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专题 05 与整式有关的规律探究问题之六大题型
单项式规律题
例题：（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：
，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答.
【详解】解：因为给出的一列单项式的系数分别是 ，次数的规
律是从1开始的连续的奇数，
所以第 个单项式是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键.
【变式训练】
1．（2023下·云南昭通·八年级统考期末）一列单项式按以下规律排列： ， ， ， ，
， ， ， ，则第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，x的指数是
3个循还一次，且分别是1，2，2，然后求解即可．
【详解】解：根据 ， ， ， ， ， ， ， ，
所以系数是从1开始的连续奇数且第偶数个是负数，第奇数个是正数，
那么第n个单项式的系数是 ，
则第 个单项式的系数是 ，
因为x的指数是3个循还一次，且分别是1，2，2，
则 ，
所以第 个是指第 个循环里的第一个数，
那么第 个单项式是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式，此类题目难点在于根据单项式的系数、指数等多个方面分别分析得出
规律．
2．（2023上·湖北随州·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ，
， ，…，则第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【详解】解：第一个单项式为 ，
第二个单项式为 ，
第三个单项式为 ，
第四个单项式为 ，
…
∴可以得到规律第n个单项式的系数为 ，次数为 ，即第n个单项式为 ，故选D．
【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题
的关键．
有理数中分数的规律问题
例题：（2023下·云南昭通·七年级统考期末）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ．
第 个式子是______（ 为正整数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察各式子可以得到分子满足 ，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，
即为 ，按要求写出公式即可．
【详解】解： ， ， ， ，……的分子相差 ，故分子满足 ，分母是连续整数
n，符号为奇数位负，偶数为正，即为 ，
∴第 个式子是 ，
故选D．
【点睛】本题考查数字规律问题，通过观察得到规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）观察这样一组数据： ， ， ， ，…请你按这组
数据存在的某种规律写出第七个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分子为从3开始的数的平方，分母为分子减去4，据此即可求解．【详解】解：依题意，第七个数为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
2．（2023上·天津东丽·七年级统考期末）一列数，按一定规律排列成 ， ， ， ， ，
，那么这一组数据的第n个式子是 （用含有n的式子表示）
【答案】
【分析】这列数的分子均为一列奇数，各个数的符号是正负交替，分母则是一个数的平方加1，据
此即可作答．
【详解】第1个数： ，
第2个数： ，
第3个数： ，
第4个数： ，
第5个数： ，
，
第n个数： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数列中数的变化找出变化规律是解题的关键．
有理数的运算末位数字问题
例题：（2023上·广西贺州·七年级统考期末）观察下列各式：
，…，按照此规律类推 的最末位的数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据已知的等式找到末位数字的规律，再求出 的末位数字即可．
【详解】解：∵ ，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
故每4次一循环，
∵
∴ 的末位数字为：7
故选：C
【点睛】此题考查了数字类变化规律，根据题意得到规律是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知 ， ， ， ， ，…，请
你推算 的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】由题意可得 的末位数字按 ， ， ， 四次一循环的规律出现，再计算 结果
的余数即可．【详解】解：∵ ， ， ， ， ，……，
的末位数字按 ， ， ， 四次一循环的规律出现，
，
的末位数字是 ，
故选：A．
【点睛】此题考查了乘方的尾数规律问题的解决能力，关键是能归纳出问题中尾数循环出现的规律．
2．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式： ， ， ， ，
， ，根据上述算式中的规律，你认为 的末位数字是 ．
【答案】7
【分析】根据 ， ， ， ， ， ，得出末位数字以3、9、7、1，四
个数字为一循环，由 得出 的末尾数字与 的末位数字相同是7，从而得到答案．
【详解】解： ，末位数字为3，
，末位数字为9，
，末位数字为7，
，末位数字为1，
，末位数字为3，
，
3的1，2，3，4，5，6，7， ，次幂的末位数字以3、9、7、1，四个数字为一循环，
，
的末尾数字与 的末位数字相同是7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了尾数特征及数字规律类探索，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、
9、7、1，四个数字为一循环，是解题的关键．有理数的新运算规律问题
例题：（2023上·湖南永州·七年级统考期末）若 是不为 的有理数我们把 称为 的“哈利
数”．如 的“哈利数”是 ； 的“哈利数”是 ，已知 ， 是 的
“哈利数”， 是 的“哈利数”， 是 的“哈利数”，以此类推，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案
【详解】∵ ，
∴ ，
，
，
，
∴该数列每 个数为 周期循环，
∵ ，
∴ ．
故选
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律
解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川自贡·八年级统考期末）若实数 ，则我们把 称为x的“和1负倒数”，如2的“和1负倒数”为 ， 的“和1负倒数”为 ，若 ， 是 的“和1负倒数”，
是 的“和1负倒数”，…，依此类推，则 ．
【答案】 /
【分析】根据和1负倒数的定义分别计算出 ，则得到从 开始每3个值就循环，据此
求解可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
……
∴此数列每3个数为一周期循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规
律变化的因素，然后推广到一般情况．
2．（2023上·四川成都·七年级统考期末）观察按一定规律排列的一组数： ， ， ，…，其中第
个数记为 ，第 个数记为 ，第 个数记为 ，且满足 ，则
， ．【答案】 /
【分析】由题意推导可得 ，即可求解．
【详解】解：由题意可得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可求 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．
有理数中分数运算的规律问题
例题：（2023上·广东惠州·七年级校考期末） ， ， ，…，
(1)则第 个算式是______ ______
(2)第 个算式为______ ______
(3)根据以上规律解答下题： ．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】（1）由已知等式得出：连续整数乘积的倒数等于较小整数倒数与较大整数的倒数的差，
据此可
得；
（2）利用所得规律求解可得；
（3）利用所得规律展开，两两相消求解可得．
【详解】（1）解：根据题意知，
第 个算式是： ，
故答案为： ， ；
（2）第 个算式为：
；
故答案为： ， ；
（3）．
【点睛】本题考查了数字的变化类题目，解决此类题目的关键是认真观察题目提供的算式，然后从
中整理出规律，并利用此规律解题．
【变式训练】
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)第n个等式为 ，理由见解析
【分析】（1）观察等式，即可求解；
（2）由各个等式结构即可得出规律．
【详解】（1）解：∵第1个等式为 ，
第2个等式为 ，
第3个等式为 ，
∴第4个等式为 ，
故答案为： ；
（2）解：第n个等式为 ，∵第1个等式为 ，
第2个等式为 ，
第3个等式为 ，
第4个等式为 ，
……，
∴第n个等式为 ．
【点睛】本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可．
2．（2022上·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师
出示了一个问题： ， ， ， ．
(1)独立思考：解答王老师提出的问题：第5个式子为 ，第n个式子为 ．
(2)实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算： ．
(3)问题拓展，求
(4)问题解决：求
的值
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据所给的式子的形式进行求解即可；
（2）利用（1）的规律进行求解即可；
（3）仿照（2）的解答方式进行求解即可；（4）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
5个式子为： ，
第 个式子为： ，
故答案为： ， ；
（2）
；
（3）
；
（4）．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．
图形类规律探究问题
例题：（2023下·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．
(1)数一数，完成下列表格．
直线的条数
交点的个数
(2)若有 条直线相交，则最多有交点__________个．（用含 的代数式表示）
【答案】(1) ， ， ，
(2)
【分析】（1）根据图形信息即可求解；
（2）根据（1）中直线条数与交点的数量的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，
直线的条
数
交点的个
数
故答案为： ， ， ， ．
（2）解：根据题意设有 条直线，则交点的数量为 ，
当 时，则 ；当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ，符合题意；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形规律与整式的混合运算，理解图示含义，掌握整式的混合运算是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）下面各图均由边长相同的正方形按一定规律拼接而成，
请你观察、分析并解决下列问题：
(1)第5个图中的正方形的个数是______；
(2)求第 个图中正方形的个数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第1个图中正方形的个数是： ，第2个图中正方形的个数是： ，
第3个图中正方形的个数是： ，则第n个图中正方形的个数是： ，即可得；
（2）由（1）即可得．
【详解】（1）解：第1个图中正方形的个数是： ，
第2个图中正方形的个数是： ，
第3个图中正方形的个数是： ，
…
则第n个图中正方形的个数是： ，
即第5个图中的正方形的个数是： ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得，第 个图中正方形的个数是 ．
【点睛】本题考查了图形的规律，解题的关键是找出规律．
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期末）用火柴棒按如图的方式搭三角形组成的图形(1)填写下表：
三角形个
1 2 3 4 5 …
数
火柴棒根
3 5 7 …
数
(2)当三角形的个数是n时，所用的火柴的根数是________（用含n的代数式表示）．
(3)是否存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)9，11
(2)
(3)不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成，理由见解析
【分析】（1）根据图形找出火柴棒与三角形个数之间的规律，再根据规律计算即可；
（2）根据（1）中的规律可直接得出搭 个这样的三角形需要 根火柴棒；
（3）根据（2）中的公式可得 ，求出 的值即可进行解答．
【详解】（1）∵观察图形可知：第一个图形中，有 个三角形、有 根火柴棒；
第二个图形中，有 个三角形、有 根火柴棒；
第三个图形中，有 个三角形、有 根火柴棒；
第四个图形中，有 个三角形、有 根火柴棒；
∴第五个图形中，有 个三角形、有 根火柴棒；
填表如下：
三角形个数 1 2 3 4 5 …
火柴棒根数 3 5 7 9 11 …
（2）由（1）列出的三角形数对应的火柴棒根数可知，照这样的规律搭下去，搭 个这样的三角形
需要 根火柴棒，故答案为： ；
（3）不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．理由如下：
由（2）得出的规律可得： ，
解得 ，
∵火柴棒根数x为正整数，
∴ 不合题意，舍去，
∴不存在三角形的个数是x由2022根火柴棒拼成．
【点睛】本题考查了图形类的变化规律，关键是通过观察图形，得出火柴棒数与三角形个数之间的
规律．
一、单选题
1．（2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据： ， ， ， ， ， ，
…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是 ，且奇数项是正，
偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为： ，
∴ ，，
，
..．
∴第n个数为： ，
∴第10个数为： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
2．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，是按照一定规律画出的“树形图”，
经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有3个“树枝”，图③中有7个“树枝”……照
此规律，图⑦中有（ ）个“树枝”．
A．63个 B．87个 C．91个 D．127个
【答案】D
【分析】根据所给图形得到后面图形比前面图形多的“树枝”的个数用底数为 的幂表示的形式，
从而可得出答案.
【详解】经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，
图②中有 个“树枝”,
图③中有 个“树枝”,
… ,
∴图⑦中有 个“树枝”.
故选: .
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“树枝”个数的变化得出规律是解题的
关键.3．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）一列数 其中 ， ，
，…， ，则 的值为（ ）
A．1011 B．1010 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】求出前几个数，再分析其特点，从而可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
这列数以 ， ，2这三个数不断循环出现， ，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子得到该列数以 ， ，2这三
个数不断循环出现．
4．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）如图，用字母“ ”、“ ”按一定规律拼成图案，其
中第 个图案中有 个 ，第 个图案中有6个 ，第 个图案中有 个 ，……，按此规律排列下去，第 个图案中字母 的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“ ”的个数，从而可以发现“ ”个数的
变化规律，进而得到第 个图案中“ ”的个数，从而可求解．
【详解】解：由图可知，
第 个图案中“ ”的个数为： (个)，
第 个图案中“ ”的个数为： (个)，
第 个图案中“ ”的个数为： (个)，
…，
则第 个图案中“ ”的个数为： ，
∴第 个图案中字母 的个数为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“ ”个数的变化规
律，利用数形结合的思想解答．
5．（2023上·河北保定·七年级校考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结
果为 ；②当n为偶数时，结果为 （其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，
例如，取 时，运算过程如图．若 ，则第2023次“F运算”的结果是（ ）
A．16 B．1 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当 时，第一、二、三、四、五、六、七、八、九
次运算的结果，发现循环规律即可解答．
【详解】解：由题意可知，当 时，历次运算的结果是：，
，
，
…，
故17→52→13→40→5→16→1→4→1…，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为
1，
∴当 ，第2023次“F运算”的结果是1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·山东淄博·六年级统考期末）找规律填数：1， ， ， ， ．
【答案】 /
【分析】分别找分母和分子的排列规律即可．
【详解】解：∵ ，
所以分母有以下规律：
， ， ，..．
∴下一个分母为 ，
分子的规律为2，3，4，5，6，..．
下一个数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字的排列规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现
的规律解决问题．
7．（2023下·云南红河·八年级统考期末）下列图形是由一些大小相同的十字星按一定规律组合而
成的，按此规律排列的第 个图中共有 个十字星．【答案】
【分析】先根据题中的图形进行研究，分析出图形规律即可作答．
【详解】解：第一个图的十字星是2个；
第二个图的十字星是 （个）；
第三个图的十字星是 （个）；
第四个图的十字星是 （个）；
……
依次类推，则第n个图的十字星是 （个）；
所以第 个图中，即 ，
故第 个图的十字星是 （个），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形规律，涉及有理数的乘法和加减法运算，解题的关键是研究出图形的规律．
8．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）探索规律： ，个位数字是3； ，个位数字是
9； ，个位数字是7； ，个位数字是1； ，个位数字是3； ，个位数
字是9……那么 的个位数字是 ．
【答案】7
【分析】根据题意可得其个位数字分别为3，9，7，1，3……，每4个一循环，所以 的个位数字
与 的个位数字相同，是7，即可解答．
【详解】解：因为 ， ， ， ， ，……
所以其个位数字分别为3，9，7，1，3……，
因为 ，
所以 的个位数字与 的个位数字相同，是7，故答案为：7．
【点睛】本题考查了规律探寻，正确找到规律是解题的关键．
9．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）观察下列各等式：① ，② ，③
，……．根据以上规律，请写出第9个等式： ．
【答案】
【分析】根据题意找出规律，列出代数式，即可求解．
【详解】解：① ，
② ，
③ ，
……
第n个等式为： ，
∴
第9个等式为： ，
∴
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查数字规律探索，理解题意，找出规律是解题关键．
10．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据
这种规律，则第 个正方形的中间数字为 .（用含 的代数式表示）
【答案】
【分析】先观察比较正方形中四个角里面的数字变化规律的表达式，最后观察比较中间的数字变化
规律与四个角里面的数字变化规律的关系．
【详解】观察题图可得中间的数字等于正方形中左侧两个三角形上数字之和，左上角三角形上数字的规律为 ，左下角三角形上数字的规律为 ，
∴第 个正方形中间的数字为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了书写图形中数字变化规律性质的代数式，熟练探究图形中数字变化规律是
解决此类问题的关键．
三、解答题
11．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）写出第4个等式： ，第5个等式： ，进而可得
出答案；
（2）先写出第2023个等式为： ，第1个等式至第2023个等式的
左边部分相加为： 变形即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式： ，
第5个等式： ，
…….
第n个等式： ；
（2）解：第2023个等式为： ，
第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：
．
【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键．
12．（2023下·安徽宿州·七年级校考期末）如图棱长为a的小正方体，按照下图的方法继续摆放，
自上而下分别叫第一层，第二层，……，第n层，若第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问
题：
(1)填写表格：n 1 2 3 4 …
S 1 3 _______________ _______________ …
(2)研究上表可以发现S随n的变化而变化，请你用式子来表示S与n的关系．
【答案】(1)6；10
(2)
【分析】（1）观察图形即可得到答案；
（2）由图形可知，其第一层有1个，第二层有 个，第三层有 个，从而推出第n层
的规律，即可求出对应的S的值．
【详解】（1）解：观察可知，第3层有6个小正方体，第4层有10个小正方体，
故答案为：6，10；
（2）解：第一层有1个，
第二层有 个，
第三层有 个，
以此类推，第 层有 个，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首
先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利
用规律求解．
13．（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）观察下列各等式，并解答问题：
，
(1)以此类推，可得 _________．
(2)计算： _________．
(3)计算： ．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子为1，分母为相邻2个数的乘积的分数，应分解为分子为1，分母分别为相邻2
个数的分数的差；
（2）结合（1）得到的规律进行计算即可；
（3）观察算式的分母，发现两个因数的差为3，若把每一项展开成差的形式，则分子是3，为了保
持原式不变则需要再乘 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：由所给等式可得： ；
故答案为： ；
（2）
；
故答案为： ；
（3）．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，此题是一个阅读题目，通过阅读材料找出题中算式的
规律，灵活运用此规律是解答此题的关键．
14．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末）如图，将一张正方形纸片剪成两个小长方形，每个小长
方形的面积占大正方形面积的 ，将其中一个小长方形进行第二次裁剪，使得每个图形的面积占大
正方形面积的 ，以此类推…
(1)第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的______， 的值为
______．
(2)请你利用（1）中的结论，求下列各式的值：
① ______．
②计算： ．
【答案】(1) （或填 ）； （或填 ）
(2)① ，②
【分析】（1）根据图形即可得出第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的比例；
根据图形可得 表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积；（2）①根据题意可得， 的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图形面
积；② 将原式转化为 ，再进行计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：第四次裁剪后，得到的最小图形的面积占大正方形面积的 （或填
）；
根据图形可得 表示的几何意义为大正方形减去第四次剪裁的图形面积，
故 ；
故答案为：① （或填 ）； （或填 ）；
（2）解：①根据题意可得， 的几何意义为大正方形减去第2022次剪裁的图
形面积，
∴ ．
故答案为： ；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减法的几何意义，解题的关键是仔细观察图形和算术，总结出算术和几何图形之间的关系．
15．（2023上·河南南阳·七年级校考期末）第1题：【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有
______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级
举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有 个班，则这一轮要进行多少场
比赛？
第2题：一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子：
（1）观察表中数据规律填空： ______， ______， ______；
（2）一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐 人，请问需几张餐桌拼
成一张大餐桌？
（3）若酒店有 人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时
拼桌方式的示意图；如果没有，请说明理由．
【答案】第1题：
【观察发现】6， ；
【实践应用】 ；
第2题：
（1） ， ， ；（2） ；
（3） ．
【分析】第1题：
观察发现：4条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有 个交点，
一共4条直线，所以共有 ，除去重复的可求出结果；把4换成n求出n条直线的交点；
实践应用：比赛场数问题和交点问题一样，套用观察发现中的结果即可；
第2题：
（1）观察发现每多一张桌子多2人，n张桌子则增加了 张桌子，增加 人，
共坐 人，将对应数据代入求值即可；
（2）用（1）中的公式计算即可；
（3）如图：由（1）同理可知，n张桌子共坐 人；当人数为 时，求出 ，从而得
出最少桌子数．
【详解】第1题：
观察发现
四条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有 个交点，
一共4条直线，所以共有 ，
除去重复的，所以有：
；
n条直线，两两相交，每条直线都要和本身之外的相交，有 个交点，
一共n条直线，所以共有 个交点，
除去重复的，所以有：
；
实践应用：
（场），答：这一轮要进行 场比赛；
故答案为：6， ， ；
第2题
（1）观察发现每多一张桌子多2人，n张桌子则增加了 张桌子，增加 人，
共坐 人，
即： 人，
所以：
，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）由（1）得，
，
解得 ，
答：需 张餐桌拼成一张大餐桌；
（3）如图：
由（1）同理可知，
n张桌子共坐 人，
，
解得 ，
n是正整数， ，
答：最少要用 张餐桌．
【点睛】本题考查了数据规律的探究与实际应用；解题的关键是从题意观察、发现数据规律．
