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专项 03 三角形角度计算常考模型
【考点1 “8字”模型】
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【考点2 飞镖模型】
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【考点3 “风筝”模型】
【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【考点1 “8字”模型】
【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，
我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平
分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着
怎样的数量关系．
【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45° （3）2∠P＝∠B+∠D
【解答】解：（1）由题知，∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）由（1）可得，∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B，①
同理可得，∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P，
∵∠DAB和∠BCD的平分线是AP和CP，
∴ ∠DAO+∠D＝ ∠OCB+∠P，②
由②×2﹣①得，∠D＝2∠P﹣∠B，
即2∠P＝∠D+∠B，
∴2∠P＝50°+40°，
故∠P＝45°；
（3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D．
【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠ 的度数是（ ）
αA．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D
∴30°+20°＝40°+ ，
∴ ＝10° α
故α选：A．
【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC
交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B
【变式 1-3】（2022 春•渝中区校级期中）如图，五角星的五个角之和，即：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ）
A．180° B．90° C．270° D．240°
【答案】A
【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，
由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，
即五角星的五个内角之和为180°．
故选：A．
【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．【答案】360
【解答】解：如图，延长DE交AB于点G，
由三角形外角性质可知：
∠1＝∠F+∠DEF，∠2＝∠1+∠A，
∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A，
∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知：
∠B+∠C+∠D+∠2＝360°，
∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．
故答案为：360．
【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
【答案】180
【解答】解：如图，设线段BD，BE分别与线段AC交于点N，M．∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，
故答案为：180．
【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我
们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的
平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着
怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【考点2 飞镖模型】
【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学
习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说
明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经
过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求
∠DCE的度数．
【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝ ∠ADB，∠AEC＝ ∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝ ＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线
上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．15° C．30° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度
数是（ ）
A．33° B．23° C．27° D．37°
【答案】B
【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，
∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，
∵∠BDC＝98°，
∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．
故选：B．
【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点 C是∠BAD内一点，连CB、CD，
∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【解答】解：延长BC交AD于E，
∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一个外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故选：C．
【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分
线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．【答案】80°
【解答】解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故答案为：80°．
【考点3 “风筝”模型】
【典例3】（2020秋•五华区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝ ＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落
在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．60°
【答案】A
【解答】解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，
∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．
∴∠B＝30°，
故选：A．
【变式3-2】（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC
外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，那么下列式子中正确
的是（ ） α β γA． ＝2 + B． ＝ +2 C． ＝ + D． ＝180°﹣ ﹣
【答γ案】αAβ γ α β γ α β γ α β
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
∴∠BDAα'＝ ＝ + + ＝β2 + ， γ
故选：A． γ α α β α β
【典例4】（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点
N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使
得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为
（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°【答案】A
【解答】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
【变式4-1】（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC
上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为
（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故选：B．
【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C
落在点C'处，若设∠C＝ ，∠AEC′＝ ，∠BDC'＝ ，则下列关系成立的是（ ）
α β γ
A．2 ＝ + B． ＝ + C． + + ＝180° D． + ＝2
【答案α】β γ α β γ α β γ α β γ
【解答】A解：由折叠的性质知：∠C＝∠C′＝ ．
∵∠AEC′+∠CEC′＝180°，∠BDC′+∠CDCα′＝180°，
∴ ＝180°﹣∠CEC′， ＝180°﹣∠CDC′．
∴β+ ＝360°﹣∠CEC′γ﹣∠CDC′．
∵β∠Cγ+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°，
∴2 ＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．
∴ α+ ＝2 ．
故β选：γ A．α
【变式4-3】（2021春•通许县期末）如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重
合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（ ）A．25° B．65° C．115° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成，
∴∠AED＝∠NED，∠ADE＝∠NDE，∠A＝∠N＝65°，
∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．
故选：D．
12．（2021秋•广州期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE
对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
13．（2022春•晋江市期末）如图，把三角形纸片 ABC沿DE折叠，当点A落在四边形
BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
【答案】A
【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′＝∠A，
又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，
∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，
即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，
整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．
∴∠A＝ （∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．18．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
【答案】360
【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．
故答案为：360．
19．（2021秋•海珠区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
【答案】360°
【解答】解：连接AD，
在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠B+∠C＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，
∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，
∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
20．（2020•开福区校级开学）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为 ．
【答案】360°
【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B，∠EPC＝∠C+∠D，∠AOE＝∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．
故答案为：360°．
21．（2020春•昌黎县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
【答案】360
【解答】解：如右图所示，
∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
22．（2017秋•磴口县校级期中）如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC
＝ 度，∠BOC＝ 度．
【答案】78°，110°
【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°，
∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．
23．（2021春•江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片
一角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝ ．
【答案】30°
【解答】解：设折痕为EF，连接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1+∠2＝2∠ECF，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，
∴∠1＝80°﹣50°＝30°，
故答案为：30°
24.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应
分别是20°和30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？
请解释你的结论；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理
由）．
【解答】解：（1）不合规格．理由如下：
连接 AC 并延长到点 E，则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝
∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．
（2）根据第（1）小题的求解过程，不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．25．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：
（1）如图 1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2等于
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系
是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并
说明理由．
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
26．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排
了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于 180°．小颖通
过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角
形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作
EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称
之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关
系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明
理由．
【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
27．（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上结论解决下列问题：
（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相
交于点M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB”，试直接写出
∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣
∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，
∴∠A+∠E+∠D＝∠3，
∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，
∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，
∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，
∵∠B+∠C＝∠1＝130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．
故答案为：260°．
（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝ （∠B+∠C）＝ （100°+120°）＝110°；
②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，
∴∠BAP＝ ∠CAB，∠BDP＝ ∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝ （∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝ （∠CDB﹣∠CAB）．
∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴4∠P＝∠B+3∠C．
