⋅BC= ×4×3=6(cm2)．
△ABC 2 2
知识点2：勾股定理与面积问题
7．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S， S， S．若S 36，S 64，
1 2 3 1 2
则S（ ）
3
A．8 B．10 C．80 D．100
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】由正方形的面积公式可知S=AC2，S=BC2，S=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得
1 2 3
AC2+BC2=AB2，即S+S =S ，由此可求S．
1 2 3 3
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
又由正方形面积公式得S=AC2，S=BC2，S=AB2，
1 2 3
∴S=S +S =100．
3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的
正方形的面积．
8．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A．S +S >S B．S +S <S C．S +S =S D．无法判断
1 2 3 1 2 3 1 2 3
【答案】C
【分析】根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案．
1 1 2 1
【详解】∵S = π( AC) = πAC2，
1 2 2 8
1 1
同理S = πBC2，S = πAB2
2 8 3 8
∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
1 1 1
∴ πAC2+ πBC2= πAB2，
8 8 8
∴S +S =S ，
1 2 3
故选：C．
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
9．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD
的长为（ ）
√5 √13 18 9
A． B． C． D．
2 2 5 5
【答案】D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
1 1 9
【详解】解：由题意可得，ΔABC的面积是：3×4− ×3×1− ×3×4= ，
2 2 2
∵BD是ΔABC的高，AC=√32+42=5，
1 9
∴ ×BD×5= ，
2 2
9
解得，BD= ，
5
故选：D．
【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，
理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
10．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为（
）
A．55 B．16 C．6 D．4
【答案】D
【分析】
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明图中的两个三角形全等
是解题的关键．先根据同角的余角相等证明∠ACB=∠EBD，而∠CAB=∠BED=90°，CB=BD，即可证
5 / 9
学科网（北京）股份有限公司明△ABC≌△EDB，得AB=ED，再由AC2=5，AB2=DE2=11，根据勾股定理求得BC，于是得到问题的答
案．
【详解】
解：∵三个正方形a，b，c在直线l的同侧，且正方形a、c的边及正方形B的顶点在直线l上，
∴∠CAB=∠BED=180°−90°=90°，∠ CBD=90°，CB=BD，
∴∠ACB=∠EBD=90°−∠ ABC，
在△ABC和△EDB中，
¿，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴AB=ED，
∵正方形a，c的面积分别为5和11，
∴AC2=5，AB2=DE2=11，
∴BC=√AC2+AB2=√5+11=4，
∴正方形b的边长为4，
故选：D．
知识点3：勾股定理的证明
11．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观
推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何
等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
12．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．
【答案】a2+b2=c2
【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：大正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b) 2，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为
1
c2+4× ab=c2+2ab，
2
因此(a+b) 2=c2+2ab，
即a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．
13．（2023年浙江绍兴）如图，在纸片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，点D，E分别在边AB,AC上，
且AD=AE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，则BD:CE=（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．3:2 B．√3:2 C．2√3:3 D．4:3
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与折叠，30°直角三角形的性质，由折叠可得∠FED=∠AED=75°，
AD=AE=EF，即可得到∠FEC=30°，再分别在Rt△ABC和Rt△EFC利用30°直角三角形的性质和勾股
定理求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°,∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC，AC=√AB2 −BC2=√3BC，
2√3
∴AB= AC，
3
∵AD=AE，
180°−∠ A
∴∠ADE=∠AED= =75°，
2
∵将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，
∴∠FED=∠AED=75°，AD=AE=EF，
∴∠FEC=180°−∠ FED−∠AED=30°，
∴EF=2FC，EC=√EF2 −FC2=√3FC，
∴AD=AE=EF=2FC，
∴AC=AE+EC=(2+√3)FC，
2√3 2√3 6+4√3
∴AB= AC= ×(2+√3)FC= FC，
3 3 3
6+4√3 4√3
∴BD=AB−AD= FC−2FC= FC，
3 3
4√3
∴BD:CE= FC:√3FC=4:3，
3
故选：D．
14．（2024年四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的垂线l，
P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线l的对称点A′，
连A′O交直线l于点C，连AC，得到AC=A′C，A′A⊥l，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，
得到当O,P,A′三点共线时，PO+PA的最小值为A′O，再利用勾股定理求A′O即可．
【详解】解：取点A关于直线l的对称点A′，连A′O交直线l于点C，连AC，
则可知AC=A′C，A′A⊥l，
∴PO+PA=PO+PA′≥A′O，
即当O,P,A′三点共线时，PO+PA的最小值为A′O，
∵直线l垂直于y轴，
∴A′A⊥x轴，
∵A(3,0)，B(0,2)，
∴AO=3,AA′=4，
∴在Rt△A′AO中，
A′O=√OA2+AA′2=√32+42=5，
故答案为：5
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学科网（北京）股份有限公司
