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专题03 含根号的新定义运算
【例题讲解】
对于任意两个正数m、n，定义运算※为： 计算 的结果为
_____．
【详解】由题意得： ，
∴
故答案为： ．
【综合解答】
1．对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题目对“*”的定义把m、n的值代入计算即可．
【详解】解：由已知可得：
∴m*n=
=
=7，
故选C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在观察和理解新定义的基础上把公式中字母的值代入计
算即可．
2．对于任意两个实数 定义两种运算： ， ，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如 ，那么 等于
( )
A． B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据新定义先计算 ，进而计算 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ， ，
，
，
， ，
，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义和比较两数的大小是解
题的关键．
3．定义新运算：对任意实数 、 ，都有 ，例如： ，那么
_________．
【答案】
【分析】根据题目所给的定义新运算先求出 ，再代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查实数的新定义运算，关键是根据题意得到算式，然后由立方根的运算法则进行求解即可．
4．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有 ，则 的值
为________．
【答案】8
【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数
的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可．
【详解】 ．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键．
5．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下： ，例如
．那么 ____________．
【答案】 ##
【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键．
6．对于任意两个不相等的正实数a、b，定义运算“ ”： ，如
，那么 ________．
【答案】
【分析】根据题目所给的新定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质，正确理解题意是解题的关键．
7．对于两个数a、b，且 ，定义一种运算如下： ，如
，那么 ___________．
【答案】
【分析】根据题目所给的新定义进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键．
8．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下： ，如
，则 ___________．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则先计算括号内的运算： 再计算 ，从而可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：【点睛】本题考查的是新定义运算，算术平方根的含义，理解新定义的运算法则是解本题的关键.
9．符号“ ”表示一种新的运算，规定 ，则 的值为 __．
【答案】
【分析】根据新运算将6*2变换成 ，然后再计算即可．
【详解】解：由题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二
次根式的混合运算是解答本题的关键．
10．平面直角坐标系中，点 的横坐标 的绝对值表示为 ，纵坐标 的绝对值表示为 ，
我们把点 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 的勾股值，记为 ，即
（其中“ ”是四则运算中的加法）．
（1）已知点 ， ， ，则勾股值 的值为__．
（2）满足条件 的所有点 围成的图形的面积是__．
【答案】 8 18
【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出 和 ，再求和即可；
（2）设出点 的坐标，用横纵坐标表示出 ，对 和 进行讨论，可找出对应的图形，判断出
形状后，可直接求解．
【详解】解：（1） ， ， ，
， ，
．
故答案为：8．
（2）设 的坐标为 ，则 ，
，
，
当 ， 时， ，即 ；当 ， 时， ，即 ；
当 ， 时， ，即 ；
当 ， 时， ，即 ．
满足条件 的所有点 围成的图形是正方形，如下图所示：
该正方形的面积为： ．
故答案为：18．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查绝对值法则，及菱形的面积的求法，根据题意，画出
图形是解题关键．
11．规定 = + ， ，则 ＝___．
【答案】 ##
【分析】利用定 = + 计算 ，利用 计算 的值．
【详解】解：∵
，
∴ ，
，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运
算．
12．规定新运算“⊗”的运算法则为：a⊗b＝ ，试求（2⊗6）⊗8的值是______．
【答案】6
【分析】按照新运算的定义进行运算即可．
【详解】解： a⊗b＝
（2⊗6）⊗8
＝ ⊗8
＝ 4⊗8
＝
＝6
故答案为：6
【点睛】本题考查了实数的运算中的新定义运算及二次根式的运算，解题时注意要按照题中定义
的运算法则进行运算．
13．定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有 ，
____________．
【答案】 ##
【分析】先根据新运算的规定把要计算的式子写成实数的运算形式，再利用完全平方公式计算．
【详解】解：
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新运算的规定是解决本题的关键．
14．对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算*如下： ．如 ，
那么 ______．
【答案】
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运
算的相应的法则的掌握．
15．定义一种新运算：对于任意实数 ， ，都有 ，则
______．
【答案】 ##
【分析】先根据新运算的规定，把要计算的式子化简为实数的运算形式，在利用完全平方公式计
算.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解新运算的规定是解题关键．16．对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十
位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的
数字之和的算术平方根的结果记为 ．例如： ，满足 ，且 ，所以134是
“望岳数”， ；例如： ，满足 ，但是 ，所以237不是
“望岳数”；再如： ，满足 ，但是 ，所以415不是“望岳数”．
(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳
数”t以及 的最大值．
【答案】(1)347是“望岳数”，157不是“望岳数”，理由见解析
(2)综上，满足条件的“望岳数”t有145，459， 的最大值为
【分析】（1）根据“望岳数”的定义即可判断；
（2）将t表示出来，设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为 ， ，根
据t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，写出符合条件的数值，然后求出 的最大值．
【详解】（1）解：347是“望岳数”；理由如下：
∵ ，且 ，
∴347是“望岳数”；
157不是“望岳数”，理由如下：
∵ ，但 ，
∴157不是“望岳数”；
（2）解：设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为 ，
则 ，
t的3倍与t中十位数字的4倍的和为：
，
由题可知， ，且 ，a，b均为正整数，①当 时，
∵ 能被11整除，
∴ ，
此时 ， ，
②当 时，
没有b值使 能被11整除，
③当 时，
没有b值使 能被11整除，
④当 时，
∵ 能被11整除，
∴ ，
此时 ， ，
综上，满足条件的“望岳数”t有145，459， 的最大值为 ．
【点睛】本题是一道新定义题目，解决本题的关键是能够根据定义列出关系式，进而求解．
17．定义：如果两个无理数的乘积等于一个有理数，即 ，则称a和b是关于c的共轭数例：
，则称 和 是关于4的共轭数．
(1)已知 和b是关于6的共轭数，则b=______．
(2)若 和 是关于3的共轭数，求m的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)根据定义，得到 ，计算即可．
（2）根据定义，得到 ，展开化简计算即可．
【详解】（1）因为 和b是关于6的共轭数，所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
（2）因为 和 是关于3的共轭数，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了新定义计算，正确理解新定义是解题的关键．
18．定义运算“@”的法则为： ，求 的值．
【答案】
【分析】根据运算法则 可得到 ．
【详解】解：原式
．
【点睛】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
19．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根
式．
(1)若a与 是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与 是关于4的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ 与 是关于2的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
20．对于实数a，我们规定，用符号 表示不大于 的最大整数，称 为a的根整数，例如：
， ，
(1)仿照以上方法计算： _____； =_____；
(2)计算： ；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即
，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正
整数中，最大的是______．【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；
（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数
字相加即可得到答案；
（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操
作后结果为1的最大正整数为255．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2；6；
（2）解：∵ ，
∴
；
（3）解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴ 刚好经过4次操作后的结果为1，
∵ ， ， ，
∴ 刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解
题的关键．
21．我们用 表示不大于 的最大整数， 的值称为数 的小数部分，如 ， 的
小数部分为 ．
(1) ______， ______， 的小数部分 ______．
(2)已知： ，其中 是整数；且 ，求 的相反数．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）估算无理数的大小即可得到无理数的整数部分和小数部分；
（2）估算无理数的大小得到 ， 的值，求 的相反数 即可．
（1）
，
，
，
，
，
，
的整数部分是 ，
的小数部分是 ，
故答案为： ， ， ；
（2）
，
，， ，
的相反数 ．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题
的关键．
22．对实数a，b，定义： ，如： ．
(1)求 的值；
(2)若 ，试化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据 求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
解：∵ ，
∴ ，解
得
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．
23．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．(1)填空： ___________．
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得 ，再解方程即可求解．
（1）
解： ，
故答案为：3；
（2）
解： ，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的
关键．
