文档内容
期中重难点真题特训之压轴满分题型（68题17个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、配方法的应用
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有
其他重要应用．
例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 的最小值．
解：
无论 取何实数，都有 ，
，即 的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
(1)直接写出 的最小值 ；
(2)比较代数式 与 的大小，并说明理由；
(3)如图，在四边形 中， ．若 ，求四边形 面积的最大值．
2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当 __________时，多项式 的最小值为
__________．
（2）当 __________时，多项式 的最大值为__________．
（3）当 、 为何值时，多项式 取最小值？并求出这个最小值．
3．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．例如：若代数式 ，利用配方法求M的最小值： ， ，
当 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 ，用几何法求 的
最小值．如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度，当 的值最小时，
D、C、E三点共线，所以最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式 ，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足 ，求 的最小值．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料 ： 为实数，且 ， ，因为
，所以 ，从而 ，当 时取等号．
阅读材料 ：若 （ ， ， 为常数），由阅读材料 的结论可知 ，所以当
，即 时， 取最小值 ．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ________时， 取得最小值，且最小值为________；
(2)已知 ， ，求 的最小值．
(3)某大学学生会在 月 日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入 元；
二是参加活动的同学午餐费每人 元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的 倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入 支出总费
用/参加活动的同学人数）
压轴满分题二、换元法解一元二次方程
5．（辽宁省沈阳市第四十三中学教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题）阅读材料，
解答问题：
解方程：
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ， ．
当 时， ，∴ ；当 时， ，∴ ；
∴原方程有四个解： ， ， ， ．
以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程： ．
6．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的
基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，
一元三次方程 通过因式分解可以把它转化 ，解方程 和 ，
可得方程 的解．
问题：
(1)方程 的解是 ， ______， ______；
(2)求方程 的解；
(3)拓展：解方程： 时，可以用“换元法”转化．设 ，则有
，原方程可化为： ．将解方程的过程补充完整，求出 的值．
7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并
完成相应任务．用换元法解高次方程
为解方程 ，可先将方程变形为 ，然后设 ，则 ，原方程化为
，解得 ， ．当 时，即 无意义，舍去；当 时，即 ，解得
， 原方程的解为 ， ．上述这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个
整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
小明在阅读了上述信息后，进行了如下操作：
第一步：解方程 时，根据题意，可设 ，于是原方程变形为
；
解得 ， ．
第二步：根据题意，得 ， ，即 ， ，……
任务一：原方程得到新方程的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想．
任务二：材料中的 _____________．
任务三：请完整写出第二步的解答过程．
8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读下列材料：
已知实数x，y满足 ，试求 的值，
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 、 ，根据平方根意义可得
，由于 ，所以可以求得 ．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复
杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
(1)已知实数x，y满足 求 的值
(2)填空：已知关于x，y的方程组 的解是 ，关于x，y的方程组
的解是 ；
压轴满分题三、韦达定理
9．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）已知关于x的方程 有两个实数根 ， ，其中 ，m为整数．
(1)若 ，求 的值；
(2)边长为整数的直角三角形，其中两边的长度恰好为 和 ，求该直角三角形的两直角边长．
10．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程
有两个正实数根 ， ，且 ．
(1)求k关于n的表达式；
(2)若n为正整数，求k的取值范围．
11．（21-22九年级·浙江·自主招生）关于x的一元二次方程 …①和 …②．
(1)若 ，且方程①有两实根 ， ，方程②有两实根 ， ，求代数式
的最小值；
(2)是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说
明理由．
12．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
压轴满分题四、一元二次方程的应用
13．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ．点P从点D
出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q
的速度都是 ．连接 、 、 ．设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当 ______时，四边形 是矩形；
(2)当 ______时，四边形 是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得 ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着 把 翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 恰好落在 边上．
14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿
地中的花圃设计》中，有如下问题：
“在一块长是 、宽是 的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出
设计方案吗？”
课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如
图）．(1)请你计算出上述方案中绿地的宽；
(2)九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2
个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之
和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应
的方程．（列出方程即可，不用解答）
15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图①， 中， ， ， ，
中， ， ，边 与 重合，且顶点 与 边上的定点 重合．如图
②， 从图①所示位置出发，沿射线 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点 从点A出发，
沿AB方向匀速运动，速度为 与 交于点 ，连接 ， ．设运动时间为t（ ）（
）．解答下列问题：
(1)当 为何值时，点 在 的垂直平分线上？
(2)当 为何值时， ？
(3)如图③， 与 关于直线 对称，连接 ．
①当 时，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使四边形 为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千
克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售
量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．压轴满分题五、一元二次方程的新定义问题
17．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程
的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程 的两个根分别
是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义， 是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程 是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程 是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到 的最小值是______．（参考公式： ，
x、y均为正数）
18．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习） 已知关于x的方程 与
都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且 ，则称它们互为“友好方程”．如
与 互为“友好方程”．
(1)判断方程 与 是否是互为“友好方程”？并说明理由；
(2)若关于x的方程 与 互为“友好方程”，求m的值；
(3)材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c，有如下关系：
， ．已知关于x的方程①： 和关于x的方程②： ，p、q
分别是方程①和方程②的一个实数根，且 ， ．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p
为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q．
19．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，分别以 ， 为横坐标和纵坐标得到点 ，则称点 为该一元二次方程
的衍生点．
(1)直接写出方程 的衍生点 的坐标为______；
(2)已知关于 的方程 ．
①求证：不论 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点 的坐标；
③已知不论 为何值，关于 的方程 的䘕生点 始终在直线 上，求
b，c的值．
20．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为 ，那么称这样的方程为“明一方
程”．例如方程： 有解 ，所以 为“明一方程”．
(1)下列方程是“明一方程”的有；
① ；② ；③ ．
(2)已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，且当 时，关于x的方程
为“明一方程”，求该直线解析式；
(3)已知 为“明一方程” （a，b，c为常数，且 ）的两个根，试求 的取值
范围．
压轴满分题六、二次函数的图象与性质
21．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）【发现问题】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往
不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直
角坐标系 ，对两点 和B(x ,y )，用以下方式定义两点间的“折线距离”：
2 2
．（1）①已知点 ，则 ______；
②函数 的图象如图1， 是图象上一点，若 ，则点 的坐标为______；
（2）如图2，菱形 顶点 的坐标是 ， ， ．小明发现：菱形 的边上会有两
个点分别到原点 的距离 相等．若点 在菱形的边上且 ，指出点 在菱形的那条边上，
并求出它的坐标．
【拓展运用】
（3）函数 和函数 的图象如图3， 是函数 图象上一点， 是函
数 图象上一点，当 和 分别取到最小值时，求 的值．
22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）新定义：如果二次函数 的图象经过点
，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
(1)试判断二次函数 的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线 与直线 只有一个公共点，求m的值；
(3)若一次函数 的图象与定点抛物线 的交点的横坐标分别为 和 ，且
，求n的取值范围．
23．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，若关于 的函数 的图像记为 ，将 的图像绕着原点旋转 得到图像 ，我们把 和 合起来的总图像称为
的“青一对称”图像．
(1)若 在 的“青一对称”图像上，则 ；
(2)若 在 的“青一对称”图像上，求 的值；
(3)当二次函数 的“青一对称”图像与直线 有且只有三个交点时，请求出 的值或取值
范围．
24．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数 （m是
常数）．
(1)若函数图象经过点 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点 ， ，求证： ．
(3)已知函数图象经过点 ， ， ．若对于任意的 ，都有 成立，求
m的取值范围．
压轴满分题七、二次函数的图象与各系数关系
25．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数 的图象经过点 ，且
与 轴交点的横坐标分别为 ， ，其中 ， ，顶点纵坐标大于 ．下列结论：
； ； ； 若 ， （ ）是方程 的两个根，则
， ．其中正确的结论有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
26．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数 的图象经过点 ，且与 轴的交点的
横坐标分别为 ， ，其中 ， ．下列结论：① ；② ；③ ；④对
任意 ， 都成立，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为
直线 ， 为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）
；② ； （ 是一个常数）；④若 ，则 ．
28．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线 经过点 ，与 轴的交
点在 与 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论： ； 若点
在图象上，则 ； 若 为任意实数，则 ；．其中正确结论的序号为 ．
压轴满分题八、二次函数中的最值问题
29．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线 经过点 ，请解决下列问
题：
(1)点 ， 分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值．
(2)当 时，
求 的取值范围．
若 ，求 的值．
30．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的
图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，其中点 坐标为 ，点 坐标为(2,0)．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 下方抛物线上一个动点，连接 、 ，求 的面积最大值．
31．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数 ，该函数图象的对称轴为直线 ，与
x轴相交于点A和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点 ．(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图①，点D是直线 下方抛物线上的动点，过点D作 轴交直线 于点E，求 的最大值；
(3)如图②，点P是直线 下方抛物线上的动点， 于点Q，当 取最大值时，求点P的坐标．
32．（22-23九年级下·天津滨海新·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点
， ，并与 轴的正半轴交于点 ．
(1)求 的值，并用含 的式子表示 ；
(2)当 时，若点 是抛物线对称轴上的一个动点，求 周长的最小值；
(3)当 时，若点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 于点 ，当 的值最大时，
求此时点 的坐标及 的最大值．
压轴满分题九、二次函数的存在性问题
33．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，抛物线 与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展设问：点 为平面内一点，直线 上方的对称轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的四
边形是菱形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于点
和点 ，与y轴交于点C．
(1)求 的值；
(2)若点P是抛物线 段上的一点，当 的面积最大时求出点P的坐标，并求出 面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（21-22九年级·江苏南京·自主招生） 过 ， ， ，直线 为对称
轴，一次函数 过A、C．(1)求一次函数与二次函数的表达式．
(2)点M在直线l上，当 最小时，求M坐标．
(3)l上有一点P，当 为直角三角形求P的坐标．
36．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 、
两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
(1)求 的值；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所
有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴满分题十、二次函数中的角度关系37．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线
分别交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为第四象限抛物线上一点，连接 、 ，设点 的横坐标为 ， 的面积为S，求S
与 的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 时， 为抛物线第三象限上一点，连接 、 、 ，若
，求点 的横坐标．
38．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
39．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）如图1，已知抛物线 与x轴交于点 和点
B，与y轴交于点C，连接 ，过B、C两点作直线．(1)求a的值．
(2)如图1，将直线 向下平移 个单位长度，交抛物线于 、 两点．在直线 上方的抛物线
上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若
不存在，请说明理由．
(3)点P在抛物线上，且 请直接写出直线 的表达式．
40．（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ，点 的坐标为(2,0)，连
接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 和动点 同时出发，点 从点 以每秒2个单位长度的速度沿 运动到点 ，点 从点 以每
秒1个单位长度的速度沿 运动到点 ，连接 ，当点 到达点 时，点 停止运动，求 的最大
值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，在平移后的抛物线的对称轴上存在点 ，使得，请写出所有符合条件的点 的坐标，并写出其中一个的求解过程．
压轴满分题十一、二次函数的面积关系
41．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，经过原点的抛物线 交 轴正半轴于点A，过点
作直线 轴于点 ，交抛物线于点 ，记点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，连结 ，
．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)连结 ，当 为何值时， ？
(3)过点 作 于点 ，交 延长线于点 ．
①当 时，判断点 是否落在抛物线上，并说明理由；
②延长 交 于点 ，在 上取一点 ，连结 ，若 ，且 与 的面积相等，
则 的值是______．
42．（2022·湖南邵阳·模拟预测）如图，点 在 的图象上．已知 的横坐标分别为 ，直
线AB与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求 的面积；(3)若函数 的图象上存在点 ，使 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有 个．
43．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，抛物线顶点坐标为点 ，交x轴于点A(3，0)，交y轴
于点B．
(1)求抛物线和直线 的解析式；
(2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结 ， ，当P点运动到顶点C时，求 的
铅垂高 及 ；
(3)是否存在一点P，使 ，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线 与 轴正半
轴交于点 ，与 轴于点 ，且过点 ，连接 ．(1)求 的面积；
(2)若点 是抛物线对称轴上一点，且 ，求点 的坐标．
压轴满分题十二、二次函数中的含参应用
45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到
45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本 （单位：元）与销售件数 （单位：
件）成正比例．同时每天的销售件数 与销售价格 （单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了
该专卖店某4天销售A产品的数据．
销售价格 （单位：元/件） 25 30 32 38
销售件数 （单位：件） 35 30 28 22
销售成本 （单位：元） 210 180 168 132
(1)直接写出 与 之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为 ，当销售价格 为多少时， 最大？最大值是多少？
(3)该专卖店以每件返现 元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当 元/件时，一天可获得的
利润为600元，求 的值．
46．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，
销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y
（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成
本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
每天销售量y（件） … 240 180 15 …0
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（ ）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单
价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
47．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销
售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售
出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售
量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（m>0）给希望工程，当每天销售最大利润为
6000元时，求m的值．
48．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个 元，经过一段
时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于 个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大
利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于 元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（
），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
压轴满分题十三、旋转
49．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，已知点 为正方形 内的一点，连接 ．将线段绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接， ， ．
(1)如图1，线段 与 的关系是_________；
(2)如图2，点 为正方形 外的一点，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ， ，探
究线段 与 的关系，并说明理由；
(3)如图3，在 中， ， ，点 为 外一点，且 ，点 为 的
中点，连接 ， ， ，若 ， ，求 的长．
50．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形
中，点O为对角线 和 的交点，过点O作 的平行线，交 于点E．
猜想证明：
（1）“笃学”小组发现 ，请你证明这一结论；
操作探究：
（2）如图2，“勤思”小组在图1中的菱形 下方作菱形 ，其中 ，连接 ，
，判断四边形 的形状，并说明理由；（3）若图2中 ， ，将菱形 绕点A逆时针旋转（设点D，F，G的对应点
分别为 ， ， ），当 ， 所在直线与 所在直线互相垂直时，请直接写出点 到 的距离．
51．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）正方形 和正方形 的边长分别为6和2，将正方形
绕点A逆时针旋转．
(1)当旋转至图1位置时，连接 ， ，线段 和 有何关系？请说明理由；
(2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段 的长．
(3)在图1中，连接 ， ， ，请直接写出在旋转过程中 的面积最大值；
52．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点为 ，点 的对应点为 ；
②连接 ，此时 ______°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边 中，点 在内部，且 ， ， ，求 的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 绕点 按顺时针方向旋转
，得到 ，连接 ，寻找 、 、 三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该
问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角 中， ， 为 内一点，且 ， ，
，求 ；
【思维拓展】
（4）如图4，若点 是正方形 外一点， ， ， ，求 的度数．压轴满分题十四、垂径定理
53．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，
“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为 ．
(1)观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
(2)联想：
如图2，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，则 _______；
(3)迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知
识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）
54．（2023·广东深圳·模拟预测）[问题提出]
（1）如图①，在等腰直角 中， ， 为等边三角形， ，则线段 的长为 ．
[问题解决]
（2）如图②，在等腰直角 中， ， ，以 为直径作半圆O，点D为 上一动
点，求点 之间的最大距离；
[问题探究]
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由
直角 以及弓形 组成，其中 ，点E为 的中点， ，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到 的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，
你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到 的最大距离．
55．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 的弦 与 相交于点E，已知 ，
，且
(1)如图1，若 过圆心O，求 的半径；
(2)如图2，若 ，请直接写出点 的半径
56．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 的直径 与弦 交于点E，
，求 的长．
压轴满分题十五、圆周角与圆心角57．（北京市十一学校龙樾学校2024~2025学年上学期10月月考九年级数学试题）在 中，
， ，点P为 内一点．
(1)请你按照要求利用尺规作图作出 ，保留作图痕迹；
(2)说明 的理由；
(3)在（1）的基础上过点C作 ，垂足为D．用等式表示线段 与CD之间的数量关系，并证明．
58．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段 ，使用作图工具作 ，尝试操作后思考；
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C
除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决：
①该弧所在圆的半径长为______；② 面积的最大值为______；
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记
为 ，请你利用图1证明 ；
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，在如图2所示的矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，点
P满足； ，且 （要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹）；
(4)如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点 在第一象限，A、C两点分别在坐标轴上，若点P是线段AB上一动点（点P可以与点A、B重合），发现使得 的位置有两个，则m
的取值范围为______．
59．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1， 是 的弦， ，点 是圆上不与
重合的点，则 ____；
（2）如图2，已知线段 ，点 在 所在直线的下方，且 ，用尺规作图的方法作出满足
条件的点 所组成的图形；（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）
（3）如图3，已知 中， ，且 ，求 的最大值．
60．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）[学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，
可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在 中， ， ，D是 外一点，且 ，求 的度数．
若以点A为圆心， 长为半径作辅助圆 ，则C、D两点必在 上， 是 的圆心角，
是 的圆周角．则 ______．
[初步运用]（2）如图2，在四边形 中， ， ，则 ______°；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段 和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得 （不写作法保
留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形 ， ， ，M为边 上的点，若满足 的点M恰
好有两个，则m的取值范围为______．
②如图4②，在 中， ， 是 边上的高，且 ， ．求 的长．
压轴满分题十六、直线与圆的位置关系（切线长定理）
61．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿
边以 的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿 以 的速
度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)如图1，几秒后， 的面积等于 ？
(2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、 为半径的 与 相切，求t值；
(3)若以Q为圆心， 为半径作⊙Q．如图3，若 与四边形 的边有三个公共点，则t的取值范围
为 ．（直接写出结果，不需说理）
62．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】
（教材P74第10题）如图①，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ． 和 相等
吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）
【逆向思考】
(1)如图（1）， 为 内一点， 的延长线交 的外接圆于点 ．若 ，求证： 为
的内心；
【拓展提高】
(2)如图（2）， 的半径长为5，弦 ，动点 在优弧 上（不与 、 重合）， 是 的内
心．
①点 到 上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
② 的最大值为______．
63．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）【认识】如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好
圆”，矩形是圆的“友好矩形”．
【理解】
（1）如图①，四边形 是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知 ，则它有
___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）；
【思考】
（2）如图③，矩形 中， ， ， 是矩形 中经过点C、B的“友好圆”，求
的半径．
【探究】
（3）如图④，已知矩形 ，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，
不写步骤）
64．（2024·江西南昌·模拟预测）定理证明：
（1）如图1， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： ；
定理应用：
（2）如图2， 是⊙ 的内接等腰三角形， ， ， 是 的切线，若
，求四边形 的面积．
压轴满分题十七、弧长、扇形与圆锥相关的计算
65．（2024·广东惠州·三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，弦 于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．
(1)填空： °；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．
66．（2024·贵州黔东南·一模）如图， 为 的弦， 为 的直径， 与 相交于点 ，连接
， ， ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图中阴影部分的面积．
67．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为 的圆形滤纸片按图1所示的
步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 长为 ，开口圆的直径为 ．当滤纸
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
管口处），请你用所学的数学知识说明；(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 ，开口圆的直径为 ，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
68．（2024·山东临沂·二模）如图， 是直角三角形， ，利用直尺和圆规按下列要求作图，
并在图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）①作 的平分线，交 于点 ；②以 为圆心， 为半径作圆．
【综合运用】
在你所作的图中，
（2） 与 的位置关系并加以证明．
（3）若 ， ，求 的半径．
（4）在（3）的条件下，求以 为轴把 旋转一周得到的圆锥的侧面积和全面积．
