文档内容
专题 08 轴对称与画轴对称图形
考点一 轴对称图形的识别 考点二 轴对称的性质进行求解
考点三 轴对称中光线反射、台球桌上等的问题 考点四 轴对称中折叠问题
考点五 线段的垂直平分线的性质 考点六 画轴对称图形
考点七 坐标与图形变换——轴对称
考点一 轴对称图形的识别
例题：（2021·安徽滁州·八年级期末）12月2日是全国交通安全日，你认为下列交通标志不是轴对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义判断即可得出．
【详解】
解：由轴对称图形的定义：“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫
做轴对称图形”分析可知，上述四个图形中，A，B，D都是轴对称图形，只有C不是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）下列图形是轴对称图形的是( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称
图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022·江西九江·七年级期末）下列2022年北京冬季奥运会体育图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义进行判断即可；
【详解】
轴对称图形指的是平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形；故符合题意的
只有选项C；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．考点二 轴对称的性质进行求解
例题：（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校七年级期末）如图， 是轴对称图形，AD所在的直线
是它的对称轴， ， ，则 的周长为______．
【答案】24cm
【解析】
【分析】
AD是三角形ABC的对称轴，则AC=AB，BD=DC，已知AC=8cm，DC=4cm，据此进行解答即可．
【详解】
解：AD是三角形ABC的对称轴，则AC=AB，BD=DC，已知AC=8cm，DC=4cm，
则三角形ABC的周长=（8+4）×2
=12×2
=24（cm）
故答案为：24cm．
【点睛】
本题的重点是根据轴对称图形的特点和三角形周长的计算方法来解答问题的能力．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称．
(1)线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________．
(2)AE与BF平行吗？为什么？
(3)若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？
【答案】(1)EH，GH，∠GFE，∠EHG(2) ，原因见解析
(3)不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质解答即可；
（2）对称图形的每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，据此求解；
（3）根据平面内两条直线的位置关系可回答．
(1)
解：由对称的性质可知：线段AD的对称线段是EH，CD＝GH， ， ．
故答案为：EH，GH，∠GFE，∠EHG；
(2)
解： ．
理由：因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，
即 ， ，
所以 ；
(3)
解：由 ，不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的性质，掌握其性质是解决此题关键．
2．（2022·贵州六盘水·七年级期末）如图， 和 关于直线 对称， 与 的交点 在直线
上．
(1)图中点 的对应点是点__________， 的对应角是_______
(2)若 ， ，则 的长为_______
(3)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) ， ；(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）由轴对称的性质，即可得到对应顶点、对应角、对应边；
（2）由轴对称的性质，得到 ，即可求出 的长度；
（3）先求出 的度数，然后由轴对称的性质，即可求出答案．
(1)
解：∵ 和 关于直线 对称，
∴点 的对应点是点 ；
的对应角是 ；
故答案为： ， ；
(2)
解：∵ 和 关于直线 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：3；
(3)
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 关于直线 对称，
∴ ；
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．
考点三 轴对称中光线反射、台球桌上等的问题
例题：（2022·湖北十堰·八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方
向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【解析】
【分析】
利用轴对称画图可得答案．
【详解】
解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
【变式训练】
1．（2020·江苏·苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）如图是一个经过改造的规则为 的台球桌
面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以
经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】
解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
∴球最后将落入的球袋是4号袋，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线
段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
2．（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校七年级期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网
格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰
撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．
发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞
次数是____
【答案】673
【解析】
【分析】
如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】
解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5，
当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次，
故答案为：673．
【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
考点四 轴对称中折叠问题
例题：（2022·重庆大渡口·七年级期末）如图，长方形纸片 中，AB，DC边上分别有点E，F，将长
方形纸片 沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若 ，则∠DFE的度
数是（ ）
A．75° B．76° C．77° D．78°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠AEF=∠GEF，再由 ，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，从
而得到∠AEF=104°，然后根据AB∥CD，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，
∵ ，
∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，
∴∠AEF=104°，
∵AB∥CD，
∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江台州·七年级期末）如图1，将长方形纸片 沿着 翻折，使得点 ， 分别落在点
， 位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着 翻折，使得点 恰好落在 延长线上
的点 处．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，试用含 的式子表示 ，并说明理由．
【答案】(1)40°
(2) ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN=∠BMN=70°，再运用邻补角互补即可求得答案；
（2）由翻折可得： ，∠BMN=∠QMN，再运用邻补角互补即可求得答案．
(1)
解∶根据题意得：∠EMN=∠BMN=70°，
∴∠BME=140°，∴∠AME=180°-∠BME=40°；
(2)
解： ，理由如下：
根据题意得： ，∠BMN=∠QMN，
∴ ，
∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN= ．
【点睛】
本题考查了几何变换——翻折的性质，邻补角互补等，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
2．（2022·山西吕梁·七年级期末）如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点 '处，BC为
折痕．
(1)如图1，若∠1＝25°，求∠ BD的度数；
(2)如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与B 重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
【答案】(1)130°
(2)90°
【解析】
【分析】
（1）根据折叠性质得到∠1=∠ABC=25°．然后利用邻补角的定义计算∠ BD的度数；
（2）根据折叠的性质得∠2=∠DBE= ∠ BD=60°，然后计算∠1+∠2得到∠CBE的度数．
(1)
解：∵角的顶点A落在点 处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=25°．
∴∠A'BD=180°-25°-25°=130°；
(2)解：由折叠性质得∠1=∠ABC= ∠AB ，
∠2=∠DBE= ∠ BD，
∴∠1+∠2= ∠AB + ∠ BD
= （∠AB +∠ BD）
= ×180°
=90°．
即∠CBE=90°．
【点睛】
本题考查了角的计算，折叠的性质，结合图形进行角的和差倍分计算是解答的关键．
考点五 线段的垂直平分线的性质
例题：（2022·陕西西安·七年级期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若
△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝_______．
【答案】6
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD，结合△ABD的周长求出AB+AC的长，再根据△ABC的
周长求出BC的长，解答即可．
【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC，
∵△ABD的周长为20，
∴AB＋AD＋BD＝20，
∵DB＝DC，
∴AB＋AD＋DC＝20，
即AB＋AC＝20，
∵△ABC的周长为32，∴AB＋BC＋AC＝32，
∴BC＝32−20＝12，
∴BE＝EC＝ BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线的性质求出DB＝DC．
【变式训练】
1．（2021·江苏淮安·八年级期末）已知，如图 中， ，边 、 的垂直平分线分别交
于 、 ，交 、 于 、 ，连接 与 ，则 的周长＝______．
【答案】10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=CE，则△ADE的周长
=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC．
【详解】解：∵DF和EG分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AE＝8，AC＝5，则BE的值为______．
【答案】3
【分析】连接CD，BD，证明 （HL），由全等三角形的性质得AE=AF，证明
（HL），得出BE=CF，根据边之间的关系即可得．【详解】解：如图所示，连接CD，BD，
∵AD平分 ， ， ，
∴DE=DF，
在 和 中，
，
∴ （HL），
∴AE=AF，
∵DG垂直平分BC，
∴CD=BD，
在 和 中，
∴ （HL），
∴BE=CF，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了线段垂直平分的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌
握这些知识点．
考点六 画轴对称图形
例题：（2020·江西·新余四中八年级期中）如图是8×8的方格，每个小正方形的边长是1，△ABC的顶点是
小正方形的顶点．(1)作△ABC关于直线l对称的△DEF；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【解析】
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得到作 ABC关于直线l对称的 DEF；
（2）依据三角形面积计算公式，即可△得到 ABC的面积． △
(1) △
解：如图所示， DEF即为所求；
△
(2)
解：△ABC的面积＝ ＝4．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟知轴对称的性质以及三角形面积计算公式是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法
在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（所画的三个图形不能全等）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可．
【详解】
解：如图所示：
．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．（2022·山东省济南实验初级中学七年级期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，在
所给的方格纸中，完成下列各题（用直尺画图，先用铅笔画图，确定不再修改后用中性笔描黑．）
(1)画出格点 关于直线DE对称的 ；
(2)连接AA，BB，直接写出 的值；
1 1
(3)求 的面积．【答案】(1)见解析
(2)见解析；8
(3)2
【解析】
【分析】
（1）找到 关于直线 的对称点，然后首位连接 ，则 即为所求；
（2）连接AA，BB，根据网格的特点即可求解；
1 1
（3）根据 的面积等于一个长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
(1)
如图，找到 关于直线 的对称点，然后首位连接 ，则 即为所求，
(2)
如图，
(3)
【点睛】
本题考查了作轴对称图形，根据网格的特点求线段的长，数形结合是解题的关键．考点七 坐标与图形变换——轴对称
例题：（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分
别是 ， ， ．画出 关于x轴对称的 ，并写出点 、 的坐标．
【答案】见详解， ，
【分析】关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此先找到A、B、C关于x轴的对称
点 、 、 的坐标，再两两连接即可得到 ．
【详解】∵ ， ， ，
又∵关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ ， ， ，
作图如下：
即为所求， ， ．
【点睛】本题主要考查了在坐标系中作关于x轴对称的图形的知识，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标
相同，纵坐标互为相反数，是解答本题的关键．【变式训练】
1．（2022·甘肃·甘州区思源实验学校八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度
的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
(1)写出点A、B、C的坐标；
(2)写出△ABC关于x轴对称的 的顶点 、 、 的坐标；
(3)求 ．
【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）
(2) ， ，
(3)
【分析】（1）根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用面积的和差计算△ABC的面积．
（1）
解：根据图形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）
解：关于x轴对称的点的坐标： ， ， ；
（3）
解： .
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点 关于x轴的对称点 的坐标是 ；点关于y轴的对称点 的坐标是 ．也考查了三角形面积公式．
2．（2022·云南·麻栗坡县第二中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分
别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）． △
(1)在图中作出 ABC关于x轴的对称图形 ．
△ △
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点 的坐标： ．
(3)求 ABC的面积．
(4)在△x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【答案】(1)见解析
(2)（1，2）
(3)4
(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出 ABC关于x轴的对称图形 ；
△ △
（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点 的坐标
（3）根据网格利用割补法即可求出 ABC的面积；
△
（4）连接 C交x轴于点Q，根据两点之间线段最短即可使得QA＋QC最小．
（1）
解：如图所示， 即为所求；
△；
（2）
解：点C关于y轴的对称点 的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（3）
解：△ABC的面积=3×3- ×1×3- ×1×3- ×2×2=4；
（4）
解：如图．点Q即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
一、选择题
1．（2022·安徽·定远县民族中学八年级期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查轴对称图形，能准确识别轴对称图形是解题的关键．
2．（2022·浙江·义乌市宾王中学八年级期中）若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m，n的值
分别为（ ）
A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．﹣3，﹣2 D．3，2
【答案】A
【分析】根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点即可求m，n的值．
【详解】∵点 与点 关于y轴对称，
∴m+3=0，n=2，
∴m=-3，n=2，
故选：A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点，如果两个点关于y轴对称，则横坐标
互为相反数，纵坐标相等．
3．（2021·浙江·余姚市舜水中学八年级期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直
平分线，∠ACB=90°，AC=6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的性质求出，CD=DE,AE=BE,再根据HL求出全等证明AC=AE,
即可得到答案．【详解】
∵AD是 ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，
∴CD=D△E，AE=BE
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴△ACD≌△AED（HL）
∴AC=AE，
∴AC＝AE＝BE=6，
故答案为6．
【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质解答．
4．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为
MN上任意一点，下列说法不正确的是（ ）
A．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上 B．AP=A'P
C．MN垂直平分AA′，CC′ D．这两个三角形的面积相等
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解
【详解】A. 直线AB，A′B′的交点一定在MN上，故该选项不正确，符合题意；
B. AP=A'P，故该选项正确，不符合题意；
C. MN垂直平分AA′，CC′，故该选项正确，不符合题意；
D. 这两个三角形的面积相等，故该选项正确，不符合题意；
故选A【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
5．（2021·湖北·咸丰县朝阳寺镇民族中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ，E为
BC的中点，连接DE，AE， ，延长DE交AB的延长线于点F．若 ，则AD的长为
（ ）
A．5 B．9 C．7 D．11
【答案】C
【分析】由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由线段垂直平分线的性质可得AD＝
AF＝8．
【详解】解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝2，
∴AF＝AB+BF＝7，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明△BEF≌△CED是本题的关键．
6．（2022·山东·济南外国语学校八年级期末）已知有序数对 及常数k，我们称有序数对为有序数对 的“k阶结伴数对”．如 的“1阶结伴数”对为 即 ．若有序数对
与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．－2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据“k阶结伴数对”的定义求出有序数对 的“k阶结伴数对”为 ，再利
用 和 关于y轴对称，求出 ，进一步可求出 ．
【详解】解：由题意可知：有序数对 的“k阶结伴数对”为 ，
∵ 和 关于y轴对称，
∴ ，
解得： ．
故选：B
【点睛】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对
的“k阶结伴数对”为 ，掌握坐标轴对称的特点，得到 ．
二、填空题
7．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校八年级期末）点M(3，－1)关于x轴的对称点的坐标为_________．
【答案】(3，1)
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，−1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称
的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
8．（2022·江苏·八年级课时练习）从汽车后视镜中看见某车牌后5位号码是 ，该号码实际是
________．
【答案】BA629
【分析】经过分析，对称轴应该在左边或右边．
如图∶当对称轴在上方或下方时：
当对称轴在左边或者右边时：
【详解】解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，
∴ 关于某条直线对称的数字依次是BA629．
故答案为：BA629．
【点睛】本题主要考查了镜面对称就是关于某一直线成轴对称，正确的确定对称轴的位置是解题的关键．
9．（2022·山东青岛·七年级期末）如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑
色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有________个．
【答案】5
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【详解】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将
1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
10．（2021·浙江宁波·七年级期末）如图，在 中， 是钝角， 是 的高， 是 的垂
直平分线，分别交 于 ．若 恰好平分 ，则 的面积是
__________．
【答案】2
【分析】过点C作CF⊥BE于F，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE=4，由角平分线的性质得到
CF=CH=1，再根据公式求出 的面积即可．
【详解】过点C作CF⊥BE于F，
∵ 是 的垂直平分线，
∴BE=AE=4，
∵ 平分∠EBH， 是 的高，
∴CF=CH=1，
∴ 的面积= ，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，熟记各性质定理是解题的关键．11．（2022·全国·七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D，交BC的延长
线于点E，交AC于点F，AB＋BC＝6，则△BCF的周长＝_______，∠EFC＝_______度．
【答案】 6； 40．
【分析】根据垂直平分线的性质计算，周长△BCF=FC+BF+BC，∠EFC=∠AFD=180°-∠A-∠ADF．
【详解】解：∵已知DF垂直且平分AB
∴AF=BF，AD=BD，∠A=∠ABF=50°，∠ADF=90°
∴∠EFC=∠AFD=180°-∠A-∠ADF=40°，
∵AB+BC=6，AB=AC=BF+FC
∴△BCF=FC+BF+BC=6．
故答案为6；40°．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关
知识．
12．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中
PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如图2，将纸带第一次沿BR 折叠成
1
图2，使BM与BA重合；如图3，将纸条展开后第二次再折叠，使BM与BR 重合，第三次沿AR 折叠成图
1 2
4，第四次沿BR 折叠成图5，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠ARB，整个过程共折叠了9次，
2 2
则α＝_______°．【答案】80°##80度
【分析】根据题意，可知第9次折叠时， 刚好与 重合，根据折叠的性质，则有平角 被平
分成了9个角，则 ，再根据折叠的性质，即可求解．
【详解】根据题意，可知第9次折叠时， 刚好与 重合，作图如下：
根据折叠的性质，则有平角 被平分成了（9-1+1）个角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵根据折叠的性质有 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，理解最后一次折叠后恰好完全盖住 即是指 刚好与
重合，是解答本题的关键．
三、解答题
13．（2021·黑龙江·肇源县第二中学八年级期中）如图，OC平分∠AOB ，DE⊥OA于 E ，DF⊥OB 于
F， 求证: OD垂直平分 EF ．
【答案】见解析
【分析】由已知易证△DEO≌△DFO，则DE＝DF，EO＝FO，由线段垂直平分线的性质的逆定理可得OD
垂直平分EF．
【详解】证明：∵DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，
∴∠DEO＝90°＝∠DFO，
∵OC平分∠AOB
∴
又OD=OD，
∴△DEO≌△DFO（AAS），
∴DE＝DF，EO＝FO，
∴O、D在EF的中垂线上，
∴OD垂直平分EF．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，以及线段垂直平分线的性质的逆定理，
难度中等．
14．（2022·江西吉安·八年级期末）如图， 和 为等腰三角形， ，BE是AD
边上的高，请仅用左刻度的直尺分别按下列要求画图：(1)在图1中，作 的边BD上的中线EF；
(2)在图2中，作 的边AB上的高DG．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 可知AC是BD的垂直平分线，连接AC交BD于F点，此时F为BD的
中点，连接EF即为所求；
（2）根据三角形的三条高线所在的直线交于一点，即可作出 的边AB上的高DG．
（1）
解：如图所示： 为所求；
（2）
如图所示： 为所求．【点睛】本题考查根据题意作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上
了阴影，请按照不同要求作图．
(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）根据要求画出图形即可．
（1）
如图①中，直线m即为所求；（2）
如图②中，图形即为所求；
（3）
如图③中，图形即为所求．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2022·浙江·八年级专题练习）如图， ABC和 ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线
MN上． △ △(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】(1)E，∠D
(2)3
(3)∠EAF＝39°
【分析】（1）根据 ABC和 ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是
∠D； △ △
（2）根据 ABC与 ADE关于直线MN对称，得到 ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到
CF＝BC﹣△BF＝3；△ △
（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，
推出∠EAF＝ ＝39°．
（1）
∵△ABC与 ADE关于直线MN对称，
∴图中点C△的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）
∵△ABC与 ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∵BF＝2，∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）
∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝ ＝39°．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等
性．
17．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形 ；
(2)直接写出点C关于x轴对称C 的坐标： ；
2
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．
【答案】(1)见解析
(2)（﹣1，﹣1）
(3)见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案；
（3）连接 ，与y轴的交点即为所求点P．
（1）
解：如图所示， 即为所求，
（2）如图所示： （﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（3）
如图所示：连接 ，与y轴的交点即为所求点P．
，
当 三点共线时，△PAC周长最小．
【点睛】本题考查了在画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的
关键．
18．（2022·山东枣庄·七年级期末）如图①， ， ， ，连接BD，CE．
(1) 与 全等吗？请说明理由；
(2)如图②，延长CE交线段AB于点G，交线段BD于点F，若 ， ，且点E在线段AC
的垂直平分线上，求 的度数．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，即可证明；
（2）由点 在线段 的垂直平分线上可得 ，从而可得 ，可得 ，由（1）可得 ，从而可得 ，即可求解．
（1）
，理由如下：
证明： ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）
解： 点 在线段 的垂直平分线上，
，
，
，
由（1）可得 ，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是明确垂直平分
线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
