文档内容
28.2解直角三角形（3）
学习目标：
1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。
学习重点：
理解坡度和坡角的概念。
学习难点：
利用坡度和坡角解决有关实际问题。
学习过程：
一、新知引入
你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？
我们知道坡越陡，倾斜的角度越大，那与我们直角三角形有什么联系呢？
二、新知讲解
知识1：基本概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则i= =
如图，坡度通常写成i=h:l的形式。
※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a就_____，坡面就______.
②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．
巩固练习：试一试，你最棒！
1、斜坡的坡度是1： ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是450，则坡比是_______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
知识2：如何解决实际生活中的坡度、坡角问题？
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所
示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如
图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，
划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l，测出相应的仰角a，
1 1
就可以算出这段山坡的高度h=lsina.
1 1 1
在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的高度h,h,…,h,然后我们再“积
1 2 n
零为整”，把h,h,…,h 相加，于是得到山高h.
1 2 n
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，它在数学中有重要
地位。
三、例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根
据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）巩固练习：
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1： ，斜坡AB的水平宽度BE=3 m，
那么斜坡AB长为_________m.
2.某建筑物门口有一无障碍通道，通道的斜坡长为a m，通道的最高点距水平地面b m，若a：b= ：
1，该通道的坡比是________.
1题 2题 3题 4题
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，
则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A.6 m B. m C.2 m D.3 m
4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA
的坡角为_________°.
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，
AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，
BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，
sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )
A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
5题 6题 7题
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已
知两楼的水平距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶端距离
乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______米.
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降
为30°，已知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这
样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449）
●总结：解类似的直角三角形时常用到的思想和方法
1．数形结合思想.
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造
出直角三角形.四、拓展提高
例2、 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西
60˚，航行24海里到C，见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
应用提高：
1.已知东西海岸线上有相距7 km的A、B两个码头，灯塔P距A码头13 km，在B码头测得灯塔P在北
偏东45°方向，则灯塔P到海岸线的距离为________km.
2.一只兔子沿OP（北偏东30°）的方向向前跑．已知猎人在Q（1， ）点挖了一口陷阱，问：如果兔子
继续沿原来的方向跑，________ （填“有”或“没有”）危险？
2题 3题 4题 5题
3.如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°
方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向
为南偏东75°，已知MB＝ 400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
4.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船
相距100( ＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测
点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无
触暗礁危险？(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
5.如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另
一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A，C的对应位置分别
是点B，D.测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30 cm.
(1)求B点到OP的距离；
(2)求滑动支架的长．
(结果精确到1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)五、课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
六、布置作业
教材77页练习1、2题
当堂测评
1.堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（ ）
A. 1;3 B.1:2.6 C.1:2.4 D.1:2
2.小明去爬山，在山脚看山顶角度为300，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的
角度为600，求山高（ ）米
A. 600-250 B.600 -250 C.350+350 D.500
3. 市政府决定今年将 长的大堤的迎水坡面铺石加固．如图，堤高 ，堤面加宽 ，坡
度由原来的 改成 ，则完成这一工程需要的石方数为________ ．
4.如图，河堤横断面迎水坡 的坡比是 ，则坡角 ________ ．
5.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡
度i=2：1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2m的人行道．试问：
在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B
为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域．）（ ≈1.732， ≈1.414）
3 26.由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A市位于台风中
心M北偏东15°的方向上，距离 千米，B市位于台风中心M正东方向 千米处. 台风中心以
每小时30千米的速度沿MF向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），
距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响.
（1）A市、B市是否会受到此次台风的影响？说明理由.
（2）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?
A A
北 北
北 A E 北 A E
E F E F
F F
M B M B
M B M B
7.某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示， ， ，斜坡 长为
米，坡角 ．为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改造．经地质人员
勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 向左移 米
到 点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据： ， ， ，
， ）
