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七年级下册数学《第六章 实数》
6.1 平 方 根
算术平方根的定义和性质
知识点一
◆1、算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
√a
a的算术平方根记作： ，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)
√a
x叫做a的算术平方根，记作：x= .
√0
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即a≥0.
√a
②一个非负数的算术平方根也是非负数，即 ≥0.
◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平
方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和 0有算术平方根，负数没有算术平方
根.
◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【注意】
√a 实际上省略了√2a中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此 √a
也读作：“二次根号
a”.
算术平方根的估算
知识点二
◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一
点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.
用计算器求算术平方根
知识点三◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我
们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根.
√
◆2、大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
平方根的定义和性质
知识点四
◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这
就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求
一个数的平方根.
√a √a
◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为 ，正数a的负的平方根，可以表示为- .
√a
正数a的平方根可以用± 表示，读作“正、负根号a”．
◆4、算术平方根与平方根的联系和区别：
联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.
（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根， 但正数算术平方根只有一个.
（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为 ，正数a的平方根表示为 ；
◆5、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.题型一 求一个数的算术平方根
【例题1】求下列各数的算术平方根：
1 3
（1）144； （2）0.49； （3）6 ； （4）（− ）2．
4 2
【分析】根据开方运算，可得算术平方根．
【解答】解：（1）√144=√122=12；
（2）√0.49=√0．72=0.7；
√ 1 √25 √ 5 5
（3） 6 = = ( ) 2= ；
4 4 2 2
√ 3 3 3
（4） (− ) 2=|− |= ．
2 2 2
【点评】本题考查了算术平方根，开方运算是解题关键．解题技巧提炼
根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方
根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根
是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.
【变式1-1】（2022秋•宁强县期末）√9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【分析】根据算术平方根定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴√9=3，
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定
义是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•泰山区校级期末）√16的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵√16=4，4的算术平方根为2，
∴√16的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋•伊川县期末）√36的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C．±√6 D．√6
【分析】先求出36的算术平方根√36=6，然后再求6的算术平方根即可．
【解答】解：∵√36=6，
∴6的算术平方根为√6．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
【变式1-4】（2022•济宁三模）若√a=5，则a的值为（ ）A．10 B．√5 C．25 D．±25
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵52＝25，
∴若√a=5，则a的值为25．
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根的定义．
【变式1-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y=√(−3) 2，那么xy等于（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【分析】根据算术平方根以及有理数乘方的定义求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x＝﹣22，y=√(−3) 2，
∴x＝﹣4，y＝3，
∴xy＝﹣4×3＝﹣12，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，有理数的乘方，理解算术平方根的定义以及有理数乘方的计算方法是正
确解答的前提．
【变式1-6】求下列各式的值：
√25
（1）√144； （2） ； （3）√10000； （4）√0.0049．
49
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．注意：√a2=|a|．
【解答】解：（1）原式=√122=12；
√ 5 5
（2）原式= ( ) 2= ；
7 7
（3）原式=√1002=100；
（4）原式=√0.072=0.07．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键．题型二 算术平方根的非负性
【例题2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+√b+2=0，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据平方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再将a，b的值代入a+b中即可求解．
【解答】解：∵（a﹣1）2+√b+2=0，
（a﹣1）2≥0，√b+2≥0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性以及有理数的加法，掌握平方和算术平方根的非负
性以及有理数的加法法则是解题的关键．
解题技巧提炼
1、算术平方根√a具有双重非负性,即被开方数a≥0且√a≥0，√a 中隐含条件
a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.
【变式2-1】（2022秋•桂平市期末）若√m+2+(n−3) 2=0，则mn的值是 ．
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵√m+2+（n﹣3）2＝0，，√m+2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+2＝0，n﹣3＝0，
解得m＝﹣2，n＝3，
∴mn＝（﹣2）3＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．【变式2-2】（2022秋•薛城区校级月考）已知实数x，y满足|x+3|+√y−2=0，则代数式（x+y）2022的值
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵足|x+3|+√y−2=0，足|x+3|≥0，√y−2≥0，
∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣3，y＝2，
∴（x+y）2022＝（﹣3+2）2022＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式2-3】已知a，b为实数，且√1+a+√1−b=0，则a2022﹣b2023＝ ．
【分析】依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再利用有理数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵√1+a+√1−b=0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2022﹣b2023＝（﹣1）2018﹣12019＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，依据非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．
【变式2-4】（2022春•蜀山区校级期中）若√a−1与|b+√2|互为相反数，则a+b的绝对值为（ ）
A．1−√2 B．√2−1 C．√2+1 D．√2
【分析】根据题意可得√a−1+|b+√2|＝0，从而可得a﹣1＝0，b+√2=0，然后求出a，b的值，再根据
绝对值的意义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
√a−1+|b+√2|＝0，
∴a﹣1＝0，b+√2=0，
∴a＝1，b=−√2，
∴|a+b|＝|1−√2|=√2−1，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．
【变式2-5】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足(x−5) 2+√y+2=0，则xy的算术平方根为 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用负整数指数幂的性质、算术平方根的定义分析
得出答案．
【解答】解：∵(x−5) 2+√y+2=0，
∴x﹣5＝0，y+2＝0，
解得：x＝5，y＝﹣2，
1
故xy＝5﹣2= ，
25
1
则xy的算术平方根为： ．
5
1
故答案为： ．
5
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
1
【变式2-6】（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若√a−2+|2b− |+(c+2a) 2=0，则
2
a−c
的值等于（ ）
a+4b
2
A．1 B．− C．2 D．﹣2
3
a−c
【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出 a，b，c的值，再将a，b，c代入 中即
a+4b
可求解．
1
【解答】解：∵√a−2+|2b− |+(c+2a) 2=0，
2
1
√a−2≥0，|2b− |≥0，（c+2a）2≥0，
2
1
∴a﹣2＝0，2b− =0，c+2a＝0，
2
1
∴a＝2，b= ，c＝﹣4，
4a−c 2−(−4) 2+4
= = =
∴a+4b 1 2+1 2，
2+4×
4
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方，绝对值和算术平方根的非负性，掌握平方，绝对值和算术平方根的非负
性是解题的关键．
题型三 估算算术平方根
【例题3】已知：x＜√21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（ ）
A．x＝2，y＝3 B．x＝3，y＝4 C．x＝4，y＝5 D．x＝5，y＝6
【分析】根据√16＜√21＜√25，即可得出x、y的值．
【解答】解：∵√16＜√21＜√25，
∴x＝4，y＝5；
故选：C．
【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．
解题技巧提炼
估算√a（a≥0）时，首先要确定√a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出√a
在哪两个连续的整数之间，从而确定√a的整数部分和小数部分.
【变式3-1】（2021秋•兰西县期末）估计√40的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【分析】根据算术平方根的意义，估算√40的近似值即可．
【解答】解：∵√36＜√40＜√49，
∴6＜√40＜7，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根的估算，理解算术平方根的意义是解决问题的前提，掌握“平方数”是正
确解答的关键．【变式3-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：√18，
∵√16＜√18＜√4．52，
∴4＜√18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【变式3-3】（2021春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜√39＜y，则x+y＝
．
【分析】通过√36＜√39＜√49求解．
【解答】解：∵√36＜√39＜√49，
∴6＜√39＜7，
∴x＝6，y＝7，
∴x+y＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
【变式3-4】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜√20＜y，则5x+y的值为
．
【分析】先求出√20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．
【解答】解：∵4＜√20＜5，
∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，
∴5x+y的平方根是±5，
故答案为：±5．
【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
题型四 利用估算比较大小
【例题4】通过估算，比较下列各组数的大小：
（1）6 √35； （2）√8 √10；
√5−1 √3+1 1
（3） 1； （4） 1 ．
2 2 2
【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；
（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；
（3）先估算出√5的值的范围，再估算出√5−1的值的范围，进行计算即可解答；
（4）先估算出√3的值的范围，再估算出√3+1的值的范围，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵62＝36，（√35）2＝35，
∴36＞35，
∴6＞√35，
故答案为：＞；
（2）∵8＜10，
∴√8＜√10，
故答案为：＜；
（3）∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2，
1 √5−1
∴ ＜ ＜1，
2 2
故答案为：＜；
（4）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴2＜√3+1＜3，√3+1 3
∴1＜ ＜ ，
2 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．
解题技巧提炼
利用估算比较大小的常用方法有：（1）平方法：两数平方后再比较大小；
（2）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；
（3）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的
大小，从而确定它们的大小.
【变式4-1】比较下列各组数的大小：
√5+1
（1）√120与11． （2） 与2．
2
【分析】（1）根据11=√121，即可进行比较；
4
（2）先通分，可得2= ，再比较分子√5+1与4的大小即可求解．
2
【解答】解：（1）∵11=√121，120＜121，
∴√120＜11．
4
（2）∵2= ，√5+1＜4，
2
√5+1
∴ ＜2．
2
【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方
法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．
【变式4-2】比较下列各组数的大小
（1）√8与√10； （2）√65与8；
√5−1 √5−1
（3） 与0.5； （4） 与1．
2 2
【分析】（1）根据8＜10，即可解答；
（2）根据8=√64，即可进行比较；（3）求出2＜√5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；
（4）求出2＜√5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．
【解答】解：（1）∵8＜10，
∴√8＜√10；
（2）∵√64=8，64＜65，
∴√65＞√64，
∴√65＞8；
（3）∵2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2，
1 √5−1
∴ ＜ ＜1，
2 2
√5−1 1
∴ ＞ ．
2 2
（4）∵2＜√5＜3，
∴1＜√5−1＜2，
1 √5−1
∴ ＜ ＜1，
2 2
√5−1
∴ ＜1．
2
【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．
题型五 利用计算器进行规律探究
【例题 5】（2022 春•渝中区校级月考）若√51.11≈7.149，√511.1≈22.608，则√511100的值约为
（ ）
A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8
【分析】将√511100转化为√51.11×10000，进而得出√51.11×100即可．
【解答】解：√511100=√51.11×10000=√51.11×100≈7.149×100＝714.9，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）100倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键．
解题技巧提炼
1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根
的小数点相应向左（右）移动一位.
2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的
结果进行比较，从中发现规律.
【变式5-1】（2022春•甘井子区期末）已知√2≈1.414，√20≈4.472，那么√2000≈（ ）
A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2
【分析】根据题意，利用算术平方根性质判断即可确定出结果．
【解答】解：∵√20≈4.472，
∴√2000≈44.72．
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解本题的关键．
【变式5-2】（2021春•淮南月考）已知√2021≈44.96，√202.1≈14.22，则√20.21≈（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
【解答】解：∵√2021≈44.96，
∴√20.21≈4.496．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
【变式5-3】（2022秋•衡阳县期中）已知√4.3≈2.0736，√43≈6.5574，下列运算正确的是（ ）
A．√0.43≈0.65574 B．√430≈65.574
C．√4300≈20.736 D．√43000≈2073.6
【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．
【解答】解：∵√4.3≈2.0736，√43≈6.5574，
√ 1 √ 1 1
A．√0.43≈ 43× ≈√43× ≈6.5574× ≈0.65574，选项A符合题意；
100 100 10
B．√430≈√4.3×100≈√4.3×√100≈2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意；
C．√4300≈√43×100≈√43×√100≈6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意；D．√43000=√4.3×10000=√4.3×√10000≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈ ，√500≈ ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由√240=√4×60=√4×√60代入计算即可得出答案，由√0.54=√9×0.06=√9×√0.06根据
（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解答】解：（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈0.2236，√500≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（3）√240=√4×60=√4×√60≈2×7.746≈15.492，
√0.54=√9×0.06=√9×√0.06≈3×0.2449≈0.7347．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
【变式5-5】根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
（1）289的算术平方根是 ，√268.96= ；
（2）±√256= ，275.56的平方根是 ；
（3）√1.5921= ，√28224= ；
（4）若√x=a（x＞0），则√100x= （用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；
（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；
（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；
（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．【解答】解：（1）由表中的数据可得，
289的算术平方根是17，√268.96=16.4，
故答案为：17，16.4；
（2）由表中的数据可得，
±√256=±16，275.56的平方根是±16.6，
故答案为：±16，±16.6；
（3）由表中的数据可得，
159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，
∴√1.5921=1.61，√28224=168，
故答案为：1.61，168；
（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，
若√x=a（x＞0），则√100x=10a（用含a的式子表示）．
故答案为：10a．
【点评】本题考查算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题关键．
题型六 算术平方根的实际应用
【例题6】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造
一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造
符合要求的篮球场？并说明理由．
【分析】通过用同一未知数表示出篮球场的长和宽，列方程进行求解．
【解答】解：不能，理由如下：
设长方形标准篮球场的长为5xm．宽为3xm，
由题意得：5x×3x＝540，
解得：x＝﹣6（舍去）或6，
即长方形标准篮球场的长为30m，宽为18m，
∵18m＞16m，
∴该学校不能用这块长方形空地建造符合要求的篮球场．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确得出x的值是解题的关键．解题技巧提炼
算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式
或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.
【变式6-1】（2021秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他
们总结了一个经验公式：v＝16√df，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离
（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为
80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？
【分析】此题只需把d＝25米＝0.025千米，f＝1.44，代入v＝16√df，求得v的值后，再进一步和80千
米比较，作出判断即可．
【解答】解：v＝16√df =16×√0.025×1.44=16×0.5√10×1.2＝9.6√10＜80，
答：肇事汽车当时的速度是9.6√10千米/时，此车没有超速行驶．
【点评】此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．
【变式6-2】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有
√ℎ
关系式，t= ，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
5
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【分析】将h＝120代入计算得到t的值，再利用无理数的估算即可得出结论．
【解答】解：∵h＝120米，
√120
∴t= =√24．
5
∵√24与√25=5最接近，
∴球落地所用时间t与5秒最接近，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，正确利用无理数的估算解答是解题的关键．
【变式6-3】（2021秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行
拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积
为19，则图乙中AD的长为（ ）A．2√19+2 B．√19+4 C．2√19+4 D．√19+2
【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x﹣2，根据其面积为19得出（x﹣2）2＝19，
利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由BC＝2x可得答案．
【解答】解：设木块的长为x，
根据题意，知：（x﹣2）2＝19，
则x﹣2＝±√19，
∴x＝2+√19或x＝2−√19＜2（舍去），
则BC＝2x＝2√19+4，
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．
【变式6-4】（2022春•思明区校级期中）如图，用两个边长为√18cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正
方形，（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，
若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边
长；
（2）先设未知数根据面积＝30cm2列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再
判断即可．
【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：2×(√18) 2=36（cm2），
∴拼成的大正方形的面积是36cm2，
∴大正方形的边长是6cm；
故答案为：6；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，则3x•2x＝30，
解得：x=√5，
3x＝3√5＞6，
所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为30cm2．
【点评】本题考查了算术平方根实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【变式6-5】（2022春•兖州区期末）阅读下面对话，然后解答问题：
你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．
【分析】设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，求得x的值，进而得出长方形的宽为2x＝10√2cm，再
根据面积为225cm2的正方形的边长为√225=15cm，即可得出结论．
【解答】解：不同意，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
理由：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，依题意得：
3x•2x＝300，
解得x＝±5√2，
∵x＞0，
∴x=5√2，
∴宽为2x＝10√2cm，
又∵面积为225cm2的正方形的边长为√225=15cm，
∴10√2＜15，
∴沿着边的方向不能用这块纸片裁出符合要求的正方形纸片．
【点评】本题考查的是算术平方根的概念，正确运用算术平方根的概念求出正方形的边长是解题的关键．题型七 平方根及算术平方根的认识
【例题7】（2022秋•泰山区期末）下列说法正确的是（ ）
1 1
A． 的平方根是
25 5
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
【分析】根据平方根的定义对A选项和C选项进行判断；根据算术平方根的定义对B选项进行判断；根
据0的平方根为0和算术平方根为0对D选项进行判断．
1 1
【解答】解：A． 的平方根为± ，所以A选项不符合题意；
25 5
B．﹣25没有算术平方根，所以B选项不符合题意；
C． （﹣5）2＝25，25的平方根为±5，所以C选项不符合题意；
D．0的平方根为0，0的算术平方根为0，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫
做a的算术平方根．也考查了平方根．
解题技巧提炼
±√a（a≥0）表示非负数的a的平方根，√a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
【变式7-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（ ）
A．√144=12 B．√144=±12 C．±√144=±12 D．±√144=12
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：144的平方根是±12的数学表达式是±√144=±12，故选：C．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义以及表示方法是正确解答的前提．
【变式7-2】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（ ）
1 1
A． 的平方根是± B．√9的平方根是±3
4 2
1 1
C．− 是 的一个平方根 D．9的平方根是±3
2 4
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根据平方根的意
义解题即可．
1 1
【解答】解：A． 的平方根是± ，该选项正确，故本选项不符合题意；
4 2
B．√9的平方根是±√3，该选项错误，故本选项符合题意；
1 1
C．− 是 的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意；
2 4
D．9的平方根是±3，该选项正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．
1
【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是± 的数是（ ）
3
1 1 1 1
A． B． C． D．±
3 6 9 9
【分析】根据平方根的定义即可求解．
1 1
【解答】解：∵（± ）2= ，
3 9
1 1
∴平方根是± 的数是 ，
3 9
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
【变式7-4】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（ ）
A．6 B．±6 C．±√6 D．36
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：（﹣6）2＝36，36的平方根是±6，
故选：B．【点评】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
【变式7-5】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2
【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．
【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，
∴x+4＝2或x+4＝﹣2，
∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
【变式7-6】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的
平方根是（ ）
A．±√a−1 B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±√a2−1
【分析】由一个自然数的一个平方根是 a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一
个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．
【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是±√a2−1，
故选：D．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
题型八 求一个数的平方根
【例题8】求下列各数的平方根：
25
（1） （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4）√49
49
【分析】（1）（2）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；（3）先求出（﹣9）2＝81，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果；
（4）先求出√49=7，再根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数计算结果．
25 5
【解答】解：（1） 的平方根是± ；
49 7
（2）0.36的平方根是±0.6；
（3）∵（﹣9）2＝81，
∴（﹣9）2的平方根是±9；
（4）∵√49=7，
∴√49的平方根是±√7．
【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．
解题技巧提炼
本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据
定义即可求出它的平方根.
【变式8-1】（2022•成武县开学）求下列各数的平方根：
7
（1）121； （2）2 ； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3．
9
【分析】（1）直接利用平方根的定义得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案；
（3）直接利用有理数的平方计算，再利用平方根的定义得出答案；
（4）直接利用立方根的定义化简，再利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）∵（±11）2＝121，
∴121的平方根是±11；
7 25
（2）2 = ，
9 9
5 25
因为(± ) 2= ，
3 9
7 5
所以2 的平方根是± ；
9 3（3）（﹣13）2＝169，
因为（±13）2＝169，
所以（﹣13）2的平方根是±13；
（4）﹣（﹣4）3＝64，
因为（±8）2＝64，
所以﹣（﹣4）3的平方根是±8．
【点评】此题主要考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键．
【变式8-2】求下列各式的值：
√25
（1）−√196； （2）± ； （3）√2−1.75； （4）±√(−8) 2．
4
【分析】（1）根据算术平方根定义计算；
（2）根据平方根定义计算；
（3）根据算术平方根定义计算；
（4）根据平方根定义计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣14；
5
（2）原式＝± ；
2
（3）原式＝0.5；
（4）原式＝±8．
【点评】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根定义，根据定义计算是解题关键．
题型九 利用平方根或算术平方根的定义求值
【例题9】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值
为（ ）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4
【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．
【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．
∵b的一个平方根是2，
∴b＝4．
∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；
当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得a、b的值是解题的关键．
解题技巧提炼
运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的
值是数学中常用的方法.
【变式9-1】（2021秋•仁寿县期末）已知a的平方根是2m﹣2和4﹣m，a是（ ）
A．36 B．4 C．36或4 D．2
【分析】根据平方根的定义可知：2m﹣2和4﹣m互为相反数，相加为0，可得m的值，再求出2m﹣2
的值，最后求出a的值．
【解答】解：根据题意得：2m﹣2+4﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，
当m＝﹣2时，
2m﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，
∴a＝36．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是正确判断的前提．
【变式 9-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3xmy 和 5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是
（ ）
A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8
【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，
可得m、n的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：∵﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，∴﹣3xmy和5x3yn是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，
因此成了中考的常考点．
【变式 9-3】（2021秋•高新区校级月考）已知 2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+√c+4=0，求
a+3b+c的算术平方根．
【分析】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，
然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵|b﹣1|+√c+4=0，且|b﹣1|≥0，√c+4≥0，
∴b﹣1＝0，c+4＝0，
解得：b＝1，c＝﹣4，
∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，
√4=2，
∴a+3b+c的算术平方根是2．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非
负性是解题关键．
【变式 9-4】（2021 春•饶平县校级期中）若 x，y 均为实数，且√x−1+√1−x+2y﹣1＝0，求
√15x+2y的平方根．
【分析】根据被开方数是非负数且它们互为相反数，可得被开方数为 0，据此可求x，进一步求出y，再
代入计算即可求出答案．
【解答】解：∵√x−1+√1−x+2y﹣1＝0，
∴x﹣1≥0，1﹣x≥0，
解得x＝1，
∴2y﹣1＝0，
1
∴y= ，
2∴√15x+2y=√15+1=√16=4，
∴√15x+2y的平方根为±2．
【点评】本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．
【变式9-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出 b，再根据算术平方根的定义求出 a，然后相加求出
a+b，再根据平方根的定义解答．
（2）根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
23
∴a= ，
3
23
（2）∵a= ，b＝2，
3
56
∴4a﹣6b= ，
3
2√42
∴4a﹣6b的平方根为± ．
3
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式9-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±√17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b
的平方根．
【分析】先根据平方根和算术平方根的定义得出 a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，解出a和b的值，代入
a+4b值求值，再求平方根即可．
【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，
解得a＝9，b＝10，∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，
∴a+4b的平方根是±7．
【点评】本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出 a、b的值是解题的关键．
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
题型十 利用平方根解方程
【例题10】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81．
【分析】（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；
（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．
【解答】解：（1）169x2＝100，
100
x2=
，
169
√100
x=± ，
169
10
∴x=± ；
13
（2）（x+1）2＝81，
x+1=±√81，
x+1＝±9，
x＝8或﹣10．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．解题技巧提炼
先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值.
【变式10-1】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2+8＝72；
1
（3）3（x+2）2﹣27＝0； （4） （x﹣5）2＝8．
2
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，
25
两边都除以9得，x2= ，
9
5
由平方根的定义得，x＝± ；
3
（2）（x﹣1）2+8＝72，
移项得，（x﹣1）2＝72﹣8，
合并同类项得，（x﹣1）2＝64，
由平方根的定义得，x﹣1＝±8，
即x＝9或x＝﹣7；
（3）移项得，3（x+2）2＝27，
两边都除以3得，（x+2）2＝9，
由平方根的定义得，x+2＝±3，
即x＝1或x＝﹣5；
（4）两边都乘以2得，（x﹣5）2＝16，
由平方根的定义得，x﹣5＝±4，
即x＝9或x＝1．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．
【变式10-2】（2021秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：3 1
（1）25（x− ）2＝49； （2） （x+1）2＝32．
5 2
【分析】（1）根据平方根的概念解方程；
（2）根据平方根的概念解方程．
3
【解答】解：（1）25（x− ）2＝49，
5
3 49
（x− ）2= ，
5 25
3 7
x− =± ，
5 5
3 7 3 7
x− = 或x− =− ，
5 5 5 5
4
解得：x ＝2，x =− ；
1 2 5
1
（2） （x+1）2＝32，
2
1
（x+1）2＝32÷ ，
2
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x ＝7，x ＝﹣9．
1 2
【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．
【变式10-3】已知a，b满足|a﹣4|+√b−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b．
【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质得出a，b的值，进而代入解方程即可．
【解答】解：由题意得：a﹣4＝0，b﹣7＝0，
∴a＝4，b＝7，
将a＝4，b＝7代入（a﹣3）x2﹣1＝5b，得
（4﹣3）x2﹣1＝5×7
∴x2＝36，
解得：x＝±6．
【点评】此题主要考查了算术平方根以及绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．
