文档文本内容
2024 年秋季学期开学素养提升训练
八年级数学学科试卷
【人教版】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
测试范围：七年级下册-八年级上册第二章
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．3，5，7 C．5，6，11 D．4，7，13
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的构成条件：较短的两边的和大于第三边，熟练掌握三角形的构成条
件是解题的关键．由较短的两边相加，若大于较长的边，则可构成三角形，据此判断．
【详解】解：A、∵3+4<8，∴此三条线段不能构成三角形，故A不符合题意；
B、∵3+5>7，∴此三条线段能构成三角形，故B符合题意；
C、∵5+6=11，∴此三条线段不能构成三角形，故C不符合题意；
D、∵4+7=11<13，∴此三条线段不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即
可．
【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的，
故选：C．
1
3．在实数❑√2，π， ，0，3.1415926，√35，❑√(−4) 2中，无理数的个数有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．1
【详解】解： ，0，3.1415926，❑√(−4) 2=4都是有理数，
3
实数❑√2，π，√35是无理数，共有3个；
故选：B．
4．以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查市场上粽子的质量
C．调查春节联欢晚会的收视率 D．了解某班学生的身高情况
【答案】D
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对
象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，
应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调
查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查市场上粽子的质量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，DC=4cm，
则DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质得出DE=CD即可求解．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵DC=4cm，
∴DE=DC=4cm，
故选：C．
6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】A
【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的
1 1
三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得S =S = S ，S =S = S 即
△ABD △ACD 2 △ABC △ACE △CED 2 △ACD
可求解．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵△ABD,△ACD的高相等
1
∴S =S = S =6cm2
△ABD △ACD 2 △ABC
∵CE是△ACD的中线
∴AE=DE
∵△ACE,△CDE的高相等
1
∴S =S = S =3cm2
△ACE △CED 2 △ACD
故选A．
7．若a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A．−2a>−2b B．a+1<b+1 C．−a<−b D． >
c c
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的
方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵a>b，∴−2a<−2b，故选项A不符合题意；
∵a>b，∴a+1>b+1，故选项B不符合题意；
∵a>b，∴−a<−b，故选项C符合题意；a b
∵a>b，若c>0，则 > ，故选项D不符合题意；
c c
故选：C．
8．下列运算正确的是（ ）
A．❑√(−2) 2=−2 B．|❑√3−2)=2−❑√3 C．❑√9−❑√5=❑√4 D．√3−27=3
【答案】B
【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，二次根式加减运算，掌握立方根、算术
平方根的定义在是解题的关键．直接根据算术平方根和立方根定义计算即可．
【详解】解：A、❑√(−2) 2=|−2|=2，故A错误，不符合题意；
B、|❑√3−2)=2−❑√3，故B正确，符合题意；
C、❑√9−❑√5=3−❑√5，故C错误，不符合题意；
D、√3−27=−3，故D错误，不符合题意．
故选：B．
9．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误
的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D
【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
10．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的有（ ）．
①∠D+∠BAD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握并区分各个判定定理是解题的关键．根据平行
线的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：∵∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，故①符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，故②不符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠B=∠5，
∴AB∥CD，故④符合题意；
综上，①③④可判断AB∥CD，
故选：D．
11．请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只
行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞
跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
则可列方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，
逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
则可列方程组为：¿；
故选D．
12．对于任意实数a，b，定义一种新运算：a∗b=ab−2a．例如，2∗4=2×4−2×2=4，请根
{3∗x<6)
据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组 有3个整数解，则m的取值范围是
x∗3≥m（ ）
A．0<m<1 B．0<m≤1 C．0≤m<1 D．0≤m≤1
【答案】B
【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关
键．
利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有
3个整数解，确定出m的范围即可．
【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为：
{ 3x−6<6 )
，解得：m≤x<4，
3x−2x≥m
∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3，
∴0<m≤1
故选：B．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．命题“等角的余角相等”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】根据余角的定义，相等角的余角也相等．本题考查了命题：正确理解余角的定义是解决
问题的关键．
【详解】解：命题“等角的余角相等”是真命题．
故答案为：真．
14．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】根据多边形的内角和定理：180°⋅(n−2)求解n的值，主要考查了多边形的内角和定理．
n边形的内角和为：180°⋅(n−2)．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
【详解】解：由题意可得：180°⋅(n−2)=150°⋅n，
解得n=12．
∴则这个多边形的边数是12
故答案为：12．
15．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，已知猴山的坐标是(−2，2)，
则图中熊猫馆的位置用坐标表示为 ．【答案】(1，3)
【分析】根据熊猫馆在猴山右侧三个单位，上方一个单位，可求坐标．
【详解】解：熊猫馆在猴山右侧三个单位，上方一个单位，
所以熊猫馆的坐标是(−2+3，2+1)，即(1，3)，
故答案为：(1，3)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，解题关键是明确两个点的位置关系，得出坐标．
16．已知❑√2.1≈1.449，❑√21≈4.573，则❑√210≈ ．
【答案】14.49
【分析】把❑√2.1的被开方的小数点向右移动2位，则其平方根的小数点向右移动1位，即可得到
答案；
【详解】∵❑√210=❑√2.1×100=10❑√2.1，
而❑√2.1=1.449，
∴❑√210=1.449×10=14.49．
故答案为14.49．
【点睛】本题考查了算术平方根： 若一个正数的平方等于a，那么这个数叫a的算术平方根，记
作❑√a(a>0)．
17．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米，将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图
2，每一块小矩形牧场的周长是 米．
【答案】300
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，根据矩
形的对边相等且大矩形的周长为700米，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，
y的值，再将其代入2(x+ y)中即可求出结论．【详解】解：设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
{ 2x=x+2y )
依题意得： ，
2(2x+x+ y)=700
{x=100)
解得： ，
y=50
∴2(x+ y)=2×(100+50)=300（米）．
故答案为：300．
18．如图，在射线OA，OB上分别截取OA =OB ，连接A B ，在B A 、B B上分别截取
1 1 1 1 1 1 1
B A =B B ，连接A B ，…按此规律作下去，若∠A B O=α，则∠A B O= ．
1 2 1 2 2 2 1 1 2023 2023
α
【答案】
22022
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A B O，依此类推即可得到结论．
2 2
【详解】解：∵B A =B B ，∠A B O=α，
1 2 1 2 1 1
1
∴∠A B O= α，
2 2 2
1 1 1
同理∠A B O= × α= α，
3 3 2 2 22
1
∠A B O= α，
4 4 23
1
∴∠A B O= α，
n n 2n−1
α
∴∠A B O= ，
2023 2023 22022
α
故答案为： ．
22022
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的
差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．计算
( 1)
(1)计算：2×4+14÷(−2)× − ；
7
{ x+ y=6① )
(2)解方㘿组： ．
3x−2y=3②
【答案】(1)9
{x=3)
(2)
y=3
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，
准确计算．
（1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
( 1)
【详解】（1）解：2×4+14÷(−2)× −
7
( 1)
=8+(−7)× −
7
=8+1
=9；
{ x+ y=6① )
（2）解：
3x−2y=3②
①×2+②得：5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入①得：3+ y=6，
解得：y=3，
{x=3)
∴原方程组的解为： ．
y=3
{ 2x>−4 )
20．解不等式组： ，并将其解集表示在数轴上．
3−(2x−1)≤6−3x
【答案】−2<x≤2；数轴见解析【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：
如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆
点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
{ 2x>−4① )
【详解】解： ，
3−(2x−1)≤6−3x②
解不等式①得：x>−2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：−2<x≤2，
∴表示在数轴上为：
21．如图，将△ABC向左、向下分别平移5个单位，得到△A B C ．
1 1 1
(1)画出△A B C ；
1 1 1
(2)求出△A B C 的面积；
1 1 1
(3)若点P(a,b)是△ABC内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)2.5
(3)(a−5,b−5)【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，点坐标的平移．熟练掌握平移的性质作图是解题的
关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
1 1 1
（2）根据S =3×2− ×1×2− ×1×2− ×1×3，计算求解即可；
ΔABC 2 2 2
（3）根据点坐标平移，左减右加，上加下减，求解作答即可．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
1 1 1
（2）解：由题意知，S =3×2− ×1×2− ×1×2− ×1×3=2.5，
ΔABC 2 2 2
∴△A B C 的面积为2.5；
1 1 1
（3）解：由题意知，点P(a,b)平移后对应点的坐标为(a−5,b−5) ．
22．如图，点B在CD上，OB=OD，AB=CD，∠OBA=∠D；
(1)求证：△ABO≌△CDO；
(2)当AO∥CD，∠BOD=30°，求∠A的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠A的度数为30°
【分析】（1）利用“边角边”定理证明两三角形全等即可．
（2）根据△ABO≌△CDO可证∠A=∠C，∠AOB=∠COD，则∠AOC=∠BOD=30°，再利
用平行线的性质可证∠C=∠AOC=30°，故∠A=∠C=30°
【详解】（1）证明：在△ABO和△CDO中，{
OB=OD
)
∵ ∠OBA=∠D ，
AB=CD
∴△ABO≌△CDO(SAS)；
（2）解：∵△ABO≌△CDO，
∴∠AOB=∠COD，∠A=∠C，
∴∠AOB−∠COB=∠COD−∠COB，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∵OA∥CD，
∴∠C=∠AOC=30°，
∴∠A=30°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是找准具有相等关系
的角．
23．为了传承优秀传统文化，某校七年级组织600名学生参加了一次“汉字听写”大赛，赛后发
现所有参赛学生的成绩均不低于60分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其
中20名学生的成绩作为样本，成绩如下：
90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80．
对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 百分比
60≤x<70 3 15%
70≤x<80 4 20%
80≤x<90 a b
90≤x≤100 c d请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=____________，b=____________，c=____________，d=____________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩
“优”等的有多少人？
【答案】(1)7，35%，6，30%
(2)见解析
(3)390人
【分析】本题主要考查频数分布直方图，频数分布表，掌握频率，频数，总数之间的关系是关键．
（1）根据题中所给的学生成绩可知：a=7，c=6，再根据频率=频数÷总数可求出b、d；
（2）由（1）中所求的数据补全频数分布直方图即可；
（3）用600乘以成绩“优”等的百分比即可求解．
【详解】（1）解：根据题中所给的学生成绩可知：a=7，c=6，
∴ b=7÷20=0.35=35%，d=6÷20=0.3=30%，
故答案为：7，35%，6，30%；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）成绩“优”等的学生有：600×(35%+30%)=390（人）．
24．如图，在ΔABC中，已知∠ABC=45∘，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点
M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N.（1）求证：ΔDBN≌ΔDCM；
（2）设CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，试探究线段NE，ME，CM之间的数量关系，
并证明你的结论.
【答案】（1）见解析；（2）NE−ME=CM，见解析.
【分析】（1）根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明．
（2）结论：NE−ME＝CM，作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，证明
△DEF≌△CEM，推出EF=EM，DF=CM由此即可证明．
【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=45∘，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45∘，
∴BD=DC
∵∠BDC=∠MDN=90∘，
∴∠BDN=∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM=90∘−∠A=∠ACD
{∠BDN=∠CDM
)
在ΔDBN和ΔDCM中， BD=DC
∠DBN=∠DCM
∴ΔDBN≌ΔDCM；
（2）结论：NE−ME=CM
证明：由（1）ΔDBN≌ΔDCM可得DM=DN．
作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，
∴DF=FN，
{
∠≝=∠CEM
)
在ΔDEF和ΔCEM中， ∠DFE=∠CME ，
DE=EC
∴ΔDEF≌ΔCEM，
∴EF=EM，DF=CM，
∴CM=DF=FN=NE−FE=NE−ME.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
25．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，
共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据
市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两
种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大
利润是多少？
【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）利润最大为4400元．
【分析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电脑机箱
10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资
金4120元”即可列方程组求解；
（2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利润不少
于4100元”即可列不等式组求解.
【详解】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，
{10x+8 y=7000)
根据题意得： ，
2x+5 y=4120
{ x=60 )
解得： ，
y=800
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，
{60m+800(50−m)≤22240)
根据题意得： ，
10m+160(50−m)≥4100
解得：24≤m≤26，因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，
从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，
②电脑箱：25台，液晶显示器：25台；
③电脑箱：26台，液晶显示器：24台．
∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，
方案二的利润：25×10+25×160=4250，
方案三的利润：26×10+24×160=4100，
∴方案一的利润最大为4400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25
台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元．
【点睛】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需
熟练掌握.
26．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD上的
点．且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系；
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是______．
【探索延伸】
在在四边形ABCD中如图2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，
1
∠EAF= ∠BAD，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立；
2
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南
偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60
海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指
挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此
时两舰艇之间的距离．
【问题发现】
如图4，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点F在CB的延长线上，点E
在CD的延长线上，若EF=BF+DE，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【答案】初步探索：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇
之间的距离是210海里；问题发现：2∠EAF+∠BAD=360°．
【分析】初步探索：根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADG，推得AE=AG，
∠BAE=∠DAG，根据∠BAD=120°，∠EAF=60°，推得∠EAF=∠GAF，根据全等三角形
的判定可得△AEF≌△AGF，推得EF=FG，即可推得EF=BE+DF；
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，和△AEF≌△AGF，得
到答案；
结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF=AE+BF，根据距离、速度和时间的关系
计算即可；
问题发现：延长DC到H，使DH=BF，利用邻补角可得∠FBA=∠HDA，利用SAS可证明
△ABF≌△ADH，可得AF=AH，∠BAF=∠DAH，根据角的和差关系可得∠FAH=∠BAD，
根据EF=BF+DE可得EF=EH，利用SSS可证明△EAF≌△EAH，可得∠EAF=∠EAH，根据
周角的定义即可得答案．
【详解】初步探索：线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF=BE+DF；
证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，如图1：
{
BE=DG
)
在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG ，
AB=AD
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF，
{
AE=AG
)
在△AEF和△AGF中， ∠EAF=∠GAF ，
AF=AF
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∴FG=DG+DF=BE+DF，
故线段BE、EF、FD之间的数量关系为：EF=BE+DF．
故答案为：EF=BE+DF．
探索延伸：仍然成立；
证明：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADG，
{
BE=DG
)
在△ABE和△ADG中， ∠B=∠ADG ，
AB=AD
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF.
∴∠EAF=∠GAF，{
AE=AG
)
在△AEF和△AGF中， ∠EAF=∠GAF ，
AF=AF
∴△AEF≌△AGF
∴EF=FG，
∴FG=DG+FD=BE+DF；
故结论仍然成立．
结论运用：解：连接EF，延长AE、BF交于点C，如图3：
∵∠AOB=30°+90°+(90°−70°)=140°，∠EOF=70°，
1
∴∠EOF= ∠AOB，
2
∵OA=OB，
∴∠OAC+∠OBC=(90°−30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里；
问题发现：延长DC到H，使DH=BF，如图4，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠FBA+∠ABC=180°，
∴∠FBA=∠HDA，{
AB=AD
)
在△ABF和△ADH中， ∠FBA=∠HDA ，
BF=DH
∴△ABF≌△ADH，
∴AF=AH，∠BAF=∠DAH，
∴∠BAF+∠BAH=∠DAH+∠BAH，即∠FAH=∠BAD，
∵EF=BF+DE，DH=BF，
∴EF=DH+DE=EH，
{AF=AH
)
在△EAF和△EAH中， EF=EH ，
EA=EA
∴△EAF≌△EAH，
∴∠EAF=∠EAH，
∴∠EAF+∠EAH+∠FAH=2∠EAF+∠BAD=360°，
∴2∠EAF+∠BAD=360°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
