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专项 03 三角形角度计算常考模型
【考点1 “8字”模型】
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【考点2 飞镖模型】
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【考点3 “风筝”模型】
【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P【考点1 “8字”模型】
【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，
我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平
分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着
怎样的数量关系．
【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠ 的度数是（ ）
α
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC
交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【变式 1-3】（2022 春•渝中区校级期中）如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ）
A．180° B．90° C．270° D．240°
【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我
们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的
平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着
怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【考点2 飞镖模型】
【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说
明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经
过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求
∠DCE的度数．
【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线
上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．15° C．30° D．25°
【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度
数是（ ）
A．33° B．23° C．27° D．37°
【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点 C是∠BAD内一点，连CB、CD，
∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（ ）A．110° B．120° C．130° D．150°
【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分
线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝ ．
【考点3 “风筝”模型】
【典例3】（2020秋•五华区期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落
在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．32° C．35° D．60°
【变式3-2】（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC
外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，那么下列式子中正确
α β γ的是（ ）
A． ＝2 + B． ＝ +2 C． ＝ + D． ＝180°﹣ ﹣
【典例γ4】（α2β021春•高州市期γ 末α）如β图，小明从一张γ 三α角β形纸片ABC的AγC边上选取α 一β点
N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使
得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为
（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【变式4-1】（2021春•济南期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC
上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为
（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C
落在点C'处，若设∠C＝ ，∠AEC′＝ ，∠BDC'＝ ，则下列关系成立的是（ ）
α β γA．2 ＝ + B． ＝ + C． + + ＝180° D． + ＝2
【变式4α-3】β（γ2021春•通许县α期β末γ）如图所示，将△α AβBCγ沿着DE折叠，α使β点Aγ与点N重
合，若∠A＝65°，则∠1+∠2＝（ ）
A．25° B．65° C．115° D．130°
1．（2021秋•广州期中）如图，三角形纸片 ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE
对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2022春•晋江市期末）如图，把三角形纸片 ABC沿DE折叠，当点A落在四边形
BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
3．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
4．（2021秋•海珠区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
5．（2020•开福区校级开学）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为 ．6．（2020春•昌黎县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
7．（2017秋•磴口县校级期中）如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC
＝ 度，∠BOC＝ 度．
8．（2021春•江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一
角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝ ．
9.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？
请解释你的结论；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理
由）．
10．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：
（1）如图 1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2等于
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系
是
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并
说明理由．11．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排
了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于 180°．小颖通过
探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的
一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：
（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作
EF∥BC．
（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称
之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关
系： ；
（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、
AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明
理由．
12．（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上结论解决下列问题：
（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相
交于点M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．
②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB”，试直接写出
∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
