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专题02 相交线中求角
【例题讲解】
如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．
解：（1） ，又 平分 ， ．
， 平分 ， ，
．
（2） 平分 ， 平分 ， ， ，
设 ，则 ，故 ， ，
则 ，解得： ，故 ．
（3）由（1）知
，即 ．【综合解答】
1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把 分成两部分，
(1)直接写出图中 的对顶角为________, 的邻补角为________；
(2)若 ，且 =2：3，求 的度数.
【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°
【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利
用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【详解】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，
故答案为∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：∠EOD=2：3，
∴∠BOE= ×70°=28°，
∴∠AOE=180°-28°=152°．
∴∠AOE的度数为152°．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角
的和等于180°求解是解答此题的关键．
2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠COF，∠1=30°，∠2=45°．求∠3的度数．
【答案】∠3=52.5°【详解】试题分析：先求出∠EOD的度数，从而得出∠COF=105°，再根据OG平分∠COF，可得∠3
的度数．
试题解析：∵∠1=30°，∠2=45°
∴∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°
∴∠COF=∠EOD=105°
又∵OG平分∠COF，
∴∠3=∠COF=52.5°．
考点：对顶角、邻补角．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；
(2)∠EOF＝60°
【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；
（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝
30°，进而得出∠EOF的度数．
（1）
解：OF⊥OD，
理由：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE，
∵∠DOE＝∠BOD，
∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝ ×180°＝90°，即∠FOD＝90°，
∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；
（2）
∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC＝ ×180°＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠EOF＝ ∠AOE＝60°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关
键．
4．如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）125°；（2）150°
【分析】(1)把 的度数计算出来，再根据对顶角的性质即可得到答案；
(2)根据 ，设 ， 得到 ，最后根据
即可得到答案；
【详解】解：（1） ，
，
；
（2） ，
设 ，
又
，
，
，
又 ，
，
．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）和邻补角的性质，熟练掌握邻补角的性质
和对顶角的性质是解题的关键．
5．如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB，
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．
【答案】（1）90°；（2）∠AOC＝60°；∠MOD＝150°.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得∠2+∠AOC＝90°，
利用邻补角互补可得答案；
（2）根据条件可得90°+∠1＝4∠1，进而可得求出∠1＝30°，从而可得∠AOC的度数，再利用邻补
角互补可得∠MOD的度数．
【详解】（1）∵OM平分∠AOB，∴∠1+∠AOC＝90°．
∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，∴∠NOD＝180°﹣90°＝90°；
（2）∵∠BOC＝4∠1，∴90°+∠1＝4∠1，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°
﹣30°＝150°．
【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，关键是掌握邻补角互补．
6．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠COE的邻补角；
(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
(3)如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
【答案】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和
∠AOF；（3）∠FOC=150°．
【分析】（1）根据邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有
这种关系的两个角）可得，∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD两个角；
（2）根据对顶角的定义（一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点）可得，∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）由∠BOF=90°可得：AB⊥EF，所以∠AOF=90°，由∠AOC=∠BOD可得：∠AOC =60°，由
∠FOC=∠AOF+∠AOC即可求出∠FOC的度数；
【详解】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
7．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
【答案】(1)∠BOF=33°
(2)∠AOC=72°
【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻
补角得∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．
（2）利用角平分的定义得出 ，进而表示出各角求出答案．
【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE= ∠BOD=38°
∴∠COE=142°，
∵OF平分∠COE．∴∠EOF= ∠COE=71°，
又∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴ ，
∴设 ，则 ，
故 ， ，
则 ，
解得 ，
故∠AOC=72°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从
一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分
线）．
8．如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， ．
(1)若∠AOF=50°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:4，求∠AOF的度数．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得∠COB，根据角平分线的定义，可得答案；
（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得∠AOC，再根据余角的定义，可得答案．
【详解】(1)∵∠COF与∠DOF是邻补角，
∴∠COF=180°−∠DOF=90°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOC=90°−∠AOF=90°−50°=40°．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠COB=180°−∠AOC=180°−40°=140°．∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE= ∠BOC=70°；
(2)∠BOD:∠BOE=1:4，
设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．
∵∠AOC与∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
即x+4x+4x=180°，
解得x=20°．
∵∠AOC与∠AOF互为余角，
∴∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°．
【点睛】此题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定义．
9．如图，∠1= ∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．
【答案】∠3=54° ∠4=72°
【详解】试题分析：本题首先根据方程思想，求出. ∠1、∠2的度数，再根据对顶角、邻补角的关
系求出∠3与∠4的度数．
试题解析：由已知∠1= ∠2，∠1+∠2=162°，
解得：∠1=54°，∠2=108°．
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=54°．
∵∠2与∠4是邻补角，
∴∠4=180°﹣∠2=72°．
考点：1二元一次方程组;2对顶角;3邻补角.
10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．(1)若∠COE＝35°，则∠AOD的度数为_________°（直接写出结果）；
(2)若∠AOD＋∠COE＝170°，求∠COE的度数．
【答案】(1)125
(2)40°
【分析】（1）先根据两角互余求出∠AOC的度数，再利用邻补角即可求出∠AOD的度数；
（2）设 ，则 ，再利用周角列出方程，解出 的值之后再利用互余即
可求出∠COE的度数．
（1）
解：∵∠COE＝35°，EO⊥AB，
∴ ，
∴ ．
又∵∠AOD是∠AOC的邻补角，
∴ ．
（2）
解：设 ，则 ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
∴ ．
【点睛】本题考查了两角互余的关系和邻补角以及周角，解题的关键是熟练掌握互余、互补的概
念和对顶角相等以及周角为 ，互余是指两角之和为90°，互补是指两角之和为180°，并且熟知
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．
11．如图，直线 ， 相交于点 ， 把 分成两部分．（1）直接写出图中 的对顶角为______， 的邻补角为______．
（2）若 ，且 ．求 的度数．
【答案】（1） ， ；（2）126゜
【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE和∠EOD的
度数，即可求出∠EOC的度数．
【详解】解：（1） 的对顶角为 ， 的邻补角为 ．
（2）∵∠BOE：∠EOD=2：3，设 ， ，
则
解得： ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
12．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平
分∠BOE．
（1）若∠BOD＝80°，求∠BOE；
（2）若∠BOF＝∠AOC+14°，求∠EOF．【答案】（1）150°；（2）78°
【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，
根据邻补角，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得∠BOE，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据邻补角
的关系，可得关于∠AOC的方程，根据角的和差，可得∠BOE，根据角平分线的性质，可得答案．
【详解】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝80°，
∵OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，
∴∠AOE＝∠AOC× ＝30°，
由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
（2）∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝2∠AOC+28°，
∵∠AOE：∠EOC＝3：5，
∴∠AOE＝ ∠AOC，
由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即2∠AOC+28°+ ∠AOC＝180°，
解得∠AOC＝64°，∠AOE＝ ∠AOC＝ ×64＝24°，
由角的和差，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣24°＝156°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝ ∠BOE＝ ×156°＝78°．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和角平分线的定义以及角的和差倍分关系，解决
本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和角的和差倍分关系．
13．如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ．（1）直接写出图中 的对顶角为 ， 的邻补角为 ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1） ； , ；（2）150°
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义寻找对顶角和邻补角即可；
（2）设∠BOD=x，则∠COE=2x，再根据∠BOD与∠COE互余可求得x的值，从而得出∠AOC的大
小，进而得出∠AOD的大小．
【详解】（1）∠AOC的对顶角为：∠BOD
∠BOD的邻补角为：∠BOC，∠AOD
（2）∵
设∠BOD=x，则∠COE=2x
∵OE⊥AB
∴∠EOB=90°
∴∠COE+∠BOD=90°，即x+2x=90°
解得：x=30°
∴∠BOD=∠COA=30°
∴∠AOD=150°
【点睛】本题考查角度的简单推导，解题关键是利用对顶角相等和补角为180°转化求解．
14．如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，
∠MON＝70°．
(1)若∠BOD＝ ∠COD，求∠BON的度数；
(2)若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．
【答案】(1)75°
(2)54°【分析】（1）先由对顶角相等求出∠COD＝70°，再由已知条件求出∠BOD的度数，根据邻补角
的定义与角的和差进行求解即可；
（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差即可解得x，进而求解．
（1）
∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝ ∠COD＝ ，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）
设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
【点睛】本题考查了对顶角相等、邻补角的定义及角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=5∠COE，求∠AOD的度数．
【答案】120°
【分析】由OE⊥AB可得∠EOB=90°，设∠COE=x，则∠DOE=5x，而∠COE+∠EOD=180°，即
x+5x=180°，得到x=30°，则∠BOC=30°+90°=120°，利用对顶角相等即可得到∠AOD的度数．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
设∠COE=x，则∠DOE=5x，∵∠COE+∠EOD=180°，
∴x+5x=180°，
∴x=30°，
∴∠BOC=∠COE+∠BOE=30°+90°=120°，
∴∠AOD=∠BOC=120°．
