文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为 ，且经过点 ．下列说法：①
；② ；③ ；④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
⑤ （其中 ）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与 轴的交点位于 轴正半轴 ，再根据对称轴可得 ，由此
可判断结论①；将点 代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，
由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解： 抛物线的开口向下，与 轴的交点位于 轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为 ，
，
，则结论①正确；
将点 代入二次函数的解析式得： ，则结论③错误；
将 代入得： ，则结论②正确；
抛物线的对称轴为 ，
和 时的函数值相等，即都为 ，
又 当 时， 随 的增大而减小，且 ，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
，，
即 ，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点 、点 ．下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
把A、B两个点的坐标分别代入 中，求得b=-2a及c=-3a，由图象知a<0，从而可分别对前
3个结论作出判断；根据抛物线在顶点处取得最大值，从而可对最后一个结论作出判断．
【详解】
∵抛物线 分别过点A、B
∴解得：
由图象知：a<0
∴b>0，c>0
∴abc<0
故①错误
b-2a=-2a-2a=-4a>0，
故②③均正确
∵ ，且a<0
∴当x=1时，函数取得最大值，且最大值为a+b+c=-4a
对于任意x=n，当n≠1时，则必有
即
故④正确
所以正确的结论有②③④
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向、最值、二次函数图
象上点的坐标特征，关键是根据抛物线过点A、B得到b、c关于a的表达式，本题涉及到数形结合思想．
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，它的
对称轴为直线 ．则下列选项中① ；② ；③ ；④ ：⑤当
（ 为实数）时， ，其中正确的有（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得
到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-
b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当
x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-
n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确．
【详解】
解：①由图象与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x=-1，所以- =-1，所以b=2a，
∵
∴
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故②错误；
③∵- =-1，
∴b=2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，
∴c-a＜0，故③错误；
④当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；⑤当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确，
∴正确的结论有：④⑤，共2个
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关
键．
4．已知二次函数 （ 、 是常数， ）的图象经过点 和 ，且当
时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出二次函数的解析式，确定函数取得最大值时， 的值；再解出函数值为 时， 的值，即可得出答案．
【详解】
解 二次函数 （ 、 是常数， ）的图象经过点 和 ，
，
解得： ，
，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，
当 时， ；时， ，
解得： ，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是：理解题意，求出函数的解析式，利用函数的对称性、开口方向，研
究最值．
5．将二次函数 位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴
上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据题意作出图形，最大值为新函数 时的函数值，最小值为0．
【详解】
如图，根据题意：
位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折后的图像为：
的图像
则新函数的最大值为 时的函数值
最小值为0．函数最大值与最小值之差为：
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，对称，注意函数图像的取值范围，数形结合是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＞0 B．b2-4ac＜0 C．a+b+c＞0 D．点A的坐标为（﹣2，0）
【答案】D
【分析】
抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧（左同右异），可得到a，b的取值范围，可对A作出判断；抛物
线与x轴有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可对B作出判断；抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过
点（0，0），可确定a+b+c的取值范围，可对C作出判断；利用二次函数的对称性，可得到点A的坐标，
可对D作出判断．
【详解】
解：A、∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0， ，
∴b＜0，故A不符合题意；B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴ b2-4ac＞0 ，故B不符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴当x=1时y＜0即a+b+c＜0，故C不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴点A和点O关于对称轴对称，
∴点A（-2，0），故D符合题意；
故答案为：D．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综
合应用．
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三
个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
【答案】C
【分析】
根据题意，分 、 、 三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得
到答案．
【详解】
∵点 ，
当 时，则 ，整理得 ，∵ ，
∴有两个不相等的值，
∴点 的个数为2；
当 时，则 ，整理得 ，
∵ ，
∴ 有两个相同的值，
∴点 的个数为1；
当 时，则 ，整理得 ，
∵ ，
∴点 的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性
质，从而完成求解．
8．二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ，② ，③
，④ ，正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称
性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从
而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即 ，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系
数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b
异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线
与y轴交于（0，c）．9．在“探索函数 的系数 ， ， 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四
个点： ， ， ， ，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，
发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过 ， ， ， 中的三个点的二次函数解
析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
分别代入 ， ， 得解得 ；
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
分别代入 ， ， 得
解得 ；
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：
分别代入 ， ， 得
解得 ；
设过三个点 ， ， 的抛物线解析式为：分别代入 ， ， 得
解得 ；
最大为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．二次函数 的图像如图所示，点 在 轴的正半轴上，且 ，设
，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
由图像可得 ， ，当 ， ，并与 轴交于 之间，得 ，据悉可得
，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与 轴相交于正半轴，
∴ ， ，
当 ， ，
∵ ，并由图像可得，二次函数 与 轴交于 之间，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 ，则此三角形面积的
最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由已知可得a+b=6， ，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】
∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设 ，当 取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时， 取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x轴的另一个交点
为B，点C为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC
是等腰三角形时，a＝ ．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可．
【详解】
由函数图象可知， ， ， ，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（-1，0）、B关于对称轴对称，
∴B的坐标为（3，0），
∴当 时，函数值 ，
即：4a＋2b＋c＞0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
由A点坐标可得： ，
将 代入可得： ，
∴ ，
即： ，故④正确；
由题意，A、B是关于对称轴对称的，C为顶点，
∴△ABC始终为等腰三角形，无论 取何值，也不会影响 ABC是等腰三角形的结论，
△
∴△ABC为等腰三角形时，不一定只能推出 ，也可能是其他结果，故⑤错误；
∴正确的有：①②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，能够准确根据图像信息分析出基本式子的结果，并灵活变形是解题
关键．13．已知二次函数 的图象经过第一象限的点 ，则一次函数 的图
象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据直角坐标系和象限的性质，得 ；根据二次函数的性质，得 ，从而得
，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵点 在第一象限
∴
∴
∵二次函数 的图象经过第一象限的点
∴
∴
∴
当 时， ，即 和y轴交点为：
当 时， ，即 和x轴交点为：
∵ ，
∴一次函数 的图象不经过第三象限
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．
14．设 ， 分别是函数 ， 图象上的点，当 时，总有 恒成
立，则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”．则下列结论：
①函数 ， 在 上是“逼近函数”；
②函数 ， 在 上是“逼近函数”；
③ 是函数 ， 的“逼近区间”；
④ 是函数 ， 的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
分别求出 的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出 的范围，逐一判断各个选项，即
可求解．
【详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴函数 ， 在 上不是“逼近函数”；
②∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
函数 ， 在 上是“逼近函数”；
③∵ ， ，∴ ，当 时， ，
∴ 是函数 ， 的“逼近区间”；
④∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ 不是函数 ， 的“逼近区间”．
故选A
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
15．一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，
由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题
的关键．
16．二次函数 的图象过 四个点，下列说
法一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】
求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小
关系，从而可以求解．
【详解】
解： 二次函数 的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，，
A，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若 ，所以 ，则 一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各
点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
17．若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1，即可得到− ≥−1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣ ≥﹣1，∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是
解题的关键．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（
）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个分析判断即可．【详解】
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线 ，故①正确；
令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x=-1，x=3，
1 2
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x=1，
∴当-1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜-1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于
顶点纵坐标的函数值，
故当x=1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＜0，
∴点（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（-2，y）与（4，y）是对称点，
1 1
当x＞1时，函数y随x增大而减小，
故A选项不符合题意；
把点（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，
①×3+②得：12a+4c=0，
∴3a+c=0，
故B选项不符合题意；
当y=-2时，y=ax2+bx+c=-2，
由图象得：纵坐标为-2的点有2个，
∴方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根，
故C选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x=1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小；
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知
△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分
为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2
【答案】C
【分析】
先根据抛物线的解析式可得点 的坐标，从而可得 长，再利用三角形的面积公式可得 的长，从
而可得点 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象
的平移规律、增减性求解即可得．
【详解】
解：对于抛物线 ，
当 时， ，解得 或 ，
则 ，
的面积为3，
，即 ，解得 ，
，
将点 代入抛物线解析式得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，将抛物线向左平移 个单位所得抛物线为 ，
当 时， 随 的增大而增大，
设直线 的函数解析式 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的函数解析式 ，
当直线 与 没有公共点时，则只需 时，直线 的函数值大于抛物线
的函数值，
即 ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
21．已知二次函数 ，其中 ，当 时，y的最大值与最小值的差为16，则
m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据题意和二次函数的性质，可以求得m的值．【详解】
解：∵二次函数 ，
∴该函数图象开口向下，
∵
∴当x＝1时，y取得最大值= ，当x＝3时，y取得最小值= ，
∵y的最大值与最小值的差为16
∴
解得： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．已知函数 ，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或
【答案】D
【分析】
先求得其对称轴为x＝ a，再分 a＜0、0≤ a≤1和 a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，
由最大值为2，可求得a的值．
【详解】
∵ ，
∴其对称轴为x＝ a，开口向下，
当 a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，
∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣ a+ ＝2，解得a＝﹣6＜0，符合题意；
当0≤ a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣ a2+ a2﹣ a+ ＝2，
∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；
当 a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣ a+ ＝2，
∴a＝ ，
综上可知a的值为﹣6或 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.
23．已知抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点， ， 是关于x的一元二次方程
的两根，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
先把 整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x+x= +2，再
1 2
根据对称轴公式求出 代入即可．
【详解】
解：抛物线 经过点A（1，0），B（5，0）两点，∵ ， 是关于x的一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴x+x= +2，
1 2
∵抛物线 经过点 、 两点，
∴ ，
∴ =6，
∴x+x=6+2=8．
1 2
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
24．如图，正三角形 和正三角形 的边 ， 在同一条直线上，将 向右平移，直到
点 与点 重合为止，设点 平移的距离为 ， ， ．两个三角形重合部分的面积为 ，现
有一个正方形 的面积为 ，已知 ，则S关于 的函数图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】
分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
①当0≤x≤2时，则两个三角形重合部分为边长x的正三角形，则： ，
故 ，为二次函数，图象开口向上，
当x=2时，S=2；
②当2＜x＜4时，两个三角形重合部分为边长为2的正三角形，故S=2；
③当4≤x≤6时，同理可得： ，图象开口向上，当x=4时，S=2；
当x=6时，S=0；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．
25．如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线
，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式 ， 判断 的大小关系
③根据 时， ，比较 与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可
判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知 ，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
② 得
故②错误；
③ 经过
又由①得c<0故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等
当 时 ，即
即
经过 ，即经过
故④正确；
⑤当 时, , 当 时,
函数有最小值
化简得 ，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出
结论是解题的关键．
26．已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平
移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（ ）
A． 或2 B． C．2 D．【答案】B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数 向右平移3个单位，得： ；
再向上平移1个单位，得： +1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴ +1即
解得： 或
∵抛物线 的对称轴在 轴右侧
∴ ＞0
∴ ＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
27．已知二次函数 ，当 时， ，则m的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得该函数的开口方向为向上，对称轴为x=1，且当x=1
时，该函数取得最小值2-a．又由当y＝2时，x＝2或x＝0，结合题意即可求出m的取值范围．
【详解】解：二次函数 ，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x=1时，该函数取得最小值-a+2，
∵当 时， ，且当y＝2时，x＝2或x＝0，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
28．二次函数 的图象如图所示，对称轴为 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象与性质得到 的符号，再逐一进行判断．
【详解】
解：由图知，二次函数的图象开口向上，即 ，
与 轴交于正半轴，即 ，
对称轴同号，即
，故A正确；
由图知，当 时， ，
，故B正确；
由图知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，
即 ，故C正确；
无法判断 ，故D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．如图是二次函数 在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点来判断a、b、c的符号，进而判断各结论
是否正确．
【详解】
解：根据二次函数的图象知：抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
由图知：当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故②正确；
∵对称轴- ，开口向上， ，
∴ ，
所以2a-b＞0，故③错误；
∵由于抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac，
∵a＞0，∴4a＞0，
由图知， 时， ，
∴ ，
∴b2＞4a +4ac，
∴b2-4a＞4ac，故④正确；
所以正确的结论为②④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会
利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根据图象判断其值．
30．已知抛物线 ，当 时，y的最大值为2，则当 时，y的最
小值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的解析式可得其对称轴为直线x=1，从而当x=1时，y有最大值2，此时可求得a的值，再根据
抛物线的增减的性质求得y在所给范围内的最小值．
【详解】∵ ，即抛物线的对称轴为直线x=1
∴当x=1时，y有最大值，且1在 范围内
∴a-2a+1=2
解得：a=-1
即
当 时，函数值y随x的增大而增大，此时函数在x=-1处取得最小值，且最小值为
当 时，函数值y随x的增大而减小，此时函数在x=2处取得最小值，且最小值为
∵-2<1
∴当 时，y的最小值为−2
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性质、求函数解析式，关键是确定抛物线的对称轴，根据对称轴的位置便可确
定函数的增减的范围，解答函数在某个自变量的范围的最值问题时，最好借助图象，利用数形结合的思想
能帮助解决问题．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为 ，点 的坐标为 ，连接 ：过A 作 ，分别交y轴、
1
抛物线于点 、 ：过 作 ，分别交y轴、抛物线于点 、 ；过 作 ，分
别交y轴、抛物线于点 、 …：按照如此规律进行下去，则点 （n为正整数）的坐标是_________．【答案】
【分析】
根据待定系数法分别求出直线 、 、 、 ……的解析式，即可求得 、P、P……的坐标，
2 3
得出规律，从而求得点P 的坐标．
n
【详解】
解：∵点 的坐标为 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，∴ ，解得 ，
所以直线 的解析式为 ，
解 ，求得 ，
∵ ，
设 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解 求得 ，
设 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．．．
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函
数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．32．如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一
点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正
方形时，线段CD的长为_________．
【答案】
【分析】
点 代入抛物线中求出解析式为 ，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入 中
即可求解．
【详解】
解：将点 代入抛物线 中，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
设CD、EF分别与 轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线 中，
得到： ，
解得 ， (负值舍去)，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及
性质是解决本题的关键．
33．如图为二次函数 的图象，则下列说法：① ；② ；③
；④当 时， ．其中正确的是________（填写序号）．【答案】②③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0
的关系，根据图象判断-1＜x＜3时，y的符号．
【详解】
解：①图象开口向下，能得到a＜0，①错误；
②对称轴在y轴右侧，x= =1，则有- =1，即2a+b=0，②正确；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0，③正确；
④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程
之间的转换，根的判别式的熟练运用．
34．如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点A，对称轴为直线 ，下面结论：
① ；② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题
的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
35．如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ，对称轴为直线 ，与轴的交点 在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当 时， ；② ；
③对于任意实数 ， 始终成立；④ ，其中正确的结论的序号是
________．
【答案】①②③④
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，利用函数图象得到在 轴上方所对应的
自变量的范围，从而可对①进行判断；利用 ， ， 得到 ， ，而
，所以 ，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函
数的最大值为 ，则 ，于是可对③进行判断；利用 ，
可对④进行判断．
【详解】
解： 抛物线与 轴交于 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线开口向下，
当 ， ，所以①正确；
抛物线与 轴交于 ，对称轴为直线 ，， ，
， ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ，
而抛物线与 轴的交点 在 和 之间（不包括这两个点），
，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
二次函数的最大值为 ，
，所以③正确；
， ，
，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定抛物线
的开口方向和大小．当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项
系数 共同决定对称轴的位置．当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左； 当 与 异号时（即
，对称轴在 轴右．常数项 决定抛物线与 轴交点位置：抛物线与 轴交于 ．抛物线与 轴
交点个数由△决定：△ 时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△ 时，抛物线与 轴没有交点．
三、解答题
36．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 和点 （点 在点 的右边），
且 ．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边形 的
周长的最小值；
（3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5两部分，求点
的坐标．
【答案】（1） ，顶点坐标为（1，4）； （2）四边形 的周长的最小值为
；（3）点 的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【分析】
（1）根据待定系数法求得a、b、c的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标．
（2）把 向下移1个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于
点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小，根据
勾股定理即可得出．
（3）分 或 两种情况讨论即可．【详解】
解：（1）∵点 ， ，
∴ ,
把 、 、 三点坐标代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把 向下移1个单位得点 ，再作 关于抛物线的对称轴的对称点 ，连接 ，与对称轴交于
点 ，再在对称轴上 点上方取点 ，使得 ，连接 ，此时四边形 的周长最小，
则 ,
∵ ,
∴ ,
∵对称轴是直线 ，∴ ,
∵ ,
∴ ,
,
∴四边形 的周长的最小值为 ；
（3）如图，设直线 交 轴于点 ，
直线 把四边形 的面积分为3：5两部分，
又∵ ，
则 或5:3，
则 或1.5，
即点 的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），将点 的坐标代入直线 的表达式： ，
解得： 或－2，
故直线 的表达式为： 或 ，
联立方程组
解得： （不合题意值已舍去），
解 ，
解得： 8（不合题意值已舍去），
故点 的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定
理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键
37．二次函数 ．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点 作直线 轴，当直线 与抛物线只有一个公共点时，求 关于 的函数表达式；
（3）若对于每一个 值，它所对应的函数值都不小于1，求整数 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴方程即可求解；
（2）由题意知直线 经过顶点时，直线 与抛物线只有一个交点，据此可得；
（3）根据题意可知抛物线开口向下，且顶点的纵坐标不小于1，依此得到不等式组，解之即可．
【详解】
解：（1）∵∴二次函数的对称轴为直线
（2）由题意知直线 的解析式为
∵直线 与抛物线只有一个公共交点
∴
（3）∵拋物线 的顶点坐标为
由题意可知
解得
∴整数m的值为1
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征及解不等式组的能力，理解题意得出对应方程
或不等式组是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于 两点，点 在 轴上，点 在 轴上，
点的坐标为 ，抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式 的解集；
（3）点 是抛物线上的一动点，过点 作直线 的垂线段，垂足为 点,当 时，求P点的坐
标．【答案】（1） ；（2） ；（3） 坐标有 或 或
【分析】
(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；
(2)将不等式 变形为 ,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方
即可求解；
(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出 ，再分类讨论P点在直线AB上方或下方
进而求解．
【详解】
解：(1)当 时， ，解得 ，
当 时， ，
则点 ，点 ，
把 ， ， ，分别代入 得
解得： ， ， ，
∴该抛物线的解析式为 ．
(2)由不等式 ，
得 ，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式 的解集为 ；(3)如图，作 轴于点 ，交 于点 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则点 ，
当点 在直线 上方时，
，
即 ，解得 ，
则 ，
∴ 点的坐标为： ．
当点 在直线 下方时，，
即 解得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
综上所述，符合条件的点 坐标有 或 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要
分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得
到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程 的解为：__________；
③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是__________．
（2）延伸思考：将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出平移过程，
并直接写出当 时，自变量 的取值范围．
【答案】（1）①关于y轴对称；② ；③ ；（2）将函数 的
图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数 的图象，当
时，自变量 的取值范围为 或 ．
【分析】
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直
线y=-1与函数 的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数
的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
【详解】
解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1与函数 的图象交点问题，如图所示：∴方程 的解为 ；
故答案为 ；
③由题意可看作直线y=a与函数 的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ；
故答案为 ；（2）由题意得：将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到
函数 的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当 时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
40．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的
对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)， 的周长最小值为 ；(3) Q点坐标
存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )
【分析】
(1)将 ， 代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，
△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论
即可求解．
【详解】
解：(1)将 ， 代入二次函数表达式中，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为： ；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时， 有最小值为 ，
此时 的周长也最小，
设直线AC的解析式为： ，代入 ，
∴ ，解得 ，
∴直线AC的解析式为： ，
二次函数的对称轴为 ，代入 ，得到 ，
∴P点坐标为(1,2)，
此时 的周长最小值= ；
(3) 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，由菱形对角线互相垂直知： ，
∴ ，解得 ，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(4， )或(4， )；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有： ，解得 或 ，
∴P点坐标为(1， )或(1， )，对应的Q点坐标为(-2， )或(-2， )；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4， )或(4， )或( ， )或( ， )．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第
三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过
程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．﹣
x … ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 …
3
﹣
y … 7 5 3 ﹣1 3 …
1
（1）如表是y与x的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并
写出该函数的一条性质： ；
（3）如图，在平面直角坐标系中作出了函数y＝﹣x＋2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（结果保留1位小数，误差不超0.2）
【答案】（1） ， ；
（2）见解析；当 时，函数取值最小值
或当 ， 时，函数 随 的增大而减小，
当 时，函数 随 的增大而增大；（3） 或
【分析】
（1）表格中找2组值代入解析式，待定系数法求解即可；
（2）描点、连线，根据函数图像，写出一条性质即可；
（3）通过图像求得交点坐标，根据不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0，结合图像写出解集．
【详解】
（1）把 ，
代入 得：
解得
， ；
（2）描点、连线，如图：
性质：①当 时，函数取值最小值 ；②当 时，函数 随 的增大而减小，
当 时，函数 随 的增大而增大．
（3）设 ＝﹣x＋2和 ＝ x|x＋2|＋x2﹣1
由（2）的图象可知,x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0
即：当 的解集
根据图像，它们有两个交点,其横坐标一个在-3,另一个在0与1之间,分别约为-3和0.7(可将单位长十等分,确
定其近似值).
或 时 ．
不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集为 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的画法，二次函数图像的性质，二次函数与一
次函数结合的相关问题，正确的理解题意，按要求作出图形是解题的关键．
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4时，y＜5，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）0＜a＜ 或－5＜a＜0
【分析】
（1）由 恒成立得到结论；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标和对称轴，然后在1≤x≤4范围内分a＞0与a＜0两种情况确定函数的最
大值，从而得到结果.
【详解】
（1）证明： ∵a≠0
∴∴无论a为何值，该函数图像与x轴总有两个交点；
（2）∵令ax2－4ax＋3a=0，解得： ， ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
抛物线的对称轴为直线 ，
①当a＞0时，
∵1≤x≤4，
∴当x=4时， ，
∴0＜a＜ ，
②当a＜0时，
∵1≤x≤4，对称轴为直线x=2，
∴抛物线在顶点处取得最大值， ，
∴－5＜a＜0
∴a的取值范围：0＜a＜ 或－5＜a＜0.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x在某一范围时函数值的最大值的确定.
43．如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于点 和点 ，与y
轴交于点C．（1）求 的值；
（2）点 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 于点Q．
①当 时，求当P点到直线 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
出m的值．
【答案】（1）b= ，c= ；（2）① ；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴b= ，c= ；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 ，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0 的解集为 或 ；（3）点M的横
坐标 的取值范围是： 或 ．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得 和 的值；
（2）解方程 求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】
解：（1）∵点A(2，0)同时在 与 上，
∴ ， ，解得： ， ；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 ，直线的解析式为 ，
解方程 ，得： ．
∴点B的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当 或 时，抛物线在直线的上方，
∴不等式 > 的解集为 或 ；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A、B，
1 1
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A (-1，0)，点B (-4，3)，
1 1
∴A A BB 3，且A A∥BB，即MN为A A、BB 相互平行的线段，
1 1 1 1 1 1
对于抛物线 ，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线 只有一个公共点，
此时 ，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线 也只有一个公共点，
此时点M 的纵坐标为-1，则 ，解得 ，
1
综上，点M的横坐标 的取值范围是： 或 ．
．【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
45．在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，且 ，则m的取值范围是 ；（直接写出结
果即可）
（3）当 时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为 ；(2) ；(3) 或
【分析】
(1)将抛物线解析式化成 的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将 ， 代入抛物线中求得 和 的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最
小值，进而求出m的值．
【详解】
解：(1)由题意可知：
抛物线 ，
∴顶点A的坐标为 ；
(2)将 代入 中，
得到 ，
将 代入 中，
得到 ，由已知条件知： ，
∴ ，
整理得到： ，
解得： ，
故m的取值范围是： ；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为 ，
分类讨论：
①当 ，即 时，
时二次函数取得最小值为 ，
又已知二次函数最小值为6，
∴ ，解得 或 ，
又 ，故 符合题意；
②当 ，即 时，
时二次函数取得最小值为 ，
又已知二次函数最小值为6，
∴ ，解得 或 ，
又 ，故 或 都不符合题意；
③当 ，即 时，
时二次函数取得最小值为 ，又已知二次函数最小值为6，
∴ ，解得 或 ，
又 ，故 符合题意；
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练
掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
46．在平面直角坐标系xoy中，抛物线 ，顶点为P，直线 与抛物线交于
点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当 时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．
【答案】（1）P（1，1-a）；（2）①（1，1）；②0＜a＜ 或a＜0
【分析】
（1）直接根据抛物线的顶点坐标可得；
（2）①根据a值得到抛物线和直线的表达式，联立，求出A，B，P的坐标，可得整点坐标；
②联立抛物线和直线表达式，用a表示出A，B，P的坐标，根据只有一个整点得到（2，2）在y=ax+1上方，或（3，1）在 上方，得到不等式，解之可得a的范围．
【详解】
解：（1） = ，
∴当x=1时，y=1-a，
即P（1，1-a）；
（2）①当 时，
抛物线 ，直线 ，
联立得： ，解得： 或 ，
∴A（0，1），B（3，0），P（1， ），
∴整点坐标只有（1，1）；
②当a＞0时，
，解得 或 ，
∴P（1，1-a），A（0，1），B（3，3a+1），
∵只有一个整点，
∴（2，2）在y=ax+1上方，
∴2＞2a+1，解得：a＜ ，
∴0＜a＜ ；
若（3，1）在 上方，∴ ，
解得：a＜0，
综上：a的范围是0＜a＜ 或a＜0．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序
逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．
47．已知二次函数 （其中m为常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点．
（3）当 时，该函数有最大值3，求m的值．
【答案】（1）直线x=-1；（2）见解析；（3）-2或3
【分析】
（1）令m=0，根据对称轴的公式直接计算即可；
（2）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（3）抛物线的对称轴为直线x=m-1，讨论：当m-1＜-2时，当-2≤m-1≤1时，当m-1＞1时，根据二次函数
的增减性，得到关于m的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）当m=0时，
，
则对称轴为直线x= =-1；
（2）在 中，
令y=0，则 ，
，∴不论m为何值，该函数的图象与x轴一定有两个公共点；
（3） ，
∴对称轴为直线x=m-1，
当m-1＜-2时，y随x增大而减小，故当x=-2时，y有最大值3，
则 ，
解得：m=-2或m=0（舍）；
当-2≤m-1≤1时，当x=m-1时，y有最大值3，
则 ，
此时方程无解；
当m-1＞1时，y随x增大而增大，故当x=1时，y有最大值3，
则 ，
解得：m=3或m=1（舍）；
综上：m的值为-2或3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程的根的判别式．也考查了二次函数的最值．
48．已知关于 的一元二次方程 （ 为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程 的根，则 _____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于 的方程 的根，求 的值；
（3）若它的一个实数根是关于 的方程 的根，求 的最小值．
【答案】（1）1， ；（2） ， ；（3）当 时， 有最小值为-2．
【分析】
(1)求方程2(x-1)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，确定m的值；解（x-1）(x-2)=m+1，得到另一个根；
（2）求方程2(x-m)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，确定m的值；
（3）求方程 的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，用含n的代数式表示m，构造m+n与n的二次函数，利用二次函数的性质确定最值.
【详解】
（1）∵2(x-1)-4=0，
∴x=3，
∴（3-1）(3-2)=m+1，
解得m=1，
∴（x-1）(x-2)=2，
∴ -3x=0，
∴ ，
故答案为：1， ．
（2）由 ，得
．
则
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
（3）由 ，得
．
则 ．
即 ．
∴ ；
∴当 时， 有最小值-2．【点睛】
本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解
题的关键．
49．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为
， ，点M是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作 轴于点D，交抛物线于点E，
求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB上存在点P，使得 为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）最大值为1，E ；（3） 或
【分析】
（1）将B、C坐标滴入抛物线的解析式求解b、c即可；
（2）先求出顶点M坐标，再利用待定系数法求得直线BM的表达式，用m表示点P、E坐标，由
和二次函数求最值方法求解即可；
（3）根据题意可得 不可能为 ，分（i）当 时；（ii）当 时进行求解
即可．
【详解】
解：（1）将点 ， 分别代入抛物线 中，得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，∴ ，
设直线BM的解析式为 ，
把点 ， 分别代入，
得 ，解得 ，
∴直线BM的解析式为 ．
∵点P的横坐标为m，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时，PE有最大值，最大值为1，
此时点E的坐标为 ；
（3）点P的坐标为 或 ，
根据题意可得 不可能为 ；
（i）当 时，则 ，即 ，
解得 ，此时点P的坐标为 ；
（ii）当 时，则 ，即
整理得： ，
解得： （舍去）或 ，
当 时， ，
此时点P的坐标为 ，
综上，满足题意的点P的坐标为 或 ．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、坐标与图形、两点间的
距离公式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，
会运用分类讨论和数形结合法等数学思想解决数学问题．
50．如图，二次函数 的图象与x轴交于O，A两点．
（1）求点A的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q在抛物线上且 ．当 时， ．求m的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】
（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；
（2）把 分别代入二次函数 中，由 得到，再结合图象知 ，整理得 ，结合已知条件 ，
代入解题即可．
【详解】
解：（1）二次函数图象的对称轴为：
二次函数 的图象与x轴交于O，A两点，
由对称性可知 ；
（2）把 分别代入二次函数 中得，
整理得，
由抛物线开口向下得．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌
握相关知识是解题关键．
51．在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，
结合函数的图象，求a的取值范围．
备用图
【答案】（1） ，（0，－3a）；（2） ，或a=－1
【分析】
（1）运用公式x=- 求出对称轴，令x=0，得y=-3a，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）分三种情况：①当a＞0时，②当a＜0时，抛物线的顶点在线段BC上，③当a＜0时，若抛物线的顶
点不在线段BC上，分别进行讨论即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax-3a，
∴x=− ，∴抛物线的对称轴是直线x=1，
令x=0，y=-3a，
∴抛物线与y轴交点坐标为E（0，-3a）；
（2）y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3)，
∴抛物线与x轴交于点A（-1，0），D（3，0），与y轴交于点E（0，-3a），顶点坐标是（1，-4a）．
由题意得点C（0，4），又B（3，4），
①当a＞0时，如图1，显然抛物线与线段BC无公共点；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段BC上，如图2，
则顶点坐标为（1，4），
∴-4a=4，
∴a=-1；
③当a＜0时，若抛物线的顶点不在线段BC上，如图3，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，得-3a＞4，
∴a＜− ，
综上，a的取值范围是a＜− ，或a=-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形
变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．
52．如图，二次函数 的图象与 轴分别交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ，且经过点 ．
（1）求 的值．（2）将点 向下平移 个单位至点 ，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．若
，求 的值．
【答案】（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】
（1）把两已知点的坐标代入 中，通过解方程组得到 、 的值；
（2）根据题意设 ， ， ， ，利用 得到 ，则 、 为方程
的两根，利用根与系数的关系得到 ， ，然后利用 可求
出 的值．
【详解】
解：（1）把 ， 代入 得 ，
解得 ；
（2）抛物线的解析式为 ，
点 向下平移 个单位至点 ，作 轴于点 ，
点 、 的纵坐标都为 ， 点的横坐标为3，
，
，即 ，
设 ， ， ， ，
、 为方程 的两根，
， ，，
， ，
，
．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
53．二次函数 的顶点 是直线 和直线 的交点．
（1）当 时， 的值均随 的增大而增大，求 的取值范围．
（2）若直线 与 交于点 ．
①当 时，二次函数的最小值为 ，求 的取值范围．
② 和 为二次函数上的两个点，当 时，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【分析】（1）通过 求得顶点 ，再根据二次函数的性质可知对称轴为直线 ，
进而即可求得 的取值范围；
（2）①将 代入 即可得到交点坐标及二次函数解析式为 ，再根据二次函
数的最小值问题即可求得 的取值范围；②由 可求得 ，再由 ，求得 或1，再根
据二次函数图像的性质可知当 时， 和 为二次函数上的两个点，即可求得 的取值
范围．
【详解】
（1） ，得
∴顶点
∴二次函数的对称轴为直线
∵当 时， 的值均随 的增大而增大
∴ ，解得
∴ 的取值范围为 ；（2）将 代入 ，解得
所以交点坐标为 , 二次函数解析式为
∴当 时，二次函数的最小值为
①根据题意知 ，所以 的取值范围为 ；
②由 令 得
当 时， 或1，
∵ 和 为二次函数上的两个点，且
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质，以及一次函数的交点求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是解
决本题的关键．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点
C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此
二次函数图象上，求m，n的值．
【答案】（1） ； ；（2）m=1；
【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到
，然后解方程组即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=（x-2）（x-4），
即y=x2-6x+8，
当x=0时，y=x2-6x+8=8，即C（0，8），
所以当x＜0时，y＞8；
（2）∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴ ，
解得 ，
即m的值为1，n的值为3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问
题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．55．如图1，抛物线 与 轴交于点 ， ，点 为抛物线顶点，连接 ，
， 与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求该抛物线解析式，并写出顶点 的坐标；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ，当 时，请直接写
出点 的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ，顶点 的坐标为 ；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）
存在， 或
【分析】
（1）①把点A（-1，0），C（3，0）代入抛物线 中，列方程组，解出即可求得结论；再
进行配方后可得顶点B的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得： ABC是等腰直角三角
形； △
（3）分两种情况讨论：①当点Q在x轴下方时，如图1，先确定CF的解析式，利用抛物线与直线CF的
解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当Q在x轴下方时，如图2，同理可得结论．【详解】
解：（1）把点 ， 代入抛物线 ，得
解得：
抛物线的解析式为 ．
顶点 的坐标为
（2） 的形状是等腰直角三角形．
理由： ， ，
， ，
，
的形状是等腰直角三角形．
（3）分两种情况：①当 在 轴的下方时，如图1，延长 ， 交于点 ，过 作 轴于 ，，且 ，
，
是等腰直角三角形，
，
．
设直线CF的解析式为：y=kx+n（k≠0），
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．，即
解得： ， ，
点 的横坐标为 ；
②当 在 轴的上方时，如图2，
， ，
由对称得： 经过点 ，
的解析式为 ，
，
解得： ，
点 的横坐标为 ．综上，点 的横坐标为 或 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，利用配方法求最大值，列方程可得交点坐标等知识，涉及知识点较多，
综合性强，有较大难度．
