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专题 05 整式中的两种规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规
律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【答案】0或﹣2
【详解】解：根据题意得∶ （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
……
∴（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1
∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，
∴x6﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1，
则x2019﹣1＝0或﹣2，
故答案为：0或﹣2．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒数为 ，－1的差倒
数为 ，已知 ， 是 差倒数， 是 差倒数， 是 差倒数，以此类推……，
的值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， 是 的差倒数，∴ ，
∵ 是 的差倒数， 是 的差倒数，∴ ，∴ ，根据规律可得 以 ， ， 为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以 ．
故选B．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一
个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【答案】0 1
【解析】由题意得：第3个数是 ，
第4个数是 ，第5个数是 ，第6个数是 ，
则前6个数的和是 ，
第7个数是 ，第8个数是 ，
归纳类推得：这2021个数是按 循环往复的，
，且前6个数的和是0，
这2021个数的和与前5个数的和相等，即为 ，
故答案为：0，1．
【变式训练3】有一列数 ，…，那么第n个数为______．
【答案】
【详解】解： ， ， ，
， ，……
由此发现：第n个数为 ．
故答案为：【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨
辉三角：按照前面的规律，则 的展开式中从左起第三项为______．
【答案】
【详解】解：根据题意，
= ，
∴ 的展开式中从左起第三项为 ，
故答案为： ．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，
n条直线相交最多有______个交点．
【答案】 6
【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即 ；
三条直线相交最多有3个交点，即 ；四条直线相交最多有6个交点，即 ，
五条直线相交最多有10个交点，即 ，……∴n条直线两两相交，最多有 个交点（n为正整数，且n≥2）．
故答案为6； ．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有
45个小球．
【答案】9
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n= n（1+n）个小球，
∴ n（1+n）=45，
解得n=9或-10（舍去），
故答案为：9．
【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【答案】10
【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，
∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，
∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和
正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三
角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第 层含有正三角形个数为___个．
【答案】114
【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，
则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）= 个，
故答案为：114， ．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
【答案】2021
【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯
第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，
∵ ，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5
张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑
色正方形纸片，则n的值为（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
【答案】B
【详解】
解：观察图形知：
第一个图中有3=1+2×1个正方形，
第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，
第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，
…
故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201（个）正方形，
解得n=100
故选B．
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放
的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是
第（ ）颗棋子．
A．85 B．86 C．87 D．88
【答案】B【详解】偶数列数与排数表：
偶数列数 排数
2 24 3
6 4
8 5
… …
n
∴当n=16时，排数为： ，
∴前16列共有棋子： （颗），
∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．
故选B．
3．将一正方形按如图方式分成 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则
的值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，2a+2b=3a， 整理得，a=2b，
∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=（3×2b）÷b=6，
∴n=3×2+6×2=6+12=18．
故选：C．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空
格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图
（2）是一个未完成的幻方，则 与 的和是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【详解】
解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，
∴x+y=3z-24=12
故选：D．
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
【答案】16 674
【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，第n行的最后一个数字为： ，
第6行最后一个数字为： ； ，解得： ，
故答案为：16,674．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中 ， ，则 的
值为________．
【答案】
【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，
∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M=m（n+1），
∴M=11×(12+1)=143．
故答案为：143．
7．为了求 的值，可令 ，则 ，因此
，所以 按照以上推理计算出 的值是
______．
【答案】
【详解】解：令 ，
则 ，
因此 ，则 ，得： ，
所以 ．
故答案为： ．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌
宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐
_____人．【答案】（6n+2）
【详解】
解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．
拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．
拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．
…
拼接n（n为正整数）张桌子，可以坐（6n+2）人．
故答案是：（6n+2）．
9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其
中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如： ，
，不难发现，结果都是7．
2012年8月
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1） ，符合；（2） ；（3）见解析
【详解】解：（1）由题意得：
，符合；
（2） ；
答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x，则其后的数为（x+1），第二行的两个数分别为（x+7），（x+8），
根据题意，得 ．
10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总
数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什
么？
【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图
形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）
【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知， 与 之间的函数关系为：
首尾相加得
．
11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝
5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗
数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析
(2)m的值为9909或2110或6422
【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：
∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；
∵6=4+2， ，∴2642不是“筋斗数”；
(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数
∵ 是“筋斗数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a
∵ 与13的和能被11整除，
∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，
∵2b+a≤9且a、b为整数，∴b≤4.5
∵1100a+110b能被11整除，
∴2000b+a+13能被11整除，
∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，
∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍
去），∴ 的值为9909或2110或6422
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形
等分成两个面积为 的长方形，再把面积为 的长方形等分成面积为 的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算： ＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求： 的值的几何图形．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)见解析
【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为 时 ，
的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，
；
②设 ，
，
，即 ， ；
(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为 的三角形，接着把面积为 的三角形等分成两个面
积为 的三角形，再把面积为 的三角形等分成面积为 的三角形，如此进行下去，
则 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：
