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第 4 节 推理与证明
考试要求 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并
认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三
段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理
之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分
析法和综合法的思考过程和特点.5.了解反证法的思考过程的特点.
1.合情推理
类型 定义 特点
根据一类事物的部分对象具有某种性质，
归纳 由部分到整体、由个别到一
推出这类事物的全部对象都具有这种性质
推理 般
的推理
根据两类事物之间具有某些类似(一致)
类比
性，推测一类事物具有另一类事物类似(或 由特殊到特殊
推理
相同)的性质的推理
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理
称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
3.直接证明内容 综合法 分析法
从要证明的结论出发，逐步寻
利用已知条件和某些数学定 求使它成立的充分条件，直到
义、公理、定理等，经过一系 最后把要证明的结论归结为判
定义
列的推理论证，最后推导出所 定一个明显成立的条件(已知
要证明的结论成立 条件、定理、定义、公理等)
为止
实质 由因导果 执果索因
框图表示 →→…→ →→…→
因为……所以…… 要证……只需证……
文字语言
或由……得…… 即证……
4.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方
法.
(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过
正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明
方法.
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——
根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定
原命题的结论成立.
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其
正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机
械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，
就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后
推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.( )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)类比推理的结论不一定正确.
(3)应假设“a≤b”.
(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.
2.(易错题)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)
是奇函数，以上推理( )
A.结论正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.全不正确
答案 C
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.
3.(易错题)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一
个实根”时，要作的假设是( )
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.
4.在等差数列{a }中，若 a ＝0，则有 a ＋a ＋…＋a ＝a ＋a ＋…＋a (n＜
n 10 1 2 n 1 2 19－n
19，且n∈N*)成立.类比上述性质，在等比数列{b }中，若b ＝1，则存在的等式
n 9
为________.
答案 b b …b ＝b b …b (n＜17，且n∈N*)
1 2 n 1 2 17－n
解析 根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，
在等比数列中是积，故有b b …b ＝b b …b (n＜17，且n∈N*).
1 2 n 1 2 17－n
5.(2022·延边质检)有三张卡片，分别写有1和2、1和3、2和3，甲、乙、丙三
人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”；丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则下列说法中正确的是( )
A.甲的卡片上的数字是1和3B.甲的卡片上的数字是2和3
C.乙的卡片上的数字是1和3
D丙的卡片上的数字是1和3
答案 A
解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是
1和2，则乙的卡片上的数字是 2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是 1和3，则乙的卡片上的数字是 2和3，此时，甲的卡片
上的数字只能是1和2，不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.
6.(2021·南充联考)将正整数对做如下分组，第1组为{(1，2)，(2，1)}，第2组为
{(1，3)，(3，1)}，第3组为{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，第4组为{(1，
5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}，……，则第30组的第16个数对为________.
答案 (17，15)
解析 由题意可得第1组整数对的和为3，第2组整数对的和为4，第3组整数
对的和为5，第4组整数对的和为6，……，第n组整数对的和为n＋2，且各个
数对数字按顺序排列，可得第30组整数对的和为32，
则第30组的第16个数对为(17，15).
考点一 合情推理与演绎推理
角度1 归纳推理
例1 (2021·安徽六校测试)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共 12个顶点.
第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是(
)
A.(2n＋1)(2n＋2) B.3(2n＋2)
C.2n(5n＋1) D.(n＋2)(n＋3)
答案 D
解析 由已知中的图形可以得到：
当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，
当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，
当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……
由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
角度2 类比推理
例2 斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，
5，8，13，21，34，55，89，…，在数学上，斐波那契数列{a }定义为：a ＝
n 1
1，a ＝1，a ＝a ＋a ，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据 a
2 n＋2 n n＋1 n＋2
＝a ＋a 可得a ＝a －a ，所以a ＋a ＋…＋a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a
n n＋1 n n＋2 n＋1 1 2 n 3 2 4 3 n
－a )＝a －a ＝a －1，类比这一方法，可得a＋a＋…＋a＝( )
＋2 n＋1 n＋2 2 n＋2
A.714 B.1 870
C.4 895 D.4 896
答案 C
解析 将a ＝a －a 两边同乘a ，
n＋1 n＋2 n n＋1
可得a＝a a －a a ，
n＋2 n＋1 n＋1 n
则a＋a＋…＋a＝a＋(a a －a a )＋(a a －a a )＋…＋(a a －a a )
2 3 2 1 3 4 2 3 10 11 9 10
＝1－a a ＋a a ＝1－1＋55×89＝4 895.
2 1 10 11
角度3 演绎推理
例3 (2022·河南名校联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主
要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高
中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：
①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；
②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；
③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；
④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟.
根据上述调查结果，下列结论错误的是( )
A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟
D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
答案 D
解析 设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟
的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知A∩B＝∅，B C，D∩C＝∅，
∁U
D＝B，∴A D，B＝C，B∩D＝∅.选项A中，
B∩D＝∅，正确；选项B中，B＝C，正确；选项C中，A D，正确.
⊆ ⊆
感悟提升 1.归纳推理问题的常见类型及解题策略
⊆
(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号.
(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律.
(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法
验证其真伪性.
2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列
类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类
比；圆锥曲线间的类比等.
3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，
应当首先明确什么是大前提和小前提.
训练1 (1)中国有句名言“运算帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意
是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来
进行运算.算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位、
百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推，遇零
则置空，例如3 266用算筹表示就是 ，则8 771用算筹应表示为( )
中国古代的算筹数码
A. B.
C. D.
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的”，拓展到空间，类比平面几
何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为 .
(2)从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的.
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r，连接球心与正四面体的
四个顶点.
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×·S·r＝·S·h，则r＝h.
(其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)
考点二 直接证明与间接证明
角度1 综合法
例4 已知a，b，c＞0，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋≤；
(2)＋＋≥.
证明 (1)∵(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝
3，
∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号).
(2)∵a＞0，∴3a＋1＞1，
∴＋(3a＋1)≥2＝4，
∴≥3－3a(当且仅当a＝时，取等号).
同理得≥3－3b，≥3－3c，
以上三式相加得
4≥9－3(a＋b＋c)＝6，
∴＋＋≥(当且仅当a＝b＝c＝时取等号).
角度2 分析法
例5 已知a＞0，证明：－≥a＋－2.
证明 要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－).
因为a＞0，所以－(2－)＞0，
所以只需证
≥，即2(2－)≥8－4，
只需证a＋≥2.
因为a＞0，a＋≥2显然成立(当a＝＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.
角度3 反证法
例6 设数列{a }是公比为q的等比数列，S 是它的前n项和.
n n
(1)求证：数列{S }不是等比数列；
n
(2)数列{S }是等差数列吗？为什么？
n
(1)证明 假设数列{S }是等比数列，则S＝S S ，
n 1 3
即a(1＋q)2＝a ·a ·(1＋q＋q2)，
1 1
因为a ≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
1
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S }不是等比数列.
n
(2)解 当q＝1时，S ＝na ，故{S }是等差数列；
n 1 n
当q≠1时，{S }不是等差数列，否则2S ＝S ＋S ，
n 2 1 3
即2a (1＋q)＝a ＋a (1＋q＋q2)，
1 1 1
得q＝0，这与公比q≠0矛盾.
综上，当q＝1时，数列{S }是等差数列；
n
当q≠1时，数列{S }不是等差数列.
n
感悟提升 1.综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复
杂问题，可采用两头凑的方法.
2.反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论.
训练2 (1)已知a＞0，b＞0，求证：≥；
(2)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.
证明 (1)∵a＞0，b＞0，
要证≥，
只要证(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立.
(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设 a≤0，下面分a
＝0和a＜0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc＞0矛盾，所以a＝0不可能，如果a＜0，那么由abc＞0可得，bc＜0，又因为a＋b＋c＞0，所以b＋c
＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，这和已知ab＋bc＋ca＞0相矛盾，
因此，a＜0也不可能，综上所述，a＞0，同理可证b＞0，c＞0，所以原命题成
立.
1.“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log |x|是对数函数，因此f(x)＝log |x|是非奇
2 2
非偶函数”，以上推理( )
A.结论正确 B.大前提错误
C.小前提错误 D.推理形式错误
答案 C
解析 本命题的小前提是f(x)＝log |x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因
2
为 f(x)＝log |x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如 y＝log x(a>0 且
2 a
a≠1)的才是对数函数.
2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在 R上的
函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A.f(x) B.－f(x)
C.g(x) D.－g(x)
答案 D
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).
3.观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，
41，…，则式子35是第( )
A.22项 B.23项 C.24项 D.25项
答案 C
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4
个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，
所以为第24项.
4.分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是( )
A.x2>2 B.x2>4
C.x2>0 D.x2>1
答案 C
解析 因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.
5.设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
答案 C
解析 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋
＋≥2＋2＋2＝6(当且仅当x＝y＝z＝1，等号成立)，与a＋b＋c＜6矛盾，∴a，
b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.
6.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的
深刻而又朴素的认识，是中华文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思
想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”
当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000 0
震 001 1
坎 010 2
兑 011 3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是( )
A.18 B.17 C.16 D.15
答案 B
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数的
010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝
17.
7.数列2，5，11，20，x，…中的x等于________.
答案 32
解析 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.
8.已知f(x)＝，x≥0，若f (x)＝f(x)，f (x)＝f(f (x))，n∈N*，则f (x)的表达式
1 n＋1 n 2 023
为________.
答案 f (x)＝
2 023
解析 f (x)＝，
1
f (x)＝＝，
2f (x)＝＝，
3
…，
f (x)＝f(f (x))＝，
n＋1 n
归纳可得f (x)＝.
2 023
9.若P (x ，y )在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P 作椭圆的两条切线，切点为P ，
0 0 0 0 1
P ，则切点弦P P 所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线，则有如下命题：
2 1 2
若P(x ，y )在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P 作双曲线的两条切线，切点为
0 0 0
P ，P ，则切点弦P P 所在直线的方程是________.
1 2 1 2
答案 －＝1
解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.
10.若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
由于a，b，c是不全相等的正数，
∴上述三个不等式中等号不能同时成立，
∴··＞abc＞0成立.
上式两边同时取常用对数，得
lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
11.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中
至少有一个是负数.
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即ac＋bd＋ad＋bc＝1，
又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，
故a，b，c，d中至少有一个是负数.
12.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A.n＋1 B.2nC. D.n2＋n＋1
答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2)
＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线
最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域.
13.将正整数排成如下数阵：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
用a 表示第i行第j列的数，若a ＝2 020，则i＋j的值为________.
ij ij
答案 129
解析 由数阵的排列规律可知：每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所
以由此归纳出第n行的最后一个数为n2.因为442＝1 936，452＝2 025，所以2 020
出现在第45行.又由2 020－1 936＝84，故i＝45，j＝84，所以i＋j＝129.
14.若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数 f(x)是[a，b]上的
“四维光军”函数.
(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函
数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称
轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b＞1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾.
故不存在常数a，b(a＞－2)使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数.
