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专题 04 幂的运算重难点精练（九大考点）
实战训练
一．同底数幂的乘法
1．已知2m•2m•8＝211，则m＝ ．
2．已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．
3．已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x（ ）
m m
A．3x＝m﹣9 B．3x= C．3x＝m﹣6 D．3x=
9 6
二．同底数幂的除法
4．已知：3m＝2，9n＝3，则3m﹣2n＝ ．
5．已知m 154，n 54 ，那么2016m﹣n＝ ．
= =
344 3406．已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝ ．
三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）
7．已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则25m+10n＝ ．
8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ ．
9．若x+3y﹣3＝0，则2x•8y＝ ．
四．幂的运算中的规律
10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．
解：设 S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①，将等式两边同时乘 2，得 2S＝2+22+23+24+25+…
+22018+22019②，
②﹣①，得2S﹣S＝22019﹣1，即S＝22019﹣1，
所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+29+210；
（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．
11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）
①12 21，②23 32，③34 43，
④45 54，⑤56 65，…
（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当 n 时，nn+1＜
（n+1）n；当n 时，nn+1＞（n+1）n；
（3）根据上面的猜想，可以知道：20082009 20092008．
12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．
13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ ）
23﹣22＝ ＝2（ ），
24﹣23＝ ＝2（ ），
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
五．新定义14．定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知
（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 ．
15．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为
23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
1
②若（x， ）＝﹣3，则x＝ ．
8
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
16．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
1
（3，27）＝ ，（5，1）＝ ，（2， ）＝ ．
4
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）
六．阅读类---紧扣例题，化归思想
17．阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘
a⋅a⋯a
记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的
¿
对数，记为log 8（即log 8＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底
2 2
b的对数，记为log b（即log b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 81（即
a a 3
log 81＝4）．
3
（1）计算以下各对数的值：
log 4＝ ，log 16＝ ，log 64＝ ．
2 2 2
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 4、log 16、log 64之间又满足怎
2 2 2
样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log M+log N＝ ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
a a
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
18．阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
19．阅读下面一段话，解决后面的问题．
观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比
都等于2．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的比．
（1）等比数列5，﹣15，45，…的第四项是 ．
（2）如果一列数a ，a ，a ，a ，…是等比数列，且公比为 q，那么根据上述的规定，有
1 2 3 4
a a a ，…所以 a ＝a q，a ＝a q＝（a q）q＝a q2，a ＝a q＝（a q2）q＝
2=q， 3=q， 4= 2 1 3 2 1 1 4 3 1
a a a
1 2 3
a q3，…，a ＝ （用含a 与q的代数式表示）．
1 n 1
（3）一个等比数列的第二项是10，第三项是20，则它的第一项是 ，第四项是 ．
七．整式除法（难点）
20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是：
（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．
（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．
我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．
求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．
解：
答：商式是5x2+3x﹣5，余式是 ；
我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除，请直接写出a、b的值．
21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．
22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）
八．巧妙比大小---化相同
23．阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．
解：∵2100＝（24）25＝1625，375＝（33）25＝2725，而16＜27，
∴2100＜375
请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．
24．比较20162017与20172016的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）
①12 21，②23 32，③34 43，④45 54，⑤56 65，…
（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n （n为正整数）的大小关系：
当n 时，nn+1＜（n+1）n；当n 时，nn+1＞（n+1）n；
（3）根据上面的猜想则有：20162017 20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．
25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35 36，53 63
（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①410，86，164②255，344，433．九．幂的运算的综合提升
1 1
26．已知5a＝2b＝10，求 + 的值．
a b
27．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝ ．
b
28．已知三个互不相等的有理数，既可以表示为 1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，
a
试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．
29．化简与求值：
（1）已知3×9m×27m＝321，求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．
（2）已知10a＝5，10b＝6，求①102a+103b的值；②102a+3b的值．
