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专题02 配方法的应用
类型一 配方法求字母的值
1．如果 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先将89拆成64+25，然后配成两个完全平方式相加，再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两
个非负数的值都为0”，解出x、y的值即可求解．
【详解】
解：由已知 ，
得 ，
，
．
【点睛】
本题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题关键是掌握两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都
为0．
2．阅读下列材料：对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，例如：把x2 + 6x﹣16分解因式，我们可以这样进行：
x2 + 6x﹣16
=x2 +2·x·3+32-32﹣16（加上32，再减去32）
=(x+3)2-52（运用完全平方公式）
=(x+3+5)(x+3﹣5) （运用平方差公式）
=(x+8)(x﹣2)（化简）
运用此方法解决下列问题：
（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．
（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多项式4a2 +12ab+9b2的值．
【答案】（1） ；（2）81
【解析】
【分析】
（1）按照阅读材料的方法进行因式分解即可；
（2）利用配方法把原式变形得 ，从而可得 ， ，再由
，进行求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
3．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_____．
【答案】2或3
【解析】
【分析】
由a−b＝2，得出a＝b＋2，进一步代入 ，利用完全平方公式得到 ，
再根据已知条件求出b的值，进一步求得a的值即可．
【详解】
解：∵a−b＝2，
∴a＝b＋2，
∴
＝0，
∴ ，
∵b≥0，−2≤c＜1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴3＜ ≤12，
∵a是整数，∴b是整数，
∴b＝0或1，
∴a＝2或3，
故答案为：2或3．
【点睛】
此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
4．若a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先利用已知条件求解 再把原式化为 ，再整体代入求值即可.
【详解】
解： a＝x＋19，b＝x＋20，c＝x＋21，
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是利用完全平方式的特点求解代数式的值，因式分解的应用，掌握“完全平方式的特点”是解
题的关键.
5．阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0且n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x、y的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，且△ABC是等腰三角形，求c的值．
【答案】（1）x=-1，y=1；（2）5或6
【解析】
【分析】
（1）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可求得结果；
（2）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可分别求得a和b的值，再根据等腰三角形的性
质可求得c的值．
【详解】
（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0
∴x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0
∴（x+y）2+（y﹣1）2＝0
∴x+y＝0且y﹣1＝0
∴x＝﹣1，y＝1
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61
∴a2+b2－10a－12b＋61＝0
∴（a－5）2+（b﹣6）2＝0
∴a－5＝0且ｂ﹣6＝0
∴a＝5，b＝6
∵△ABC是等腰三角形
∴c=a=5或c=b=6
即c的值为5或6.
【点睛】
本题是材料问题，考查了配方法的应用，平方非负性的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是读懂材料
中提供的解题过程和方法．
6．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x，y)的个数为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】
由已知不等式变形后，利用完全平方公式化简，根据x与y均为整数，确定出x与y的值，即可得到结果．【详解】
解：由题设x2+y2≤2x+2y，得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，
因为x，y均为整数，所以有或 或 或
解得： 或 或 或 或 或 或 或 或 ，
以上共计9对（x，y）．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关
键．
7．阅读下面的材料：
若 ，求 ， 的值．
解： ．
．
．
， ．
， ．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）已知等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，且满足 ，求 的
周长；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） 的周长为16或17；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给方法把 进行配方求解a、b的值，然后根据等腰三角形的定义
及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由 可知 ，然后代入等式可得 ，进而根据配方即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，
∴当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+5+6=16；
当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+6+6=17；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
类型二 配方法求最值
8．已知 （x，y均为实数），则y的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】将根据题意 ， ，原式 两边同时平方，可得 ，故 ，进
而即可求得最大值.
【详解】
解： ， ， ，
．
，
．
的最大值为 ．
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找
出最大最小值.
9．已知实数m，n满足 ，则代数式 的最小值等于___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
由 可得 再代入 ，再利用配方法配方，从而可得答案.
【详解】
解： ，所以 的最小值是
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，则其面积
．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若 ， ，则此三角形面积的
最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】
解：∵ ，p=3，c=2，
∴ ，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴∴当b=2时，S有最大值为 ．
【点睛】
本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
二、解答题(共0分)
11．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方
法叫做配方法．如：对于 ．
(1)用配方法因式分解： ；
(2)对于代数式 ，有最大值还是最小值？并求出 的最大值或最小值．
【答案】(1)
(2)代数式 有最大值，最大值为
【解析】
【分析】
（1）先用配方法，再用平方差公式分解即可；
（2）先利用配方法变形，根据偶次方的非负性可知最小值，继而即可求得 的最大值．
(1)
；
(2)
∵，
∴当 时， 即 有最小值-8，
∴代数式 有最大值，最大值为 ．
【点睛】
本题考查配方法在因式分解中的应用及代数式求值，解题的关键是熟练掌握配方法．
12．阅读下面的解答过程，求y2＋4y＋5的最小值．
解：y2＋4y＋5＝y2＋4y＋4＋1＝（y＋2）2＋1
∵（y＋2）2≥0，即（y＋2）2的最小值为0
∴y2＋4y＋5＝（y＋2）2＋1≥1
∴y2＋4y＋5的最小值为1
仿照上面的解答过程，求：
（1）m2﹣2m＋2的最小值；
（2）3﹣x2＋2x的最大值．
【答案】（1）1；（2）4
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】
解：（1）m2﹣2m＋2
=m2-2m+1+1
=（m-1）2+1，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+1≥1，即m2﹣2m＋2的最小值为1；
（2）3-x2+2x
=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4
=-（x-1）2+4，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-（x-1）2+4≤4，即3-x2+2x的最大值为4．
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
13．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：求﹣3（a+1）2+6的最值．
解：∵﹣3（a+1）2≤0，∴﹣3（a+1）2+6≤6，∴﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时a＝﹣1．
(1)当x＝ 时，代数式2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．
(2)当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
(3)如图，矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当垂直于墙的一边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，小，3
(2)2，大，7
(3)当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32
【解析】
【分析】
（1）先根据平方的性质求出代数式的取值范围，再进行分析计算即可；
（2）先配方，把多项式变成完全平方形式，再进行分析计算；
（3）根据总长为16m，构造方程求解即可．
(1)
解：∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2+3≥3，
∴当x＝1时，代数式有最小值为3．
故答案为：1，小，3．
(2)
解：﹣x2+4x+3＝﹣（x2﹣4x）+3
＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝﹣（x﹣2）2+7，
∵﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2+7≤7，
∴当x＝2时，代数式有最大值为7．
故答案为：2，大，7．
(3)
解：设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）m，
花园的面积为x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x2﹣8x）
＝﹣2（x2﹣8x+16﹣16）
＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2（x﹣4）2≤0，
∴﹣2（x﹣4）2+32≤32，
∴当x＝4时，代数式有最大值为32，
即当垂直于墙的一边长为4米时，花园有最大面积为32．
【点睛】
本题主要考查配方法的实际运用，解题的关键在于通过配方法把代数式化成完全平方式再进行分析．
类型三 配方法在几何图形中的应用
14．如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为
________________．
【答案】 ##
【解析】【分析】
过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AB＝x，利用勾股定理表示出BC，利用解直角三角形表示
出MD，BD，再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．
【详解】
如图，过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，
设AB＝x，则 ，
∵△ABM是等边三角形，
∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBD＝30°，
∵MD⊥BC，
，
，
在Rt△MDC中，
，
，
，
，
，∴当x2＝18时，CM有最大值 ，
，
∴CM的最大值为： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查勾股定理以及配方法，掌握配方法求出最值是解题的关键．
15．已知点P的坐标为（2，3），A、B分别是x轴、y轴上的动点，且 ，C为AB的中点，当
OC最小时则点B的坐标为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用中点坐标公式将C点坐标表示出来后，运用勾股定理 得到 与 的关系式，再将OC
的长度用含有y的式子表示出来，利用配方法即可求出当OC最小时点B的坐标．
【详解】
解：设A点坐标为 ，B点坐标为 ，则中点C点坐标为 ；
∵
∴∴
化简得：
∴
将 代入上式得：
变形得：
∴当 时，OC最小，此时B点坐标为 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查运用配方法求解动点问题，正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解
题的关键，属于综合类问题．
16．已知：如图，在 中， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的
速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）求几秒后， 的面积等于 ？（2）求几秒后， 的长度等于 ？
（3）求几秒后， 的长度能取得最小值，其最小值为多少 ？
【答案】（1）2秒或6秒；（2）1秒或7秒；（3）4，
【解析】
【分析】
（1）设运动时间为 秒，则 ， ，根据三角形面积公式列出方程即可；
（2）设运动时间为 秒，则 ， ，根据勾股定理列出方程即可；
（3）设运动时间为 秒，则 ， ，根据勾股定理列出 的式子，根据配方法即可求得最小
值；
【详解】
（1）设运动时间为 秒，则 ， ，根据题意得：
解得
答：2秒或6秒后， 的面积等于
（2）设运动时间为 秒，则 ， ，
在 中，
解得
答：1秒或7秒后， 的长度等于
（3）设运动时间为 秒，则 ， ，在 中，
当 时，取得最小值为 ．
即4秒后， 取得最小值，最小值为 ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
17．配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：
，在 时，取最小值1
（1）求代数式 的最小值．
（2） 有最大还最小值，求出其最值．
（3）求 的最小值．
（4） 的最小值．
（5）三角 和三角形 的面积分别为4和9，求四边形 的面积最小值．
【答案】（1）-4；（2）有最大值，且为7；（3）2；（4）2；（5）25
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）（4）利用配方法变形，可得最值；（5）设S BEC=x，由等高三角形可知：S BEC：S CED=S AEB：S AED，从而可得S AED= ，再将四
△ △ △ △ △ △
边形ABCD的面积变形得到 ，可得结果．
【详解】
解：（1） ，
∴在x=2时，有最小值-4；
（2）
=
=
=
∴当x=-1时，有最大值，且为7；
（3） = ，
∴当x=1时， 的最小值为2；
（4）
=
=
当a=-2，b=4时，代数式有最小值2；
（5）设S BEC=x，已知S AEB=4，S CED=9，
△ △ △
则由等高三角形可知：S BEC：S CED=S AEB：S AED，
△ △ △ △
∴x：9=4：S AED，
△
∴S AED= ，
△∴四边形ABCD面积=4+9+x+ = ，
∴当x=36时，四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直
接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．
