文档内容
2019年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. -3的绝对值为（ ）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 9
2. 地球的半径约为6370000m，用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 637×104m B. 63.7×105m C. 6.37×106m D. 6.37×107m
3. 如图，直线l∥1，直角三角板的直角顶点C在直线l上，一锐角顶点B在直线l
l 2 1 2
上，若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 65∘ B. 55∘ C. 45∘ D. 35∘
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 4m-m=4 B. (a2 ) 3=a5
C. (x+ y ) 2=x2+ y2 D. -(t-1)=1-t
5. 某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数
统计如表：
投中次数 3 5 6 7 8
人数 1 3 2 2 2
则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（ ）
A. 5，6，6 B. 2，6，6 C. 5，5，6 D. 5，6，5
6. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（
）
A. 2π
B. 3π
C. 4π
D. 5π
7. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟
再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都
可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的
是（ ）A. B.
C. D.
8. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四
边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 12 8 6
2+√3 (2+√3)(2+√3)
9. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： =
2-√3 (2-√3)(2+√3)
=7+4√3，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无
理数，如：对于√3+√5-√3-√5，设x=√3+√5-√3-√5，易知√3+√5＞
√3-√5，故x＞0，由x2=（√3+√5-√3-√5）2=3+√5+3-√5-2√(3+√5)(3-√5)
√3-√2
=2，解得x=√2，即√3+√5-√3-√5=√2．根据以上方法，化简 +
√3+√2
√6-3√3-√6+3√3后的结果为（ ）
A. 5+3√6 B. 5+√6 C. 5-√6 D. 5-3√6
10. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，
1 1
则下列结论：①abc＜0；②a+ b+ c=0；③ac+b+1=0；
2 4
④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其
中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 计算：（π-2019）0-2cos60°=______．
⏜
12. 如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧 上，若
AB
∠OBA=50°，则∠C的度数为______．13. 2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成
功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在
2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性
的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的
魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①
内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径
上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的
数字从左到右依次为______和______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐
标为 （1，0），点A在x轴正半轴上，且AC=2．将
△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，
则变换后点A的对应点的坐标为______．
15. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴
k
上，D为AB的中点，反比例函数y= （k＞0）的图象经
x
过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的
面积为3，则k的值为______．
16. 如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不
与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边
BC于点G，连接AG，CF．
给出下列判断：
①∠EAG=45°；
1
②若DE= a，则AG∥CF；
3
1
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为 a2；
10
④若CF=FG，则DE=（√2-1）a；
⑤BG•DE+AF•GE=a2．
其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）
三、计算题（本大题共1小题，共5分）
9 6
17. 解关于x的分式方程： = ．
3+x 3-x
四、解答题（本大题共7小题，共67分）18. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x，x．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x+x=3，求k的值及方程的根．
1 2
19. “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的
了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下
面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中
对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽
取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男
生和1名女生的概率．
20. 在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔
船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船
P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，
且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速
度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判
断哪艘船先到达．21. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在
AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
√3
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．
3
22. 某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销
1
售价格x（元/千克）满足函数关系式p= x+8，从市场反馈的信息发现，该半成
2
品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关
系，部分数据如表：
销售价格x
（元/千 2 4 …… 10
克）
市场需求
量q（百千 12 10 …… 4
克）
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当
每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的
食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天
的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为
______元/千克．-
23. 若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易
- -
知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc
=100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
- -
①若2x+x3=45，则x=______；
- -
②若7 y-y8=26，则y=______；
- - -
③若t93+5t8=13t1，则t=______；
【能力提升】
- -
（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则
- - - - - -
mn+nm一定能被______整除，mn-nm一定能被______整除，mn•nm-mn一定能
被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一
种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：
任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字
按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最
小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数
按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现
的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
-
②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于
点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC
于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的
取值范围；
49
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为 ，
12
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在
抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M
及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：-3的绝对值为3，
即|-3|=3．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】
解：6370000m，用科学记数法表示正确的是6.37×106m，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】
解：如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=55°．
又∵直线l∥1，
l 2
∴∠2=∠3=55°．
故选：B．
根据余角的定义得到∠3，根据两直线平行，内错角相
等可得∠3=∠2．
本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准
确识图是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：A、4m-m=3m，故此选项错误；
B、（a2）3 =a6，故此选项错误；
C、（x+y ）2=x2+2xy+y2，故此选项错误；
D、-（t-1）=1-t，正确．
故选：D．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法
则是解题关键．
5.【答案】A
【解析】
解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；
处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）÷2=6，那么由中位数的定义可知，这组数
据的中位数是6．
平均数是：（3+15+12+14+16）÷10=6，
所以答案为：5、6、6，
故选：A．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均
数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
主要考查了平均数，众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
6.【答案】C
【解析】
解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，
底面积=π×12=π，
侧面积为=π•3=3π，
则这个几何体的表面积=π+3π=4π；
故选：C．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断
出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图，几何体的表面积的求法，
准确判断几何体的形状是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；
故B选项正确；
故选：B．
根据乌龟比兔子早出发，而早到终点逐一判断即可得．
本题主要考查函数图象，解题的关键是弄清函数图象中横、纵轴所表示的意义及实际
问题中自变量与因变量之间的关系．
8.【答案】B
【解析】
解：∵E为BC的中点，
∴ ，
∴ = ，
∴S = S ，S = S ，
△BOE △AOB △AOB △ABD
∴S = S = S ，
△BOE △ABD ▱ABCD
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 ，
故选：B．
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练掌握概率公式与平行四边形的性质以及相似三角形的性质是解
题的关键．
9.【答案】D
【解析】
解：设x= - ，且 ＞ ，
∴x＜0，
∴x2=6-3 -2 +6+3 ，
∴x2=12-2×3=6，∴x= ，
∵ =5-2 ，
∴原式=5-2 -
=5-3 ，
故选：D．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属
于基础题型．
10.【答案】B
【解析】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b=-2a，
∴a+ b=a-a=0，
∵c＞0，
∴a+ b+ c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（-c，0），
把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以③错误；
∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；
故选：B．
①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交
点位置可得c＞0，则可对①进行判断；
②根据对称轴是直线x=1，可得b=-2a，代入a+ b+ c，可对②进行判断；
③利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c即可对③作出判
断；
④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴
交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．11.【答案】0
【解析】
解：原式=1-2× =1-1=0，
故答案为：0
原式利用零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】40°
【解析】
解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，
∴∠C= ∠AOB=40°．
故答案为40°．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理
得到∠C的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．
13.【答案】2 9
【解析】
解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a，b
∵外圆两直径上的四个数字之和相等
∴4+6+7+8=a+3+b+11①
∵内、外两个圆周上的四个数字之和相等
∴3+6+b+7=a+4+11+8②
联立①②解得：a=2，b=9
∴图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2，9
故答案为：2；9．
根据题意要求①②可得关于所要求的两数的两个等式，解出两数即可．
此题比较简单，主要考查了有理数的加法，主要依据题中的要求①②列式即可以求解．
14.【答案】（-2，2）
【解析】
解：∵点C的坐标为（1，0），AC=2，
∴点A的坐标为（3，0），
如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A′的坐标为（1，2），
再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为
（-2，2），
故答案为：（-2，2）．
根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的
关键．
4
15.【答案】
3
【解析】
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），则E的坐标为E（a， ），
∵D为AB的中点，
∴D（ a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ ab=k，
∵S =S -S -S -S =ab- k- k- • a•（b- ）=3，
△ODE 矩形OCBA △AOD △OCE △BDE
∴ab- k- k- ab+ k=3，
解得：k= ，
故答案为： ．
根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B
的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标
应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，
本题属于中等题型．
16.【答案】①②④⑤
【解析】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=a，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠GAF+∠EAF= 90°=45°，故①正确；
②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，
设BG=GF=x，∵DE= a，
∴EF= a，
∴CG=a-x，
在Rt△EGC中，EG=x+ a，CE= a，由勾股定理可得（x+ a）2=x2+（ a）2，
解得x= a，此时BG=CG= a，
∴GC=GF= a，
∴∠GFC=∠GCF，
且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，
∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴②正确；
③若E为CD的中点，则DE=CE=EF= ，
设BG=GF=y，则CG=a-y，
CG2+CE2=EG2，
即 ，
解得，y= a，
∴BG=GF= ，CG=a- ，
∴ ，
∴ ，
故③错误；
④当CF=FG，则∠FGC=∠FCG，
∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF=GF，
∴BG=GF=EF=DE，
∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，
∴ ，即 ，
∴DE=（ -1）a，
故④正确；
⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，
由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac，
∴ = ，
即S =BG•DE，
△CEG
∵S =S ，S =S ，
△ABG △AFG △AEF △ADE
∴ ，
∵S +S =S ，
五边形ABGED △CEG 正方形ABCD
∴BG•DE+AF•EG=a2，
故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
①由折叠得AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误；
②设BG=GF=x，由勾股定理可得（x+ a）2=x2+（ a）2，求得BG= a，进而得
GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再证明∠AGB=∠GCF，便可判断正误；
③设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个
三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积，便可判断正误；④证明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，进而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形
的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；
⑤设BG=GF=b，DE=EF=c，则CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得△CEG
的面积为BG•DE，再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论，
进而判断正误．
本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用折叠得到线
段相等及角相等、正方形的性质的运用是解题的关键．涉及内容多而复杂，难度较大．
17.【答案】解：去分母得：27-9x=18+6x，
移项合并得：15x=9，
3
解得：x= ，
5
3
经检验x= 是分式方程的解．
5
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的
实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，
3
解得：k＞ ，
4
3
故实数k的取值范围为k＞ ；
4
（2）∵方程的两个根分别为x，x，
1 2
∴x+x=2k+1=3，
1 2
解得：k=1，
∴原方程为x2-3x+2=0，
∴x=1，x=2．
1 2
【解析】
（1）由于关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，可知
△＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x+x=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
1 2
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞
0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程
没有实数根．以及根与系数的关系．
19.【答案】60 10 96° 1020
【解析】
解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%=60（人），m=60-4-30-16=10；
故答案为：60，10；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数=360°× =96°；
故答案为：96°；
（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：1800×
=
1020
（人）；
故答案为：1020；
（4）由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有
8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 = ．
（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
（3）用总人数1800乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即
可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的
结果数，然后利用概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA=∠PB=90°，
由题意得：PA=120海里，∠A=30°，∠BPC=45°，
1
∴PC= PA=60海里，△BCP是等腰直角三角形，
2
∴BC=PC=60海里，PB=√2PC=60√2海里；
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60√2海
里；
（2）∵PA=120海里，PB=60√2海里，救助船A，B分别以40海
里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
120 60√2
∴救助船A所用的时间为 =3（小时），救助船B所用的时间为 =2√2（小
40 30
时），
∵3＞2√2，
∴救助船B先到达．
【解析】
（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA=∠PB=90°，由题意得：PA=120海里，∠A=30°，
∠BPC=45°，由直角三角形的性质得出PC= PA=60海里，△BCP是等腰直角三角形，
得出PB= PC=60 海里即可；
（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解
题的关键．
21.【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
√3
∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，
3
√3
∴sin∠1= ，
3
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
√3
∴BE=AB•sin∠1=3× =√3，
3
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2√3，
CH √3
∵sin∠CBF= = ，
BC 3
∴CH=2，
∵CH∥AB，
CF CH CF 2
∴ = ，即 = ，
AF AB CF+3 3
∴CF=6，
∴AF=AC+CF=9，
∴BF=√AF2-AB2=6√2．
【解析】
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角
形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、
解直角三角形等知识点．
13
22.【答案】 5
2
【解析】
解：
（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q=kx+b
根据表格的数据得 ，解得
故q与x的函数关系式为：q=-x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即 x+8≤-x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4②由①可知，当2≤x≤4时，
y=（x-2）p=（x-2）（ x+8）= x2+7x-16
当4＜x≤10时，y=（x-2）q-2（p-q）
=（x-2）（-x+14）-2[ x+8-（-x+14）]
=-x2+13x-16
即有y=
（3）当2≤x≤4时，
y= x2+7x-16的对称轴为x= = =-7
∴当2≤x≤4时，除x的增大而增大
∴x=4时有最大值，y= =20
当4＜x≤10时
y=-x2+13x-16=-（x- ）2+ ，
∵-1＜0， ＞4
∴x= 时取最大值
即此时y有最大利润
要使每天的利润不低于24百元，则当2≤x≤4时，显然不符合
故y=-（x- ）2+ ≥24，解得x≤5
故当x=5时，能保证不低于24百元
故答案为： ，5
（1）根据表格数据，可设q与x的函数关系式为：q=kx+b，利用待定系数法即可求
（2）①根据题意，当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q，②根据销售利润=销
售量×（售价-进价），列出厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系
式
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增
减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案．
23.【答案】2 4 7 11 9 10 495
【解析】
解：（1）①∵ =10m+n
∴若 + =45，则10×2+x+10x+3=45
∴x=2
故答案为：2．
②若 - =26，则10×7+y-（10y+8）=26解得y=4
故答案为：4．
③由 =100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若 + = ，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1
∴100t=700
∴t=7
故答案为：7．
（2）∵ + =10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n）
∴则 + 一定能被 11整除
∵ - =10m+n-（10n+m）=9m-9n=9（m-n）
∴ - 一定能被9整除．
∵ • -mn=（10m+n）（10n+m）-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10（10mn+m2+n2）
∴ • -mn一定能被10整除．
故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算
972-279=693
963-369=594
954-459=495
954-459=495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为 时，第一次运算后得：100a+10b+c-（100c+10b+a）=99（a-
c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a-c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a-c≤9
∴a-c=2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459-495，954-459=495…故都可以得
到该黑洞数495．
（1）①②③均按定义列出方程求解即可；
（2）按定义式子展开化简即可；
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中
等难度略大．
24.【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）
∴设交点式y=a（x+2）（x-6）
∵抛物线过点A（0，6）∴-12a=6
1
∴a=-
2
1 1 1
∴抛物线解析式为y=- （x+2）（x-6）=- x2+2x+6=-
2 2 2
（x-2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x=2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1
∴∠PHD=90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧
1
∴2＜m＜6，PH=n=- m2+2m+6，n＞0
2
∵OA=OC=6，∠AOC=90°
∴∠ACO=45°
∵PD⊥AC于点E
∴∠CED=90°
∴∠CDE=90°-∠ACO=45°
∴DH=PH=n
∵PG∥AB
∴∠PGH=∠ABO
∴△PGH∽△ABO
PH GH
∴ =
AO BO
BO⋅PH 2PH 1
∴GH= = = n
AO 6 3
1 2 2 1 1 4
∴d=DH-GH=n- n= n= （- m2+2m+6）=- m2+ m+4（2＜m＜6）
3 3 3 2 3 3
1 49
（3）①∵S = DG•PH=
△PDG 2 12
1 2 49
∴ ⋅ n•n=
2 3 12
7 7
解得：n= ，n=- （舍去）
1 2 2 2
1 7
∴- m2+2m+6=
2 2
解得：m=-1（舍去），m=5
1 2
7
∴点P坐标为（5， ）
2
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形．
设直线AP解析式为y=kx+6
7
把点P代入得：5k+6=
2
1
∴k=-
21
∴直线AP：y=- x+6
2
i）若∠RAS=90°，如图2
∵直线AC解析式为y=-x+6
∴直线AR解析式为y=x+6
{
y=x+6
{x =0 {x =2
1 解得： 1 （即点A） 2
y=- x2+2x+6 y =6 y =8
2 1 2
∴R（2，8）
∵∠ASR=∠OAC=45°
∴RS∥y轴
∴x=x=2
S R
∴S（2，4）
∴直线OM：y=2x
12
{
y=2x {x=
5
∵ 1 解得：
y=- x+6 24
2 y=
5
12 24
∴M（ ， ）
5 5
ii）若∠ASR=90°，如图3
∴∠SAR=∠ACO=45°
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上
∴S（2，4）
12 24
∴M（ ， ）
5 5
iii）若∠ARS=90°，如图4，
∴∠SAR=∠ACO=45°，RS∥y轴
∴AR∥x轴
∴R（4，6）
∴S（4，2）
1
∴直线OM：y= x
2
1
{ y= x
2 {x=6
∵ 解得：
1 y=3
y= x+6
2
∴M（6，3）
12 24 12 24
综上所述，M（ ， ），R（2，8）；M（ ， ），R（4，6）；M（6，3），
1 5 5 1 2 5 5 2 3
R（4，6）．
3
【解析】（1）已知抛物线与x轴交点B、C，故可设交点式，再把点A代入即求得抛物线解析式．
用配方法或公式求得对称轴．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，由PD⊥AD于点E易证∠PDH=45°，故DH=PH=n．由
PG∥AB易证△PGH∽△ABO，利用对应边成比例可得GH= n，把含
m的式子代入d=DH-GH即得到d与m的函数关系式，再由点P的位置确定2＜m＜6．
（3）①用n表示DG、PH，代入S = DG•PH= ，求得n的值（舍去负值），再利用
△PDG
n=- m2+2m+6解关于m的方程即求得点P坐标．
②因为△ARS为等腰直角三角形且AS与y轴夹角为45°，故AR与y轴夹角为45°或
90°．由于不确定△ARS哪个为直角顶点，故需分3种情况讨论，画出图形，利用
45°或90°来确定点R、S的位置，进而求点R、S坐标，再由S的坐标求直线OM解析
式，把直线OM与直线AP解析式联立方程组，解得点M坐标．
本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性
质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法．第（3）
题②要充分利用等腰直角三角形的性质和直线AC与y轴夹角为45°来解题，画出图形
进行分类讨论，先确定点R、S的位置并计算坐标，再求直线OM解析式与AP联立求
M．
