文档内容
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标：1. 了解求根公式的推导过程.
2. 掌握用公式法解一元二次方程.
3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点：掌握用公式法解一元二次方程.
难点：了解求根公式的推导过程.
自主学习
一、知识链接
如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，
能否也用配方法得出它的解呢？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得x2+ x= ，
配方，得x2+ x+( )2=( )2 ，
即(x+ )2= ①.
问题 对于方程①接下来能直接开平方解吗？
探究点2：一元二次方程根的判别式我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，
即Δ= b2－4ac.
判别式的情况 根的情况
练一练 按要求完成下列表格.
Δ的值
根的情况
典例精析
例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
例2 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1) 3x2+4x－3=0； (2) 4x2=12x－9； (3) 7y=5(y2+1).
方法归纳：判断一元二次方程根的情况的方法：
例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是( )
A. q≤4 B. q≤4 C. q<16 D. q>16
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k >－1 B. k>－1且k≠0 C. k<1 D.k<1且k≠0
归纳：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”
求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥－1 B.k≥－1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
探究点3：用公式法解方程
由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
注意：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b2－4ac≥0时,
才可以用求根公式.
典例精析
例4 用公式法解下列方程：
(1) x2－4x－7=0； (2) 2x2－ +1=0；
(2) 5x2－3x=x+1； (4) x2+17=8x.
要点归纳：公式法解方程的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根.
三、课堂小结
公式法 内容
根的判别式 Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
步骤 三求（b2－4ac值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：
Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根
Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根
Δ=b2－4ac＜0 没有实数根
当堂检测
1.不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x－4=0； (2) x2－x+ =0； (3) x2－x+1=0.
2.解方程：x2 +7x–18 = 0.
3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.
4.解方程：2x2－ x + 3 = 0.
5.（1）关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 ；
（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.
6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.
能力提升
在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两
个相等的实数根，求△ABC 的周长.
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：方程整理得 配方，得 . 开平方，得 ，∴
.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
合作探究
问题： 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
练一练 从左到右，从上往下依次为0， ，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两
个不等的实数根典例精析
例1 B 解析：原方程变形为x2+ x－1=0，a=1，b=1，c=－1，
∵Δ=b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不等的实数根，故选B.
例2 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴Δ=b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，a = 4，b = −12，c = 9，∴Δ=b2－4ac=(－12)2－
4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
方程整理为一般形式ax2+bx+c=0 Δ=b2－4ac >0，有两个不等的实数根
Δ=b2－4ac = 0，有两个相等的实数根
Δ=b2－4ac＜0，没有实数根
例3 C 解析：方程有两个不等的实数根，由根的判别式知，则Δ=b2－4ac>0，
即82－4q >0. 解得q＜16，故选C.
【变式题】B 解析：方程有两个不等的实数根，则Δ=b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次
项系数不为0，即k≠0.可得k>－1且k≠0，故选B.
【变式题】A 思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.
探究点3：用公式法解方程
例4 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不等
的实数根 即 .
(2)a=2，b= ，c=1，Δ=b2－4ac=( )2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即
.
(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方
程有两个不等的实数根 即 .
(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无
实数根.
当堂检测
1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，Δ=b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不等的实数根.
(2)a=1，b=－1，c= ，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1× =0.方程有两个相等的实数根.
(3)a=1，b=－1，c=1，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.
2.解：这里a=1，b=7，c=－18，Δ=b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.
∴ .3.解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，
c=8，Δ=b2－4ac=(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.
4.这里a=2，b= ，c=3，Δ=b2－4ac=( )2－4×2×3=3＞0.
∴ .
5.(1)m≤1.
(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得
且m≠1.
6.解： ，∵ ，∴ ，即 ∴方程
有两个实数根.
能力提升
解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(b+2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0. 解得b=－10（舍去），b=2.
1 2
由三角形的三边关系，得 c = 5，∴△ABC 的三边长为2，5，5，其周长为2+5+5=12.
