第7章不等式、推理与证明第4节　推理与证明_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学（文科）一轮复习（老高考通用版）_专题教师版word讲义

第 4 节 推理与证明 考试要求 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并 认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三 段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理 之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分 析法和综合法的思考过程和特点.5.了解反证法的思考过程的特点. 1.合情推理 类型 定义 特点 根据一类事物的部分对象具有某种性质， 归纳 由部分到整体、由个别到一 推出这类事物的全部对象都具有这种性质 推理 般 的推理 根据两类事物之间具有某些类似(一致) 类比 性，推测一类事物具有另一类事物类似(或 由特殊到特殊 推理 相同)的性质的推理 2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理 称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 3.直接证明内容 综合法 分析法 从要证明的结论出发，逐步寻 利用已知条件和某些数学定 求使它成立的充分条件，直到 义、公理、定理等，经过一系 最后把要证明的结论归结为判 定义 列的推理论证，最后推导出所 定一个明显成立的条件(已知 要证明的结论成立 条件、定理、定义、公理等) 为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 因为……所以…… 要证……只需证…… 文字语言 或由……得…… 即证…… 4.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方 法. (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明 方法. (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬—— 根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定 原命题的结论成立. 1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其 正确性，则需要证明. 2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机 械类比的错误. 3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果， 就是寻找已知的必要条件. 4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后 推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a0 且 2 a a≠1)的才是对数函数. 2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在 R上的 函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A.f(x) B.－f(x) C.g(x) D.－g(x) 答案 D 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x). 3.观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32， 41，…，则式子35是第( ) A.22项 B.23项 C.24项 D.25项 答案 C 解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4 个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项， 所以为第24项. 4.分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是( ) A.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 答案 C 解析 因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立. 5.设x，y，z为正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 答案 C 解析 假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋ ＋≥2＋2＋2＝6(当且仅当x＝y＝z＝1，等号成立)，与a＋b＋c＜6矛盾，∴a， b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2. 6.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的 深刻而又朴素的认识，是中华文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思 想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ” 当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是( ) A.18 B.17 C.16 D.15 答案 B 解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数的 010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝ 17. 7.数列2，5，11，20，x，…中的x等于________. 答案 32 解析 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32. 8.已知f(x)＝，x≥0，若f (x)＝f(x)，f (x)＝f(f (x))，n∈N*，则f (x)的表达式 1 n＋1 n 2 023 为________. 答案 f (x)＝ 2 023 解析 f (x)＝， 1 f (x)＝＝， 2f (x)＝＝， 3 …， f (x)＝f(f (x))＝， n＋1 n 归纳可得f (x)＝. 2 023 9.若P (x ，y )在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P 作椭圆的两条切线，切点为P ， 0 0 0 0 1 P ，则切点弦P P 所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线，则有如下命题： 2 1 2 若P(x ，y )在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P 作双曲线的两条切线，切点为 0 0 0 P ，P ，则切点弦P P 所在直线的方程是________. 1 2 1 2 答案 －＝1 解析 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1. 10.若a，b，c是不全相等的正数，求证： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0. 由于a，b，c是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴··＞abc＞0成立. 上式两边同时取常用对数，得 lg＞lg abc， ∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 11.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中 至少有一个是负数. 证明 假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 即ac＋bd＋ad＋bc＝1， 又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立， 故a，b，c，d中至少有一个是负数. 12.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( ) A.n＋1 B.2nC. D.n2＋n＋1 答案 C 解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成 1＋(1＋2) ＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线 最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域. 13.将正整数排成如下数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … 用a 表示第i行第j列的数，若a ＝2 020，则i＋j的值为________. ij ij 答案 129 解析 由数阵的排列规律可知：每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所 以由此归纳出第n行的最后一个数为n2.因为442＝1 936，452＝2 025，所以2 020 出现在第45行.又由2 020－1 936＝84，故i＝45，j＝84，所以i＋j＝129. 14.若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数 f(x)是[a，b]上的 “四维光军”函数. (1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值； (2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函 数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称 轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b， 则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3. 因为b＞1，所以b＝3. (2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数， 因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有即 解得a＝b，这与已知矛盾. 故不存在常数a，b(a＞－2)使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数.