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2023-2024 学年人教版八年级数学下学期期末模拟试卷 03
满分：120分 测试范围：八下全部内容
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得， ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．下列计算中正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解： 、 无法计算，故此选项不合题意；
、 ，故此选项不合题意；
、 ，故此选项不合题意；
、 ，正确．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位 ，20，18，16，18，18，17．这组数据的众数
是
A．16 B．17 C．18 D．20
【分析】根据众数的定义进行解答即可．【解答】解：这组数据中出现次数最多的是18，共出现3次，因此这组数据的的众数是18，
故选： ．
【点评】本题考查众数，理解众数的定义是正确解答的前提．
4．由下列长度组成的各组线段中，能组成直角三角形的是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【分析】本题利用勾股定理的逆定理便可很快判断所给定的三角形是否为直角三角形，如果三角形两条边
的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
【解答】解： 选项： ， 这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
选项： ， 这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
选项： ， 这三条线段能组成直角三角形，符合题意；
选项： ， 这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否构成直角三角形，如果三角形两条边的平方和
等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
5．若一次函数 的图象经过点 ， 和点 ， ，当 时， ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，结合一次函数的性质可得 ，由此解出 即可得出答案．
【解答】解： 一次函数 的图象经过点 ， 和点 ， ，且当 时， ，
，
解得： ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，理解对于一次函数 ，当 时， 随 的增大
而增大，当 时， 随 的增大而减小是解决问题的关键6．菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示． ， ，则点 的坐标为
A． ， B． C． ， D．
【分析】根据菱形的性质，作 轴，先求 点坐标，然后求得点 的坐标．
【解答】解：作 轴于点 ，
四边形 是菱形， ，
，
又
为等腰直角三角形，
，
，
则点 的坐标为 ，
又 ，
的横坐标为 ，
的纵坐标为 ，
则点 的坐标为 ， ．
故选： ．
【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．7．如图，点 在正方形 的内部，连接 ， ，若 ， ， ，则正方形
的面积是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】在 中，通过勾股定理得 ，从而解决问题．
【解答】解：在 中， ，
由勾股定理得： ，
四边形 是正方形，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的
平方，是解题的关键．
8．若一次函数 的图象经过点 、点 和点 ，则 、 的大小关系为
A． B． C． D．无法确定
【分析】根据一次函数的性质，可以得到 、 的大小关系．
【解答】解： 时， ，
一次函数 的图象经过点 ，
一次函数 的图象经过点 、点 和点 ，
该函数图象 随 的增大而增大，
，
，
故选： ．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 、
、 、 分别是各边的中点，顺次连接各中点，并连接 ， 交于点 ，点 为 的中点，则
的长为
A．2 B．2.5 C．1.5 D．3
【分析】由三角形中位线定理推出四边形 是菱形，由勾股定理求出 长，即可得到 的长，由
直角三角形斜边中线的性质即可求出 的长．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
、 分别是 ， 中点，
是 的中位线，
，
同理： ， ， ，
，
四边形 是菱形，
，
是 的中点，
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查矩形的性质，中点四边形，三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由三角
形中位线定理证明四边形 是菱形．
10．如图，在正方形 中，点 ，点 分别是对角线 ， 上的点，连接 ， ， ，若
，且 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】设 交 于 ，由正方形的性质得 ， ， ， ，则
， ， 所 以 ， 由 ， 得
，所以 ， ，即可证明 ，得
．
【解答】解：设 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ， ， ，
， ，
，，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，即 ，
故选： ．
【点评】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的性质、三角形
的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质等知识，求得
并且证明 是解题的关键．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．命题“如果 ，那么 ， ”的逆命题是 如果 ， ，那么 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“如果 ，那么 ， ”的逆命题是：如果 ， ，那么 ，
故答案为：如果 ， ，那么 ．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
12．某校在开展“迎建党百年，争劳动模范”活动中，一合作学习小组 6名同学一周在家劳动的时间（单
位 分别为：4，5，4，6，5，5，则这组数据的中位数是 5 ．
【分析】将数据按照从小到大的顺序进行排序，求出中间两个数据的平均数，即可得解．
【解答】解：将数据按照从小到大的顺序进行排序，得：4，4，5，5，5，6；中间两位数字均为5，这组数据的中位数是： ，
故答案为：5．
【点评】本题考查中位数．熟练掌握中位数的计算方法：先将数据按照从小到大或从大到小进行排序，如
果这组数据的个数为奇数个，中位数为中间那一位，如果这组数据的个数为偶数个，求中间两个数值的平
均数，即为中位数，是解题的关键．
13．甲，乙两名同学参加古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是 90分，如果甲五次比赛成绩的方差为
0.8，乙五次比赛成绩的方差为1.2，则这五次比赛成绩比较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解： ， ，
，
甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是 2 4 ．
【分析】如图， ， ，根据菱形的面积公式求解．
【解答】解：如图， ， ，
四边形 为菱形，
菱形 的面积 ．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
15．已知 ，则 的值为 ．
【分析】直接把 代入代数式进行计算即可．
【解答】解： ，
．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16如图，一次函数 的图象为直线 ，菱形 ， ， ， 按图中所示的方式
放置，顶点 ， ， ， ， 均在直线 上，顶点 ， ， ， 均在 轴上，则点 的纵坐标是
．【分析】首先求得直线的解析式与 、 轴的交点，然后根据菱形的性质求得 ， ， 的坐标，可以
得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解： 一次函数 ，
， ，
四边形 是菱形，
与 关于 轴对称， 与 互相垂直平分，
， 轴，且 是△ 的中位线，
， ，
同理， 与 互相垂直平分，
把 代入 得 ，
，
垂直平分 ，
， ，
把 代入 得 ，
，
垂直平分 ，
，
的纵坐标是： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质，一次函数图形上点的坐标特征，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18．已知：如图，在 中， 、 的平分线分别交对角线 于点 、 ．求证：四边形
是平行四边形．
【分析】先证明 ，再证明 ， 即可．
【解答】证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
在 和 中，，
，
， ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判
定和性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．
19．某灯泡厂为了检测本厂生产的某种型号灯泡的使用寿命，从中抽取了 400只灯泡，测得它们的使用寿
命如下（单位：
使用寿命 550 650 750 850 950 1050
只数 20 80 108 92 76 24
（1）在这个问题中，总体和样本各指什么？
（2）求样本平均数；
（3）估计该灯泡厂生产的这种型号灯泡的平均使用寿命．
【分析】（1）根据总体和样本的定义解答即可；
（2）根据平均数的计算公式即可求解；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【解答】解：（1）在这个问题中，总体是本厂生产的某种型号灯泡的使用寿命，样本是400只灯泡的使用
寿命；
（2） ；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【点评】本题考查加权平均数，样本估计总体，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
20．“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进 ， 两种纪念品，购进 种纪念品10件， 种纪念品4件，共需1200元；购进 种纪念品5件， 种纪念品8件，共
需900元．
（1）求购进 ， 两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买 种纪念品的数量不大于 种纪念品数量的3倍． 种纪念
品每件获利30元， 种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进 ， 两种纪念品获
利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设购进 种纪念品每件需 元， 种纪念品每件需 元，根据“购进 种纪念品10件，
种纪念品4件，共需1200元；购进 种纪念品5件， 种纪念品8件，共需900元”，可得出关于 ，
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，根据购买 种纪念品的数量不大于 种纪
念品数量的3倍，可得出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围，设购进的200件纪念品全
部售出后获得的总利润为 元，利用总利润 每件的销售利润 销售数量（购进数量），可得出 关于
的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进 种纪念品每件需 元， 种纪念品每件需 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进 种纪念品每件需100元， 种纪念品每件需50元；
（2）设购进 种纪念品 件，则购进 种纪念品 件，
根据题意得： ，
解得： ．
设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为 元，则 ，
即 ，
，
随 的增大而减小，
又 ，且 为正整数，当 时， 取得最大值，最大值 ，此时 ．
当购进 种纪念品50件， 种纪念品150件时，获得的总利润最大，最大总利润为7500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系
式．
21．如图，在 中， ， ， ，过点 作 于点 ， 的平分线
交 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ， ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
【分析】（1）由勾股定理求出 ，再由 ，求出 ，即可得出答
案；
（2）由 证得 ，得出 ， ，则 ，设 ，则 ，
，再由勾股定理得 ，求出 ，即可得出结论．
【解答】（1）解：在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
是 的平分线，
，在 和 中，
，
，
， ，
，
设 ，
则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识，熟练
掌握勾股定理是解题的关键．
22．如图，四边形 中， ， ， 于 ， 于 ，连接 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若 ，求证：四边形 为菱形．
【分析】（1）根据全等三角形判定的“ ”定理证得 ，由全等三角形的性质即可证得结
论；
（2）先根据平行线的性质和判定证得 ，得到四边形 为平行四边形，再根据“一组临边相
等的平行四边形是菱形”即可证得平行四边形 为菱形．
【解答】证明：（1） ， ，，
在 中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2） ，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
又 ，
平行四边形 为菱形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理
是解决问题的关键．
23．如图，菱形 中， ， ，点 为 边上任意一点（不包括端点），连结 ，
过点 作 边 点 ，点 线段 上的一点．（1）若点 为菱形 对角线的交点， 为 的中位线，求 的值；
（2）当 的值最小时，请确定点 的位置，并求出 的最小值；
（3）当 的值最小，且 的值最小时，在备用图中作出此时点 ， 的位置，写作法
并写出 的最小值．
【分析】（1）由菱形的性质可得 ， 均为等边三角形，点 为 的中点，连接 ， ，
利用三角形中位线定理即可求解．
（2）由题可知 ， ， 为等边三角形，由菱形性质可知， 与 关于 对称，在
上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ， ，连接 ，交 于点 ，过点 垂直于
的直线交 于 ，交 于 ，可得 ，可得 ，则点 为
中点，利用含 的直角三角形可得 ， ，由三角形三边关系及垂线段最短可知
，当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号，即当
点 为 中点，点 关于 对称的点 与点 坐在直线垂直于 时， 有最小值 ．
（3）同（2）， 与 关于 对称，在 上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，连接
，交 于点 ，由（2）可得点 为 中点，作 关于 对称的线段 ，取点 的对应点 ，
连接 ，则 ，由对称可知： ，则 ，当 ，， ， 在同一条直线上时取等号，此时点 为 中点，可知 ， 为等边三角形，进而即
可求解．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形， ， ，
， ，
则 ， 均为等边三角形，
，
点 为菱形 对角线的交点，
点 为 的中点，
连接 ， ，
为 的中位线，
， 也为 的中位线，
则 ， ，
；
（2）由（1）可知 ， 均为等边三角形，
则 ， ，
，
，
为等边三角形，
，
，
由菱形性质可知， 与 关于 对称，在 上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，，连接 ，交 于点 ，过点 作垂直于 的直线交 于 ，交 于 ，
，
，
又 ，
，
，
点 为 中点，
， ，
，
，
由勾股定理得， ， ，
，
，
，
当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号，
即当点 与点 重合（点 为 中点）， 与 重合时取等号，
综上，当点 为 中点，点 关于 对称的点 与点 坐在直线垂直于 时， 有最小值
．（3）同（2）， 与 关于 对称，在 上，取点 对应点 ，连接 ，则 ，连接
交 于点 ，由（2）可得点 为 中点，
作 关于 对称的线段 ，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，
为等边三角形，
，
由对称可知： ，
则 ，当 ， ， ， 在同一条直线上时取等号，此时点 为
中点，
，则 ，
过点 （点 ，且 ，
可知 ， 为等边三角形，
， ， ，
即 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
此时 ，
作图，如下：作法：取 的中点为 ，作 交 于 ；
综上， 的最小值为6．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含 的直角三角形，
轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解
决问题的关键．
24．定义：如图，只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．
（1）如图1，点 在直线 上且横坐标是4，点 ，点 ，连接 ， ；
判断：四边形 是 损矩形（填“是”或“不是” ；
（2）如图2，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 是直线 上位于第一象限的一个动点，
四边形 是“损矩形”，请确定： 与 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若 ， ，
①在直线 上找一个点 ，使得四边形 为损矩形，求点 的坐标；
②在①的条件上，若 点也在直线 上且 ，请直接写出 的坐标．【分析】解：（1）连接 ，求出 ，可得 ， ， ，故 ，
可得 ，从而四边形 是损矩形；
（2）过 作 轴于 ， 轴于 ，由 在直线 上，可得 ，四边形 是
正 方 形 ； ， 怎 么 ， 知 ， 故
，即可得 ；
（3）①设 ，由 ，得 ，可解得 ；
② 过 作 轴 于 ， 作 轴 于 ， 设 ， 根 据 ， 得
，即可解得 ， ．
【解答】解：（1）连接 ，如图：
点 在直线 上且横坐标是4，
，
点 ，点 ，
， ， ，，
，
， ， ，
四边形 是损矩形，
故答案为：是；
（2） ；理由如下：
过 作 轴于 ， 轴于 ，如图：
在直线 上，
，
，
，四边形 是正方形；
，
四边形 是“损矩形”，
，
，
，
，
，
，
，
，；
（3）①如图：
设 ，
四边形 为损矩形， ，
，
，
， ，
，
解得 （此时 与 重合，舍去）或 ，
；
②过 作 轴于 ，作 轴于 ，如图：设 ，
由①知 ，
， ，
， ，
，
，
解得 ，
， ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，三角形与四边形的面积等知识，解题的关键是理解
新定义，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
