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专项 02 三角形综合能力提升训练
一．选择题（共17小题）
1．某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度
数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：延长DC交AB于E，
∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠BCD＝110°，∠B＝20°，
∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°，
∵∠CEB＝∠A+∠D，∠D＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边
AC的点E处．若∠ADE＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．24° B．32° C．38° D．48°
【答案】C【解答】解：∵∠ADE＝24°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝156°，
∵将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处，
∴∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝∠EDC＝ ∠BDE＝ ＝78°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ACB＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADE﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣78°﹣24°＝38°，
故选：C．
3．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝
40°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，
∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．
又∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．
∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．
同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．
∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．
∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，
∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．
∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．
∴∠A+∠C＝2∠P．
又∵∠A＝45°，∠P＝40°，
∴∠C＝35°．
故选：B．4．如图，已知AB∥DC，Rt△FEG直角顶点在CD上，已知∠FEC＝35°，则∠GHB＝（
）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵∠FEG＝90°，
∴∠GED+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝35°，
∴∠GED＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠GHB＝∠GED＝55°．
故选：C．
5．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于
点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（ ）
A．22° B．27° C．30° D．37°
【答案】B
【解答】解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，
∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ （96°﹣30°）＝33°，
∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，
∠COM＝90°﹣33°＝57°，
∵∠NOA与∠COM互为对顶角，
∴∠NOA＝∠COM＝57°，
∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．
故选：B．
6．如图①、②中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O +∠O 的度数为（ ）
1 2
A．111 B．174 C．153 D．132
【答案】D
【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．
∵∠1＝∠2＝ ∠ABC，∠3＝∠4＝ ∠ACB，
∴∠2+∠4＝69°．
∵∠2+∠4+∠O ＝180°，
1
∴∠O ＝180°﹣69°＝111°．
1
∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝42°+∠ABC，
又∵∠1＝∠2＝ ∠ABC，∠3＝∠4＝ ∠ACD，
∴∠4＝ （42°+∠ABC）＝21°+ ∠ABC．
∵∠4＝∠2+∠O ．
2
∴∠O ＝∠4﹣∠2
2＝21°+ ∠ABC﹣ ABC
＝21°
∴∠O +∠O ＝111°+21°＝132°．
1 2
故选：D．
7．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分
∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F
的度数（ ）
A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°
【答案】D
【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，
∴∠AMN＝∠O+∠ONM，
∵∠EMN是△FMN的外角，
∴∠EMN＝∠F+∠FNM，
∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，
∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，
∴∠O＝2∠F，
∴∠F＝30°．
故选：D．
8．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（ ）
A．50° B．45° C．65° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝ ∠ABC，∠BCF＝ ∠ACB．
∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，
∴∠EBC+∠FCB＝65°．
∴∠ABC+∠ACB＝130°．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝50°．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．
∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点 A ，得∠A ；
1 1
∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ；…；∠A BC与∠A CD的平分线
1 1 2 2 2021 2021
相交于点A ，得∠A ，则∠A 是（ ）度．
2022 2022 2022A． x B． x C． x D． x
【答案】C
【解答】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠A CD是△A BC的外角，
1 1
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠A ＝∠A CD﹣∠A BC，
1 1 1
∵BA 和CA 分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
1 1
∴∠A BC＝ ∠ABC，∠A CD＝ ∠ACD，
1 1
∴∠A ＝ ∠ACD﹣ ∠ABC＝ ∠A＝ x°，
1
同理可得，∠A ＝ ∠A ＝ × x°，∠A ＝ ∠A ＝ × × x°，…，
2 1 3 2
∴∠A ＝ x°，
2022
故选：C．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿
DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∠B＝70°，
∴∠A＝20°．
∵△DEF是由△DEA折叠成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．
∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣2∠1．
∵∠CEF+∠CED＝∠DEF＝∠3，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠A．
∴∠CEF＝∠3﹣∠CED．
＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A
＝180°﹣2∠1﹣2∠A
＝140°﹣2∠1．
∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）
＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1
＝40°．
故选：C．
12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，
则∠DCH的度数是（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝ ∠ACB＝25°．
∵CH⊥AB于点H，
∴∠CHB＝90°．
∴∠ACH＝∠CHB﹣∠A＝30°．
∴∠DCH＝∠ACH﹣∠ACD
＝30°﹣25°
＝5°．
故选：A．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段
BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°，
由折叠性质得：∠ABD＝∠A'BD，
∴∠ABC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD，
∴60°﹣∠CBD＝30°+∠CBD，
解得：∠CBD＝15°．
故选：C．
14．如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，
将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，
∠FEM＝24°，则∠EFC为（ ）A．48° B．72° C．108° D．132°
【答案】C
【解答】解：如图②，由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，
∵AE∥DF，
∴∠EFM＝24°，∠BMF＝∠DME＝48°，
∵BM∥CF，
∴∠CFM+∠BMF＝180°，
∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，
由折叠得：如图③，∠MFC＝132°，
∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，
故选：C．
15．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）A．30° B．45° C．20° D．22.5°
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，
∴∠A＝2×15°＝30°．
故选：A．
16．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠D＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝60°，
∵∠1+∠2＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°+55°＝115°，
∴∠A＝180°﹣115°＝65°，
故选：C．
17．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+ ∠ACD＝∠A+ ∠ABD，
即∠P＝50°﹣ （∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
18．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分
∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 ．【答案】120°
【解答】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝ ∠ABC，∠A'CB＝ ∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
19．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝
20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【答案】30【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
20．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与
∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确
的是 ．（填写所有正确结论的序号）
① ；② ；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°
+∠ABD．
【答案】①②④
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣ ×（180°﹣∠A）＝90°+ ∠A，故①正
确，
∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝ ∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D＝ ∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°+ ∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°﹣ ∠A+∠DBC+ ∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
21．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1所示），然后轻轻拉紧、压平就可
以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．【答案】36
【解答】解：∵∠ABC＝ ＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
22．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，
则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【答案】 n 2 +2 n
【解答】解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n•（n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
三．解答题（共8小题）
23．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝
FE．求∠ADC的度数．
【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．
24．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）课本原题再现：如图 1，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求
∠EAD的度数． （写出解答过程）
（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．
（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝
试写出∠B、∠C、∠EPD 之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理
求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可；
（ 2 ） 先 利 用 三 角 形 的 内 角 和 及 角 平 分 线 的 定 义 求 得 ∠ CAE ＝ 90°﹣
（∠ABC+∠ACB），再根据直角三角形的性质可得∠CAD＝90°﹣∠ACB，然后由
∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD代入计算可求解；
（3）过A作AG⊥BC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠EAC＝
90°﹣ ∠ABC﹣ ∠ACB，再根据直角三角形的性质可得∠GAC＝90°﹣∠ACB，进而
可求解．
25．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿
AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；
（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC
＝100°﹣80°＝20°．
26．如图，将长方形纸片ABCD（四个内角均为直角，两组对边分别平行）沿EF折叠后，
点C、D分别落在点M、N的位置，EN的延长线交BC于点G．
（1）若∠EFG＝68°，求∠AEN、∠BGN的度数；
（2）若点P是射线BA上一点（点P不与点A重合），过点P作PH⊥EG于H，PQ平
分∠APH，PQ与EF有怎样的位置关系？为什么？
【解答】解：（1）由折叠可知∠DEF＝∠GEF，
∵AD∥BC，
∴∠EFG＝∠DEF＝68°，
∴∠AEN＝180°﹣∠DEN＝44°，
∴∠BGN＝∠DEG＝136°；
（2）PQ⊥EF或PQ∥EF；
①点P在线段AB上，PQ⊥EF，
如图，设PQ交EF于点T，
∵PQ平分∠APH，
∴∠APQ＝∠HPQ，
设∠APQ＝∠HPQ＝ ，∠DEF＝∠GEF＝ ，
由题意可知∠A＝90°α， β
∵PH⊥EG，
∴∠PHE＝90°，
在四边形APHE中，∠A+∠APH+∠PHE+∠AEH＝360°
∴∠APH+∠AEG＝180°，
∵∠AEG＝180°﹣∠GED＝180°﹣2 ，
∴2 +180°﹣2 ＝180°， β
∴ α＝ ， β
∵α∠TEβA＝ ， +∠AKP＝90°，∠AKP＝∠TKE，
∴∠TKE+∠βKEαT＝90°，
∴∠KTE＝90°，
∴PQ⊥EF；
②点P在线段BA的延长线上，PQ∥EF，
如图，设PQ交EF于点T，
∵PQ平分∠APH，
∴∠APQ＝∠HPQ，
设∠APQ＝∠HPQ＝ ，∠DEF＝∠GEF＝ ，
由题意可知∠ABC＝9α0°， β
在四边形APHE中，∠A+∠BPH+∠PHG+∠BGH＝360°，
∴∠BGE+∠BFH＝180°，
∵长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠BGE＝∠GED＝2 ，
∴2 +2 ＝180°， β
∴ α+ ＝β90°，
∵α+β∠PTE＝90°，
∴α＝∠ETP，
即β∠GEF＝∠ETP，
∴PQ∥EF，
综上所述：点P在线段AB上，PQ⊥EF；点P在线段BA的延长线上，PQ∥EF．
27．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D＝90°+ ∠A的理由．解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ ），
所以∠D＝ （等式性质）．
即：∠D＝90°+ ∠A．
（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：
（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究
∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．
试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 ．
【解答】解：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝ ∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2＝ ∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（ 三角形的内角和等于
180° ），
所以∠D＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB） （等式性质）．
即：∠D＝90°+ ∠A．
故 答 案 为 ： ABC ， ACB ， 三 角 形 的 内 角 和 等 于 180° ， 180°﹣（∠ABC+∠ACB）．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣ ∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣ ∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣ ∠A；
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝ ∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D
∴∠A＝2∠D
即：∠D＝ ∠A．
故答案为：∠D＝ ∠A．
28．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点
D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说
明理由．【解答】解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD，
∴∠A＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，
∴∠A＝60°，
∴∠D＝30°；
（2）∠D＝ （∠M+∠N﹣180°）；
理由：延长BM、CN交于点A，
则∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（1）知，∠D＝ A，
∴∠D＝ （∠M+∠N﹣180°）．
29．a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为18，求c的值．
【解答】解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴ ，
解得：1＜c＜6；
（2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，
∴a+b+c＝4c﹣2＝18，
解得c＝5．
30．问题情景 如图 1，△ABC中，有一块直角三角板 PMN 放置在△ABC上（P点在
△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，
∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板
PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？
若不成立，请直接写出你的结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°．
故答案为：130，90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．（3）不成立； 存在∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
