文档内容
期中押题重难点检测卷（基础卷）
（考查范围：九年级第21-25章）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（2023秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）一元二次方程 的解是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】D
【分析】把方程化为 ，再化为两个一次方程求解即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ 或 ，解得： ， ，
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
3．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知点 与点 是关于原点 的对称点，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点关于原点对称点的特点是，对称点的横纵坐标变为原来点的横纵坐标的相反数，由此即可
求解．
【详解】解：根据点关于原点对称点的特点可得， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查点关于原点对称点的计算方法，代入求值等知识，掌握点的关于原点对称点的计算
方法是解题的关键．
4．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球
除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】解：10个黑球，8个白球，12个红球一共是30个，所以从中任意摸出一个球，摸到白球的概率
是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2023秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）下列关于抛物线 的判断中，错误的
是（ ）
A．最小值是4 B．最大值是4
C．当 ，y随x的增大而减小 D．当 ，y随x的增大而增大【答案】A
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、抛物线 开口朝下，顶点坐标为 ，故最大值为4，无最小值，此选项
符合题意；
B、抛物线 开口朝下，顶点坐标为 ，故最大值为4，此选项不符合题意；
C、对于抛物线 ，由于 ，当 时，函数值 随 值的增大而减小，不符合题意；
D、对于抛物线 ，由于 ，当 时，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的
确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．
6．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，E为BC延长线上一点．若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角互补求出 的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出 的度数，最后根据
圆周角定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
7．（2023秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）已知二次函数 （其中
是自变量）的图象上有两点 ， ，满足 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】首先根据 得到 ，解得 ，然后根据y的最小值为 得到 ，求出
a的值．
【详解】解：将 ， ，代入 得，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ,
∴当 时， 时，y有最小值，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查抛物线的图形和性质，解决问题的关键是掌握抛物线的图象的性质以及最值．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知 中， ， ， ， ，
，点D为直线 上一动点，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，点
F在直线 上且 ，则 最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】首先通过证明 得到 ，再根据垂线段最短将最小值转化为点C到 的
距离，最后利用面积法计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
由旋转可知： ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
则当 时， 最小，即 最小，
∵ ， ， ， ，
∴点C到 的距离为 ，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，知识点较多，解题的
关键是能够通过全等三角形的性质将所求线段转化为其他线段．9．（2023秋·九年级课时练习）若关于 的一元二次方程 有一根为 ，则方程
必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 得到 ，设 ，得到 ，所以
，即可得到 进而得到答案．
【详解】解：由 得到 ，
对于一元二次方程 ，
设 ，
，
而关于 的一元二次方程 有一根为 ，
有一个根为 ，
则 ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
次方程的解是解答本题的关键．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线 与坐标轴交于 ， 两点，点 为坐标平面内
一点， ，点 为线段 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据同圆的半径相等可知：点 在半径为2的 上，通过画图可知， 在 与圆 的交点时，
最小，在 的延长线上时， 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：如图， 直线 与坐标轴交于 ， 两点，
∴令 ，得 ，解得： ，令 ，得 ，
， ，
，
点 为坐标平面内一点， ，
在 上，且半径为2，
取 ，连接 ，
， ，
是 的中位线，
，
当 最小时，即 最小，而 ， ， 三点共线时，当 在线段 上时， 最小，
， ，
，
．
．
即 的最小值为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 为最小值时点 的位置是关键，也是难点．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）在一个口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中有3
个黄球，1个黑球，1个白球，从中随机地摸出一个小球，则摸到黄球的概率是 ．
【答案】
【分析】利用黄球的个数÷球的总个数可得黄球的概率．
【详解】解：∵口袋中有5个球，其中有3个黄球，
∴摸到黄球的概率是： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2023秋·北京·九年级北京八十中校考阶段练习）已知 ， 是一元二次方程 的两根，
则 ．
【答案】
【分析】依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
13．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）如图，在 中， ．将
绕点A逆时针旋转得到 ．若 ，则 的度数为 °．【答案】15
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，再根据平行线的性质得出
，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2023秋·广东广州·九年级广州市天河中学校考期中）某种烟花礼炮的升空高度 与飞行时间
的关系式是 ，这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
秒，高度为 米
【答案】 4 41
【分析】将关系式 化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】解： ，
，
当 秒时，礼炮达到最高点爆炸，最大高度为 米．
故答案为：4，41．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式一般式化为顶点式的运用，二次函数的性质的运用，解答时化为顶
点式是关键．
15．（2023秋·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的弦，点C在 上，以 为边作等
边三角形 ，点A在圆内，且 恰好经过点O，其中 ， ，则 的长为 ．【答案】20
【分析】过O作 于E，由垂径定理求出 ，然后利用等边三角形的性质求出 ，
， 然后利用含 角的直角三角形的性质得到 ，进而求解即可．
【详解】过O作 于E，由垂径定理得： ．
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为：20．
【点睛】考查垂径定理， 等边三角形的性质， 含 角的直角三角形的性质等，作出辅助线是解题的关
键．
16．（2023秋·山西太原·九年级太原市三立中学校校考阶段练习）如图，一张长 、宽 的矩形铁
皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 ．
【答案】48
【分析】设剪去的正方形的边长为 ，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为 ，宽为 ，
根据长方体铁盒的底面积是 即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
【详解】解：设剪去的正方形的边长为 ，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为 ，宽为
，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）．
该纸盒的体积为 ；
故答案为：48．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
17．（2023秋·湖北随州·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线
上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于y轴对称，过
点C作x轴的垂线交抛物线于点E，连接 ，当 是等腰三角形时，线段CD的长为 ．【答案】 /
【分析】由点 在抛物线 上，求出抛物线解析式是 ，设 的横坐标是 ，则 的横坐
标是 ， 的坐标是 ，由 是等腰直角三角形，列出关于 的方程，求出 的值即可解决问题．
【详解】解： 点 在抛物线 上，
，
，
抛物线解析式是 ，
设 的横坐标是 ，则 的横坐标是 ， 的坐标是 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
或 （舍 ，
线段 长是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数的性质．
18．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图，已知圆 的直径 ， 为圆 上一点（不与 、
重合），连接 、 ．弦 平分 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交圆 于点
，连接 ，若 ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】设 交 于 ，如图，根据圆周角定理得到 ，则 ，再证明
， ，则可判断 ，所以 ，接着证明
，则根据垂径定理得到 ，然后根据圆周角定理得到 ，最
后利用互余可计算出 的度数．
【详解】解：设 交 于 ，如图，
的直径 ，
，
弦 平分 ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得： ， ；
（2）解得 ， ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．
20．（2023秋·四川成都·九年级校考阶段练习）中学生学习情绪的自我控制能力分为四个等级，即A级：
自我控制能力很强：B级：自我控制能力较好；C级：自我控制能力一般：D级：自我控制能力较差．通
过对实验中学的初中学生学习情绪的自我控制能力的随机抽样调查，得到两幅不完整的统计图，请根据图
中的信息解决下面的问题．
(1)在这次随机抽样调查中，共抽查______名学生：自我控制能力为C级的学生人数是______人；扇形统计
图中D级所占的圆心角为______度．
(2)现要从A、B、C、D四个组随机抽取两组学生参加上级部门的调查问卷，请用列表或画树状图的方法求
出同时抽到A组和D组的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据A级学生的条形统计图和扇形统计图数据即可求出总人数，进而可求自我控制能力为
C级的学生人数和扇形统计图中D级所占的圆心角度数；
（2）画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：共抽查的学生有： （名）
∴自我控制能力为C级的学生人数为： （人）
扇形统计图中D级所占的圆心角为：
故答案为：
（2）解：树状图如下：共有12种等可能结果，其中同时抽到A组和D组结果有2种
故：同时抽到A组和D组的概率为：
【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联、概率的计算．考查学生的数据处理能力．
21．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，图①、图②、图③均是 的正方
形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，请用
无刻度的直尺在下列网格中作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作出 向右平移4个单位长度的三角形；
(2)在图②中，作出 绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
(3)在图③中，请在线段 上找到一点P，连接 和 ，使 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的性质，画出三角形即可；
（2）根据旋转的性质，画出三角形即可；
（3）作点 关于 的对称点 ，连接 与 的交点即得点 ；
【详解】（1）解：如图所示的三角形 即可所求；（2）如图所示，三角形 即为所求；
（3）如图所示，点 即为所求．
【点睛】本题考查平移作图，旋转作图，轴对称作图．熟练掌握平移的性质，旋转的性质，将军饮马模型
求线段和的最小值，是解题的关键．
22．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）己知抛物线 交x轴于 ， ，与
y轴交于点C．
(1)求此抛物线的顶点坐标；(2)已知P为抛物线 一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点 恰好在直线 ：
上，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解．
（2）设点 的坐标为 ，由对称可得点P的坐标为： ，将其带入抛物线的解析式即可求
解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
此抛物线的顶点坐标为： ．
（2）设点 的坐标为 ，
点P与点 关于x轴对称，
点P的坐标为： ，
又点P在抛物线上，
，
解得： ， ，
又 点P不与点B重合，，
点P的坐标为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解
析式及关于x轴对称的点坐标的规律是解题的关键．
23．（2023秋·广东珠海·九年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程
，
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若 ， 是原方程的两根，且 ，求m的值．
【答案】(1)见解析；
(2) ， ．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案．
【详解】（1）∵
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
解得： ， ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方
程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系．
24．（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 经过点 和 ，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
(2)若抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，BC，
求 的面积；
(3)若直线 与抛物线 只有一个公共点，求 的值．
【答案】(1) ，抛物线的顶点为
(2)
(3) 或
【分析】（1）把两点的坐标分别代入二次函数解析式可求得 、 的值，把函数解析式化为顶点式则可求
得答案；
（2）求得与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据题意得到 ，根据直线 与抛物线 只有一个公共点，则
，解得 或 ．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为 ，∵ ，
∴抛物线的顶点为 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由 得 ，
整理得 ，
∵直线 与抛物线 只有一个公共点，
∴ ，
解得 或 ，
故 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
函数与方程的关系，三角形的面积等，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
25．（2023秋·湖北·九年级校考周测）如图，以 为直径的 经过 的顶点C， 分别平分
和 的延长线交 于点D，连接 ．(1)判断 的形状，并证明你的结论；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)等腰直角三角形，见解析
(2)8
【分析】（1）根据角平分线及圆周角定理得到 ，推出
，进而得到 ，再由圆周角定理得 ，即可得到 是等腰直角三角形．
（2）连接 交 于点F，由圆周角定理得 ．推出
垂直平分 ．设 ，则 ．在 和 中，根据勾股定理得到
,求出 即可．
【详解】（1）解： 为等腰直角三角形．
证明：∵ 平分 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ 为直径，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
（2）解：连接 交 于点F，
∵ ．
∴ ．
∵ ．∴ 垂直平分 ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
在 和 中，
解得 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定，垂径定理与勾股定理，正确掌握圆周角定理是
解题的关键．
26．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
，点 是直线 上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接
．(1)如图①，当 ，且点 在线段 上时，线段 和 之间的数量关系___________；
(2)如图②，当 ，且点 在线段 上时，猜想线段 、 、 之间的关系，并加以证明；
(3)当 ， ， 时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) ；见解析
(3) 或
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，推出 ，证明
，即可得证；
（2）同（1）可证 可得 ，从而得到
，由勾股定理可得 ，即可得证；
（3）由勾股定理可得 ，分两种情况：当 在线段 上时， ，由勾股定理可得出
；当 在 延长线上时， ，再由勾股定理计算出 ．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
如图：，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）解：线段 ，
证明如下：
如图：
，
，
，
同（1）可证 ，
，
，，
；
（3）即为： ，
，
①当 在线段 上时，如图：
，
，
，
由（2）知 ，
，
②当 在 延长线上时，如图：
，
，
，
，综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识
点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
