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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2
1 1 1 1 2 2 2 2
＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C
1 1 1 2 2 2 2 2
是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
教材改编题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
解析 圆心为(0,0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，但是圆心不在
直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．
2．过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2＋y2－6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为( )
A. B．2
C．2 D．4
答案 D
解析 过点(0,1)且倾斜角为的直线l：y－1＝x，即x－y＋1＝0.
∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
∴圆心坐标为(0,3)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝1，
∴直线被圆截得的弦长|AB|＝2×＝4.
3．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
答案 ±2或0
解析 两圆的圆心距d＝，由 两 圆 相 切 ( 外 切 或 内 切 ) ， 得 ＝ 5 ＋ 1 或 ＝ 5 － 1 ， 解 得 a ＝ ±2 或 a ＝ 0.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y
＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度
可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
答案 BC
解析 因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心C(－3,3)到直线y＝kx－1的距离的
最大值为＝5.
又圆C的半径为6，故弦长AB的最小值为
2＝2.
又当直线y＝kx－1过圆心时弦长AB取最大值，为直径12，
故|AB|∈[2，12]．
(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝
2，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案 B
解析 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2，符合题意；当直线l
的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线
的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 (2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，
过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，圆心C(3,1)，半
径r＝3，
所以直线l过圆心C(3,1)，
故3＋a－1＝0，故a＝－2，
所以点A(－1，－2)，
|AC|＝＝5，
|AB|＝＝4.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距
0 0
离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二
0 0
次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4 在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一
个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
答案 [2，4)
解析 由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)，设|AC|＝x，则x≥＝2.
∵AP，AQ为圆C的切线，
∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，
∴|AP|＝|AQ|＝＝.
∵AC是PQ的垂直平分线，
∴|PQ|＝2×＝
＝4.
∵x≥2，
∴≤1－<1，
∴2≤|PQ|<4，
即线段PQ的长的取值范围为[2，4)．
教师备选
1．(多选)(2022·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的
为( )
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为
D．l被C截得的最短弦长为4
答案 BD
解析 对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选
项错误；
对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B
选项正确；
对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝，
所以直线l被C截得的弦长为
2＝3，C选项错误；
对于D选项，圆心C到直线l的距离为
d＝≤1，
所以直线l被C截得的弦长为2≥4，D选项正确．
2．过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的
方程为________，∠ACB＝________.
答案 x＋y－3＝0
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最
短，即CP和AB垂直，因为CP的斜率k ＝＝，
CP
所以直线AB的斜率为－，
所以直线l的方程为y－＝－，
即x＋y－3＝0.
此时|CP|＝＝1，
所以∠ACP＝，∠ACB＝.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段
长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，
点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0,0)到直线l的距离
d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
(2)(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小
值为2，则m等于( )
A．±2 B．± C．± D．±
答案 C
解析 由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝，
则弦长为2，
则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.(3)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案
解析 设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|
为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝，
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝＝2，
∴|PM|的最小值为2，
此时|PQ|＝＝＝.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2022·长沙模拟)若圆C ：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C ：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
1 2
则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C. D．(3,4)
答案 A
解析 |C C |＝，
1 2
因为圆C ：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C ：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
1 2
所以|a－2|<3.
(2)圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程
1 2
为______________，公共弦长为________．
答案 x－2y＋4＝0 2
解析 联立两圆的方程得
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
圆C 的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，
1
圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为
d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长为2.
教师备选
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为2×＝2.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径
之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆
M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，
所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之
差1，故两圆相交．
(2)(2022·长沙模拟)已知圆C ：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C ：2＋2＝，则这两圆的公共弦长
1 2
为( )
A．5 B．2 C．2 D．1
答案 C
解析 由题意知圆C ：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，
1
圆C ：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，
2
所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.
又因为圆C 的圆心为(－2,1)，半径r＝3，
1所以圆C 的圆心到直线x＋y－3＝0的距离
1
d＝＝2.所以这两圆的公共弦的弦长为2＝2＝2.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众
多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满
足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波
罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐
标系，
则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
例1 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心
坐标为________．
答案
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
整理得2＋y2＝，
所以点P的轨迹的圆心坐标为.
(2)已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|
MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
答案 2
解析 设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，
得(x－b)2＋y2＝λ2，整理得x2＋y2－x＋＝0，
所以解得
如图所示，S ＝|AB|·|y |，
△MAB M
由图可知，当|y |＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S 取得最大值，故△MAB的面积
M △MAB
的最大值为××1＝.
例2 如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为
1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)联立得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
圆心C到切线的距离d＝＝r＝1，
得k＝0或k＝－.
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知＝2，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝.
解得0≤a≤.
即圆心C的横坐标a的取值范围是.课时精练
1．圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 圆C ：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C (－1,2)，半径为2，圆C ：(x－3)2＋(y－2)2＝4
1 1 2
的圆心为C (3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C C |＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的
2 1 2
半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0
答案 C
解析 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，
设切线方程为y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，
则＝1，
解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.
综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3．(2022·沧州模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m
等于( )
A．26 B．31 C．39 D．43
答案 C
解析 将圆化为
(x＋8)2＋y2＝64－m(m<64)，
所以圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离
d＝＝4，
该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，
所以42＋32＝64－m，解得m＝39.
4．(2022·广州模拟)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B两点，当|AB|
最小时，劣弧AB的长为( )
A. B．π C．2π D．3π
答案 B解析 直线x＋ay－a－1＝0可化为
(x－1)＋a(y－1)＝0，
则当x－1＝0且y－1＝0，
即x＝1且y＝1时，等式恒成立，
所以直线恒过定点M(1,1)，
设圆的圆心为C(2,0)，半径r＝2，
当MC⊥AB时，|AB|取得最小值，
且最小值为2＝2＝2，
此时弦长AB对的圆心角为，
所以劣弧AB的长为×2＝π.
5．(2022·青岛模拟)已知直线l：3x＋my＋3＝0，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0，则下列说
法正确的是( )
A．“m>1”是曲线C表示圆的充要条件
B．当m＝3时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1
C．“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件
D．当m＝－2时，曲线C与圆x2＋y2＝1有两个公共点
答案 C
解析 对于A，曲线C：x2＋y2＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1，曲线C要表示
圆，
则m2－1>0⇒m<－1或m>1，
所以“m>1”是曲线C表示圆的充分不必要条件，故A错误；
对于B，m＝3时，直线l：x＋y＋1＝0，
曲线C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝26，
圆心到直线l的距离
d＝＝5，
所以弦长＝2＝2＝2，故B错误；
对于C，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离d＝＝⇒m＝±3，
所以“m＝－3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；
对于D，当m＝－2时，曲线C：(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r＝，
曲线C与圆x2＋y2＝1的圆心距为＝2>＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误．
6．(多选)(2022·海口模拟)已知圆O ：x2＋y2－2x－3＝0和圆O ：x2＋y2－2y－1＝0的交点为
1 2
A，B，则( )
A．圆O 和圆O 有两条公切线
1 2
B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O 上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
2
D．圆O 上的点到直线AB的最大距离为2＋
1
答案 ABD
解析 对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B
正确；
对于C，直线AB经过圆O 的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O 的直径，故圆O 中不存在比
2 2 2
AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O 的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所
1
以圆O 上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．
1
7．(2021·天津)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝
________.
答案
解析 设直线AB的方程为y＝x＋b，
则点A(0，b)，
由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则＝1，
解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，
因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.
8．若A为圆C ：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB
1 2
长度的最大值是________．
答案 8
解析 圆C ：x2＋y2＝1的圆心为C (0,0)，
1 1
半径r＝1，
1
圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C (3，－4)，半径r ＝2，所以|C C |＝5.又A为圆C 上
2 2 2 1 2 1
的动点，B为圆C 上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C C |＋r＋r＝5＋1＋2＝8.
2 1 2 1 2
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，
则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，
其圆心为(0,4)，半径r＝2，
若直线l与圆C相切，则有＝2，
解得a＝－.(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则2＋d2＝r2，
即2＋d2＝4，解得d＝，
则有d＝＝，
解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段
AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．
由题设知CM·MP＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM
的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，
S ＝××＝，故△POM的面积为.
△POM
11．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范
围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)
C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析 到原点的距离为的点的轨迹方程为
圆C ：x2＋y2＝2，
1
因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，转化为圆C ：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
1
∵两圆的圆心和半径分别为
C (0,0)，r＝，C(a，a)，r＝2，
1 1
∴r－r<|C C|4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直
线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为 N，Q，如图所示，连接 MB，MN，MQ，则当
∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故
C，D都正确．
15.(多选)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， 是以OD为直径的圆上一段圆弧，
是以BC为直径的圆上一段圆弧， 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲
线W，则下列说法正确的是( )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D. 与 的公切线方程为x＋y＝＋1
答案 BCD
解析 曲线W与x轴围成的图形由以(0,1)为圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为
半径的圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其
面积为＋＋2＝2＋π≠2π，故A错误；
曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，共5个整点，故B正确；所在的圆是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；
设 与 的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，
由直线和圆相切的条件可得
＝1＝，
解得k＝－1，t＝1＋(1－舍去)，
则其公切线方程为y＝－x＋1＋，
即x＋y＝1＋，故D正确．
16．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A
是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运
动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平
面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直
角坐标系，解决下列问题：
图1
图2
(1)如图1，设母球A的位置为(0,0)，目标球B的位置为(4,0)，要使目标球B向C(8，－4)处
运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(2)如图2，若母球A的位置为(0，－2)，目标球B的位置为(4,0)，让母球A击打目标球B后，
能否使目标球B向C(8，－4)处运动？
解 (1)点B(4,0)，C(8，－4)所在的直线方程为x＋y－4＝0，如图，可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线x＋y－4＝0上，
且在第一象限，设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为A′(a，b)，此时|A′B|＝2，则
解得a＝4－，b＝，
即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标A′(4－，)，
所以母球A的球心运动的直线方程为y＝x，
即y＝x.
(2)假设能使目标球B向C(8，－4)处运动，
则由(1)知球A需运动到A′(4－，)处，且到达A′处前不与目标球B接触．
如图，设AA′与x轴的交点为D.
因为A′B的斜率为－1，所以∠A′BD＝45°.
因为AA′的斜率为＝>1，
所以∠A′DB>45°.
所以∠DA′B为锐角．
过点B作BE⊥AA′于点E，
因为|A′B|＝2，所以|BE|<2，
所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，
所以不能使目标球B向C(8，－4)处运动．
