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20.1 勾股定理及其应用（第 1 课时）
知识点1：利用勾股定理计算
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】由勾股定理得：BC＝√AB2 −AC2=√132 −52=12.
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键.
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，则AB2 −BC2等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别
为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．根据勾股定理求得AC2+BC2=AB2，代入式子即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC=4，
∴AB2 −BC2=AC2=42=16．
故选：B．
3．（2025年安徽）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足
ED⊥AC．若DE=√3，则AC的长是（ ）
A．4√3 B．6 C．2√3 D．3
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含30∘角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，
通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出∠C的度数，再利
用中点得到线段关系，最后在Rt△EDC中，结合含30∘角的直角三角形性质及勾股定理求出AC的长 ．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
180° −120°
∴∠C= =30°．
2
∵D是AC中点，
∴设AC=2x，则CD=x．
∵ED⊥AC，
∴△EDC是直角三角形，且∠C=30°，
∴EC=2DE，
∵DE=√3，则EC=2√3．在Rt△EDC中，根据勾股定理EC2=DE2+CD2，
∴(2√3)2=(√3)2+x2，
12=3+x2，
x2=9，
解得x=3（x>0）．
∵AC=2x，
∴AC=6．
故选：B．
4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B．√7 C．√5 D．5或√7
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当直角三角形的两直角边分别为3和4时；当4为斜边，3为
直角边时；分别利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为√32+42=5，
当4为斜边，3为直角边时，则第三边长为√42 −32=√7，
综上所述，第三边的长为5或√7，
故选：D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a=7，b=24，求c；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若c=10，a:b=3:4，求a，b．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理可得：a2+b2=c2，
∵ a=7，b=24，
∴ c2=a2+b2=72+242=625=252，
∴ c=25；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理可得：a2+b2=c2，
设a=3x，b=4x(x>0)，
由a2+b2=c2，
可得：(3x) 2+(4x) 2=102，
∴x=2，
∴ a=6，b=8．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D．求AC的长和△ABC的面积.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=√AB2 −BC2=√52 −32=4(cm)，
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∴S = AC⋅BC= ×4×3=6(cm2)．
△ABC 2 2
知识点2：勾股定理与面积问题
7．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S， S， S．若S 36，S 64，
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则S（ ）
3
A．8 B．10 C．80 D．100
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】由正方形的面积公式可知S=AC2，S=BC2，S=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得
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AC2+BC2=AB2，即S+S =S ，由此可求S．
1 2 3 3
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
又由正方形面积公式得S=AC2，S=BC2，S=AB2，
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∴S=S +S =100．
3 1 2
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的
正方形的面积．
8．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A．S +S >S B．S +S
