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专题09 相似三角形的证明与计算50题大腿专训
【精选2023年江苏地区最新考试题型专训】
【相似大题】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，且
．
(1)用直尺和圆规在图中作 ，使得点O在 上，且 经过C， 两点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，解答下列问题：
①判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
②若 的半径是3， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①直线 与 相切，理由见解析；②
【分析】（1）根据垂直平分线的性质确定圆心O的位置，然后画圆即可；
（2）①如图1，连接 ，则 ，由 ，
可得 ，进而可得直线 与 相切；
②由题意知 ， ，由勾股定理得， ，证明 ，
则 ，即 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：作 的垂直平分线交 于O，以O为圆心， 长为半径画圆，如图1， 即为所
求；（2）①解：直线 与 相切，理由如下：
如图1，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 为 的半径，
∴直线 与 相切；
②解：∵ 的半径是3， ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，切线的判定，相似三角形的判定与
性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图， 是等边三角形， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为 ， 的面积为
【分析】（1）由等边三角形，可得 ，则 ，
， ，然后证明三角形相似即可；
（2）由相似可得 ，即 ，解得 ， ，如图，作
于 ，则 ， ，由勾股定理得， ，根据 ，
计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，解得 ， ，如图，作 于 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ 的长为 ， 的面积为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含
的直角三角形等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）点E为线段 上一点，分别以 ， 为底边，在 同
侧作等腰三角形 和 ，且 ．连接 ，过点 作 交线段 于点 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 ， ， ， ，根据 可得 ，即可证明 ，进而证得四边形 是平
行四边形，结合 得到 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据全等三角
形判定 得到 ，进而证得结论；
（2）先证明 ，得到 的比例关系，根据平行四边形及等腰三角形性质，得到
， ， ， ，代入上述比例关系式子，解得 ， ，再证明
，得到 ，代入已知值计算即可得出答案．
【详解】（1）证明： 和 是分别以 ， 为底边的等腰三角形，
， ， ， ，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
．
（2）解： ，
，
，
，，
由（1）知：四边形 是平行四边形，
， ，
和 是等腰三角形， ， ，
， ， ，
，
即 ，
，解得 ，
∴ ，
，
，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，灵活应用相似三角形的
比例关系求解是解本题关键．
4．（2023上·海南海口·九年级校联考期中）如图，在正方形 中，点 是 边上一点(不与点 ，
重合)，且 ， 交边 于点 ．
(1)求证：
① ；② ；
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质；
（1）①根据正方形的性质和已知条件证明 ，即可证明： ；②根据相似三角形
的对应边成比例求解即可；
（2）结合（1）根据相似三角形的性质得出 ，根据正方形的性质推出 ，则
，又因为 ，所以 ．
【详解】（1）证明：① 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
，
；
② ，
，
；
（2） ，
，
， ，
，
，又 ，
．
5．（2023上·四川成都·九年级成都七中校考期中） （1）如图1，矩形 ， ， ，点
为 边上一动点， ，且 ，求 ．
（2）如图2，矩形 ，点 为对角线 上一动点，连接 ，作 ，交 的延长线于点 ，
连接 ．
①求证： ；
②若 ，探索四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）2 （2）①见解析 ②四边形 是平行四边形
【分析】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，
（1）设 ，则 ．利用相似三角形的性质求出 ，可得结论；
（2）①证明 ，推出 ，推出 ，又 ，推出 ，
推出 ，可得结论；
②证明 ， 可得结论．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，，
解得 或8，
经检验 或8是分式方程的解，8不符合题意舍去
当 时， ，
综上所述， 的值为2；
（2）①证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
；
②四边形 是平行四边形
证明： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．6．（2023上·河南郑州·九年级郑州市第五十二中学校考期中）如图（1），已知点G在正方形 的对
角线 上， ，垂足为点E， ，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形 是正方形；
②推断： 的值为______；
(2)探究与证明：将正方形 绕点C顺时针方向旋转a角（ ），如图（2）所示，试探究线段
与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：正方形 在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长
交 于点H．若 ， ，则 ______．
【答案】(1)①见解析②
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）①由 、 结合 可得四边形 是矩形，再由 即
可得证；
②由正方形性质知 、 ，据此可得 、 ，利用平行线分线段成比
例定理可得；
（2）连接 ，只需证 即可得；
（3）证 得 ，设 ，知 ，由 得、 、 ，由 可得a的值．
【详解】（1）证明①∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形；
②由①知四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
连接 ，
由旋转性质知 ，
在 和 中，
= 、 = ，
∴ = ，
∴ ，∴ ，
∴线段 与 之间的数量关系为 ；
（3）解：∵ ，点B、E、F三点共线，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
则由 得 ，
∴ ，
则 ， ，
∴由 得 ，
解得： ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、
旋转的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，正方形 的对角线 交于点O，将绕点O逆时针旋转得到 （旋转角为锐角），连接 ，则 ．
(1)如图2，若题干中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
②若 ，求 的长；
(2)如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且 ，请直接写出
的长．
【答案】(1)① ，理由见解析；②
(2)
【分析】（1）①由矩形的性质得出 ，由旋转的性质证得
，从而得到 ，由 证得 ，即可；②根
据 ，可得 ，结合三角形内角和定理可得 ，从而
得到 为直角三角形，再由勾股定理即可求解；
（2）由平行四边形和旋转的性质得出 ，且 ， 可证明 ，再证明
为直角三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：① ，理由如下：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵将 绕点O逆时针旋转得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵将 绕点O逆时针旋转得到 ，
∴ ，
∴
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，∴
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋
转的性质，相似三角形的判定和性质．
8．（2023上·福建三明·九年级统考期中）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和 ，其中
．将 和 按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为
点B）．当 时，延长 交 于点G．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)深入探究：老师将图2中的 绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部；
①“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点A作 交 的延长线于点M，
与 交于点N．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题：如图4，当 时，过点A作 于点H，若 ，
求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ，证明见解析② 的长为
【分析】（1）先证明四边形 是矩形，再由 可得 ，从而得四边形 是正方形；
（2）①由已知 可得 ，再由等积方法 ，再结合已知
即可证明结论；②设 的交点为M，过M作 于G，则易得 ，点G是 的中点；
利用三角函数知识可求得 的长，进而求得 的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形 为正方形．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形；
（2）① ，理由如下：
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ；
②解：如图：设 的交点为M，过M作 于G，
∵ ，
∴ ， ，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点G是 的中点；
由勾股定理得 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ；
∴ ；
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）（1）如图1，在矩形 中，点E，F分别在边 上，
，垂足为点G．求证： ．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在边 上， ，延长 到点H，使 ，
连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形 中，点E，F分别在边 上， ， ， ，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）由矩形的性质得 ，再证 ，即可得出结论；
（2）证 ，得 ，再证 ，得 ，然后由平行线
的性质得 ，即可得出结论；
（3）延长 至点G，使 ，连接 ，证明 ，得
，再证 是等边三角形，则 ，根据 ，计算
求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点H在 的延长线上，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3，延长 至点G，使 ，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 的长为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的
判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证
明三角形全等和三角形相似是解题的关键，
10．（2022上·江西鹰潭·九年级校联考期中）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°．AD＝4.点
E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角
为a（0°＜a＜90°）．如图2，在旋转过程中．
(1)判断 与 是否全等，并说明理由；
(2)当 时， 与 交于点 ，求 的长．
【答案】(1) ，见解析
(2)
【分析】（1）由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可求 ，由等腰三角形的性质可得 ，在 中，由
勾股定理可求 的长，通过证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）结论： ．
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，过点 作 于点 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由题干知 是 的中点，旋转后 长度不变，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．（2023上·广西·九年级校考期中）【探究与应用】
问题：如图①所示， 是 的角平分线．求证： ．
【解决问题的方法】（1）善于思考的小安发现：过点 作 交 的延长线于点 ，如图②，通
过证三角形相似，可以解决问题．请证明： ．
【应用提升】（2）请你利用上述结论，解决下列问题：
如图③，在四边形 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ，
与 相交于点 ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相
似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）首先证明 ，再证明 ，利用相似三角形的性质可得 ，即可证明
；
（2）根据 平分 ，结合（1）中结论 ，再通过 得 即可获得答
案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：在 中， 平分 ，
由（1）知： ，
，
，
， ，
，
，
，
．
12．（2023上·河南周口·九年级统考期中）综合与探究
已知四边形 是正方形， 是 边上的一点， 是 上的点， 是等腰直角三角形，
．
(1)如图1，连接 ，若 ．
①求 的度数；
②连接 ，求证： ．
(2)若 是 的中点， 是射线 上一点，如图2， ，当 与正方形 的对角线平行时，直接写出 的长．
【答案】(1)① ②见详解
(2) 或
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理，即可求出结果；
②证明 ，即可证明 即可；
（2） 可能平行于 ，也可能平行于 ，要进行分类讨论．
【详解】（1）①解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
，
又 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②证明：由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
故点F在 上，
又由①可如 ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
（2）如图1，当 与 重合时， ，则 ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
如图2，当点 是 与 的延长线的交点时，
∵ ，点 是 的中点， ，
，
，
故F、A、D三点共线，
，
又 ，
故此时 ，
在 中， ，
故 ，，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了直角等腰三角形，相似三角形判定与性质，全等三角形，正方形的性质等知识，解题
关键是正确掌握全等判定的条件以及分类讨论的思想．
13．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究：
在 中， 是 边上一点，且 （ 为正整数）， 是 边上的动点，
过点 作 的垂线交直线 于点 ．
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程；
(2)如图2，当 ，且点 在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出结论并证
明；
(3)请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论是___________（直接写
出结论，不必证明）
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析；
(3)当点F在射线 上时， ，当点F在 延长线上时，【分析】（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到 即
可解答；
（2）先证 和 是等腰直角三角形，可得 ， ， ， ，
可求 ， ，通过证明 ，可求 ，即可求解；
（3）分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据（2）中的方法即可
解答．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，
在 与 中，
，
，
，；
（2）
证明：如图，过点 作 于 ， 于 ，
， ，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，
， ， ， ， ，
，
，
设
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
，
，
；（3）如图4，当点 在射线 上时，过点 作 于 ， 于 ，
， ，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，
， ， ， ， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
，
∴ ，
∴ ；
当点 在 的延长线上时，如图5，， ，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，
， ， ， ， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的
性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
14．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫
做三角形的内接正方形．
【问题探究】
（1）如图①，在 中， ， 边上的高 ， 是 的内接正方形，设正方形
的边长是x，求证： ；
（2）在 中， ， ， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，
并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
【拓展延伸】
（3）在锐角 中， ， ， ，且 ，请问这个三角形的内接正方形中哪个面
积最大？并说明理由．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解
【分析】（1）由 ，可得 ，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果；
（2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果；
（3）正方形的一边落在三角形的最短一边 上的内接正方形的面积最大．
【详解】解：（1）∵ 是 的内接正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
则 ，
即 ，
故
∴ ；
（2）根据（1）的结果，
当图②的情况， ，
由等面积法，得
即 ，
此时正方形的边长是 ；
当图③时，正方形的边长是 ，
因为 ，且正方形的面积等于边长的平方，
故图③的情况面积大．
（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S， 是指三角形的任意一条边， 是该边上的高，
即则 ，
∵在锐角 中， ， ， ，且 ，
∴当正方形的一边落在三角形的最短一边 上时，即 最小，
则 最大，
∵正方形的面积等于边长的平方，
此时内接正方形的面积最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合
性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）点O为矩形 的对称中心， ， ，点E为
边上一点（ ），连接 并延长，交 于点F．四边形 与四边形 关于 所在
的直线成轴对称，线段 交 边于点G．
(1)求证： ．
(2)当 时，求 的长．
(3)如图2，连接 、 ，分别交 、 于点H，K．记四边形 的面积为 ， 的面积为
，当 时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质得到对边平行，再利用平行线的性质，可得 ，再利用轴对称的性质，可得 ，即可解答；
（2）过点 作 的垂线段 ，交 于点 ，设 ，则 ， ，利用中心对称的
性质得到 ，从而得到 的值，再根据勾股定理列方程，即可解答；
（3）过点 作 于点 ，连接 ，通过全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，
得到 ，再利用相似三角形的性质，得到 ，通过角度的转换得到
，即可求出 的值，即可解答．
【详解】（1）证明： 四边形 为矩形，
，
，
四边形 与四边形 关于 所在的直线成轴对称，
，
；
（2）解：如图，过点 作 的垂线段 ，交 于点 ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
点O为矩形 的对称中心，
，
，
在 中， ，可得方程 ，
解得 ，
，
不符合题意，
，
；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
点O为矩形 的对称中心， 过点 ，
为 的中点， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，，
四边形 与四边形 关于 所在的直线成轴对称，
，
点O是矩形 的对称中心，
，
同理可得 ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质，勾股定理，作出正确的辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
16．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图①，在正方形 中，点 是 上一动点，将正方形沿着
折叠，点 落在点 处，连接 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)如图②，在（1）的条件下，延长 交 于点 ．
①求证：
②若 ，求线段 的长．
(3)将正方形改成矩形，同样沿着 折叠，连接 ，延长 交直线 于 两点，若
，则 _______．（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析(2)①见解析；②
(3) 或
【分析】（1）根据 证明三角形全等即可；
（2）如图②中，连接 ，由(1)的 ,由折叠得 ，进一步证明 ，由勾
股定理得 求出 即可解决问题；
（3）如图③中，连接 由题意，可由题意 ，设 ， ，设 分两种情形：①
当点 在点 的左侧时，②当点 在点 的右侧时，如图④中，分别利用相似三角形的判定和性质得出
的长，再由勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图①中，
是由 折叠得到，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
；
（2）如图②连接 ，
，
，
由折叠可知 ， ，，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
或 （舍弃），
（3）如图③连接 ，
由题意得 ，设 ， ，设 ，
①当点 在点 的左侧时，
，
，
有折叠可知 ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或 （舍弃），
，
②当点 在点 的右侧时，如图④
同理 ， ，
， ，
，，
，
或 （舍弃），
，
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
17．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在 中， ，点 是 边的一点，
，且 ，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于 ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1) 的长为
(2)证明过程见详解
【分析】（1）根据 可证 ，根据线段成比例的性质可得 ，
再证 ，可得 ，由此即可求解；
（2）设 ， ，根据题意可证 ，可得 ，根据线段成
比例的性质可得 ，将 带入计算，即可求证；本题主要考查相似三角形的判定和性质，线段成比例的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
（2）解：设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得， ，
∴ ，
，，且 ，
∴ ，
∴ ．
18．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点
从点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，如果 ，
分别从 ， 同时出发， 秒后停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ， ；
(2)当 为何值时， 的面积为 ？
(3)是否存在某一时间 ，使得 和 相似？若存在，请求出此时 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) 秒或 秒；
(3)存在， 秒或 秒．
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的
理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间即可用含 的代数式表示线段 和 ；
（2）设经过 秒钟，使 的面积为 ，由(1)得到 ， ，根据三角形的面积公式
得出方程即可求解；
（3）设经过 秒钟，使 和 相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况
求出即可．
【详解】（1）解：∵点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以的速度运动，
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：设经过 秒钟，使 的面积为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴解得： ， ，
∴如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过 秒或 秒 的面积为 ．
（3）解：设经过 秒钟，使 和 相似，
∵ ，
当使 时， 和 相似，
即 ，
解得： ；
当使 时， 和 相似，
即 ，
解得： ．
∴如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过 秒或 秒 和 相似．
19．（2023上·湖南长沙·九年级统考阶段练习）如图， 是平行四边形 的对角线，在 边上取一
点F，连接 交 于点E，并延长 交 的延长线于点G．(1)若 ，求证： ．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注
意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．
（1）依据等量代换得到 ，依据 ，可得 ，进而得出 ，
即 ；
（2）依据 ，可得 ，依据 ，即可得出 ，再根据
，可得，进而根据 解题．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
即 ；
（2）解：∵平行四边形 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（2023上·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期中）如图，在 中， ， ，
，点 在边 上，且 点 从点 出发，沿 方向匀速运动到终点 ，在 、 上
的速度分别是每秒 个单位长度和每秒 个单位长度 当点 不与 的顶点重合时，连结 ，作点
关于直线 的对称点 ，连结 、 ．设点 的运动时间为 秒．
(1) ______ ．
(2)用含 的代数式表示 的长．
(3)当点 、 、 共线时，求四边形 的面积．
(4)当 与 的直角边垂直时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】（1）利用勾股定理即可求解；
（2）分类讨论点 在 、 上运动的两种情况即可求解；
（3）根据题意可求出 ，设 ，则 ，根据 可求出 ，
再由 即可求解；
（4）分类讨论当 与 的 、 边垂直的两种情况，画出对应几何图，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴
故答案为：
（2）解：∵点 在 、 上的速度分别是每秒 个单位长度和每秒 个单位长度
①当点 在 上运动时，即 时：
②当点 在 上运动时，即 时：
∴
（3）解：∵点 关于直线 的对称点 ，
∴ ， ， ，
∵点 、 、 共线，
∴
∵ ，
∴ ，设 ，则
∵ ，
∴
解得：
∴
（4）解：①当 与 的 边垂直时，如图所示：
则 ，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴
此时
②当 与 的 边垂直时，如图所示：
（i）
此时 ， ,
∴
∴ ，即 ，∴
，
解得： ；
（ii）作 ，如图所示：
由题意得： ，
即： ，
∵
∴ ，
设 ，则
∵ ，
∴
∴ ，即
解得： ，
∴ ，
∴
，
解得： ；综上所述：
【点睛】本题考查了动态几何问题，涉及了勾股定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等
知识点．掌握分类讨论思想是解题关键．
21．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图1，在矩形 中， ， ，点 是对
角线 上任意一点， 交 于点 ， 交 于点 ．
(1)当点 为 的中点时， __________．
(2)如图2，将四边形 绕点B逆时针旋转，连接 ， ．在旋转过程中， 是否发生变化，若不
变化，求出 的值，若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将四边形 绕点 逆时针旋转，连接 ， ，请直接写出旋转过程中 的值．
【答案】(1)
(2)不变化，
(3)
【分析】（1）先利用勾股定理求出 长，然后利用平行线分线段成比例解题即可；
（2）连接 ，先由图1得到 ，然后根据两边成比例且夹角相等证明 ，然后解题
即可；
（3）连接 ，先由图1得到 ，然后根据两边成比例且夹角相等证明 ，然后解题即可；
【详解】（1）解：∵ 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）不变化，理由如下：
在图1中，
，
，
，
连接 ，
由旋转可得：对应边相等， ，
在图2中， ，
，
，
在矩形 中， ， ，
，．
（3）在图1中，
，
∴
，
，
连接 ，
由旋转可得：对应边相等， ，
∴
在图2中， ，
，
，
在矩形 中， ， ，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似是解题的关键．22．（2023上·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期中）已知抛物线 与 轴交于
两点，与 轴交于点 ，连接 ，点 是 上方抛物线上一点．
备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点 ，使 的周长最小，求 的坐标；
(3)过点 作 于点 ，求 的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）将军饮马模型，得到直线 与对称轴的交点，即为点 ，求解即可；
（3）将 的长转化为二次函数求最值即可．
本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，
进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 两点，
∴抛物线 ；
（2）∵ 的周长 ，且 为定值，∴当 的长最小时， 的周长最小，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小；
∵ ，
∴当 时， ，对称轴为 ；
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
（3）过点 作 轴，交 与点
设点 ，则： ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ．
23．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）问题情景：
我们知道，如图（a），在 中，若D，E分别是 ， 的中点，则 ，且 .
问题发现：（1）如图（b），在 中，D，E分别是 ， 的中点，若F为 的中点， 的延长
线交 于点G.
①若 ，则 ______； ② ______.
问题拓展：（2）如图（c），在（1）的条件下，若H为 的中点，BH交 于点M.若 ， ，
求 的长.变式探究：若将问题（2）中的 改为 的平分线呢？
（3）如图（d），在 中，D，E分别是 ， 的中点，若F为 的中点， 为 的平分线
交 于点M.若 ， ，请直接写出此时 的长.
【答案】（1）①2 ② ；（2） ；（3）
【分析】（1）①根据中位线定理得到 ，再根据中点求解即可得到答案；②根据①得到
即可得到答案；
（2）设 ，延长 交 的延长线于点P，先证 ，再证 即可得到
答案；
（3）证明 结合性质即可得到答案；
【详解】解：（1）① ∵D，E分别是 ， 的中点， ，
∴ ， ，
∵若F为 的中点，
∴ ，
故答案为： ；
②由①得，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）设 ，延长 交 的延长线于点P，∵H为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 与 上，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）延长 交 的延长线于点P，
∵ ，
∴ ，∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则有 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形全等的性质与判定，等腰
三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，根据三角形中位线定理中位线平行且等于底边的一半得到三角
形全等及相似的条件．
24．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，抛物线
过点 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ． 在第一象限内，抛物线上有一动点 ，连
接 交 于点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ，(2)2
【分析】（1）先由 求出 ， 坐标，再把 ， 坐标代入抛物线解析式即可；
（2）过点 作 轴，交 于 ，则 ，易得 ，可得 ，
设点 的横坐标为 ，则纵坐标为 ，可知 ，得 ， ，
可知当 时， 取最大值，最大值为2，若要使得 的值最小，则只需要 的值最小即可，亦
即 的值最大即可，可知 的取最小值时， ，进而可求得结果．
【详解】（1）解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∵抛物线 过 ， 两点，
∴ ，解得： ，
即： ， ；
（2）由（1）可知 ，
过点 作 轴，交 于 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，则 ，
设点 的横坐标为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
即： ， ，
∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为2，
要使得 的值最小，则只需要 的值最小即可，亦即 的值最大即可，
∴ 的取最小值时， ，
即： 的最小值为2．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的最值，相似三
角形的判定及性质，用待定系数法求函数表达式等知识．解决问题的关键在于求出关于的解析式，设出点
坐标，表示出相应边的长度．
25．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）综合与探究
问题情境
如图1，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为 ．
实践操作
（1）若 是 的中点，请直接写出 的长以及 的值．
（2）如图2，隐去 ，作 ，分别与 ， 交于点 ， ．若 ，求 的长．
拓展延伸
（3）如图3，在图2的基础上，连接 ， ， ，请直接写出图中阴影部分的面积．【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）利用等角的余角相等证得 ，推出 ，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）过点 作 于点 ．同理证明 ．据此求解即可；
（3）利用四边形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图．过点 作 于点 ．
∴ ．
∵四边形 是矩形，∴ ， ．
∴ ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
∵在 中， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（3）∵ ， ， ，
∴图中阴影部分的面积 ．
26．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象
与反比例函数 的图象交于点 和 ．
①直接写出 ____， ____， ____；
②请直接写出不等式 的解集____；连接 、 ，则 _______．
（2）如图 2，直线 与 x，y轴分别交于 A、B 两点，点 M是双曲 上一点，分
别连接 、 ．在双曲线上是否存在点 M，使得以 为斜边的 与 相似？若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①1，1，2；② 或 ； ；（2）
【分析】（1）①将 代入 求出k的值，得到 ，然后将 代入 求出 ，
然后利用待定系数法将 ， 代入 求解即可；
②根据图象结合A，B两点的坐标即可求出不等式 的解集；设直线 与y轴交于点C，首先求出
点C的坐标，得到 ，然后利用 代数求解即可；
（2）首先根据题意求出 ， ，过点M作 轴于点M，过点A作 交 于点
F，根据相似三角形的性质得到 ， ，然后证明出 ，进而得到
，然后代入 求解即可．
【详解】（1）①根据题意得，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得， ，
∴ ，将 ， 代入 ，
得 ，解得 ；
故答案为：1，1，2；
②∵ ， ，
∴根据图象可得，不等式 的解集 或 ；
如图所示，设直线 与y轴交于点C，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 或 ； ；
（2）∵直线 与 x，y轴分别交于 A、B 两点，
∴当 时， ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，如图所示，过点M作 轴于点M，过点A作 交 于点F，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 M是双曲 上一点，∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以
及函数与不等式的关系，相似三角形的性质和判定等知识，数形结合是解题的关键．相似三角形的性质：
相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；
②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
27．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在 中， 是线段 上一点，且 ，过点 作 交 于点 ，使以
为顶点的三角形与 相似，求 的长．
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答，
(3)如图，已知矩形 的边长 ，某一时刻，动点 从 点出发沿 方向以
的速度向 点匀速运动；同时，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动，是否存在
时刻 ，使以 为顶点的三角形与 相似?若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ，见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在， 或
【分析】本题主要考查三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形相似的性质得到 ，再进行计算；
（2）根据题意可知另一个错误在于未进行分类讨论，进而解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是 和 ，然后列出方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
正确的比例式是 ，
；
（2）解：另一个错误在于未进行分类讨论，如图，过点 作
，则 ，
，
，
综上所述， 为 或 ．
（3）解：当 时，设 ，则 ，
则由 得，
，
解得： ；
当 时，
则由 得，解得：
综上所述，当 或 时以 为顶点的三角形与 相似．
28．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）如图，在 中，以A为圆心， 为半径画弧交 于点
F，再分别以B，F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点P，连接 并延长交 于点E，连接
，连接 ， 相交于点O．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)连接 交 于点Q，若四边形 的周长为40， ，求 的长．
【答案】(1)四边形 是菱形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到 是 的角平分线且 ，即可得到 ，由平行四边
形 得到 ，即可得到 ，可得 ，即可得到证明；
（2）先求得菱形边长为 ，证明 ，利用相似三角形的性质，列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵以A为圆心， 为半径画弧交 于点F，再分别以B，F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于
点P，连接 ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，且周长为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
29．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【发现问题】
（1）如图1，在等边 中，点P是边 上任意一点，连接 ，以 为边作 的相似图形
，连接 ，判断 与 的数量关系，并说用理由；
【变式探究】
（2）如图2，在正方形 中，点P是边 上一点，以 为边作正方形 ，Q是正方形 对
角线的交点，连接 ．若正方形 的边长为10， ，求正方形 的边长．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）8
【分析】（1）由题意知， 、 均为等边三角形，则 ，证明，则 ；
（2）如图2，连接 ，由正方形 、 ，可得 ， ，
，则 ，证明 ，则 ，即 ，解得 ，
设正方形 的边长为 ，则 ， ，由勾股定理得， ，即
，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由题意知， 、 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2，连接 ，
∵正方形 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
设正方形 的边长为 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，
即 ，
整理得， ，
解得 或 （舍去），
∴正方形 的边长为8．
【点睛】本题考查了相似的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方
形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（2022上·福建宁德·九年级校联考期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1
所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)如图2，将正方形 绕点A按逆时针方向旋转，求 与 的数量关系和位置关系；
(2)如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， ，
将矩形 绕点A按顺时针方向旋转，求 与 的数量关系和位置关系；
(3)在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中， 的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答
案）
【答案】(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
(3)260【分析】（1）证明 ，得出 ， ， ，求出
，即可得出答案；
（2） ， ， ，求出 ， ．证明 ， 得出 ，
，根据 ，得出 ，即可证明结论；
（3）根据勾股定理得出 ， ，根据
得出答案即可．
【详解】（1）解：如图2，延长 交 于M，交 于N，如图所示：
∵四边形 、四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（2）解： ， ，理由如下：
如图3，设 与 交于Q， 与 交于点P，∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵四边形 和四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3，由（2）知， ， ， ，
∴ ，
，
又由（2）知 ，
则 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性
质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法．
31．（2023上·辽宁·九年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，点
D从点A出发（点D不与点A、B重合），以 的速度沿 边向终点 运动（点 不与点 、 重
合），连接 ，将 沿 翻折得到 ．设点D的运动时间为t（s）．(1)用含t的代数式表示线段 的长；
(2)如图2，当 时，求t的值；
(3)当点A落在 内部时，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)t的值为6
(3)
【分析】（1）根据勾股定理得出 ，进而解答即可；
（2）设 与 的交点为 ．根据平行线的性质和翻折的性质得出 ，进而利用相似三角形的判
定和性质得出方程解得即可；
（3）分两种情况，利用翻折的性质和相似三角形的判定和性质得出方程解答即可．
【详解】（1）在 中， ，根据勾股定理得， ，
， ， ，
，
；
（2）当 时，设 与 的交点为 ．
，
，由翻折性质可得， ， ， ，
，
，
，
，
，
即： ，
解得： ，
，
，
，
，
即 ，
解得： ，
，
解得： ，
当 时， 的值为6；
（3）①当点 在线段 上时，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，由翻折性质可得， ， ，
，
，
，
，
解得： ；
②当点 在 边上时，
由翻折性质可得： ，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
当 时，点 落在 内部．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查相似三角形的判定和性质和勾股定理，平行线的性质，折叠的性质，
关键是根据相似三角形的判定和性质得出方程解答．勾股定理：若三角形的两条直角边为a和b，斜边为
c，则 ．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：
①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相
等的两个三角形相似．
32．（2023上·山东济南·九年级统考期中）【问题背景】
中， ， ，P为 上的动点，小熙拿含 角的透明三角板，使 角的顶点落
在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交 、 于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
① ；② ；③ ；④ .
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 的延长线、边 于点E、F． 与
相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时， ？说明理由．【答案】（1）②③④；（2） 与 相似，理由见解析；（3）动点P运动到 中点位置时，
与 相似，理由见解析．
【分析】（1）找出 与 的对应角，其中 ，得出
，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证： ；
（3）动点P运动到 中点位置时， 与 相似，同（1），可证 ，得
，而 ，因此 ，进而求出， 与 相似．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③正确；
∴ ，故②正确；
∴ ，故④正确；
故答案为：②③④ ．
（2）解： ；
理由：∵在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（3）解：动点P运动到 中点位置时， 与 相似，
证明：同（1），可证 ，
得 ，
而 ，因此 ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查
了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
33．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图1，在矩形 中， ， ， ， ， 分别
从 ， ， ， 出发，沿 ， ， ， 方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是 ，
， ， ，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设
运动时间为 秒．
(1)当 为何值时，点 ， 重合；
(2)当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值或范围；
(3)如2图，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，当 为何值时， ．
【答案】(1)
(2) 且
(3)
【分析】（1） ， 两点重合，即AM+DQ=AD，联立方程解答即可；
（2）分别表示出 ，利用平行四边形的性质即可求解；
（3）根据（2）的结论，以及矩形的性质证明 ，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
解得： （负值舍去）
（2）解：∵当 点到达A点时， ，
解得： （负值舍去）；
∴
①当 相遇前，依题意当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，
，
即 恒成立，
②当 相遇后， 即
此时 恒成立，
∴ 且
（3）解：∵ ，
∴
由（2）可得 ，则
∴
∴
∵
∴
∴
解得： （舍去）或
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识并分类讨论是解题的关键．
34．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，抛物线 的图象与x轴分别交于点 与y轴交于点 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段 上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连接 ，若 ，垂足为点F，求
的长．
(3)在（2）的条件下，直线 上方的抛物线上是否存在一点Q，使四边形 面积最大，若存在，求出
点Q坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2) 的长为
(3)存在，
【分析】（1）由 可得出点 的坐标，根据点 、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析
式；
（2）设 交 轴于点 ，先证 ，进而得出 ，得出 ，设点 的坐标为
，则点 的坐标为 ，进而可得出关于 的方程，解之即可得出结论．
（3）设点 ，过点Q作 轴，交 于点F，用 表示出 ，得到函数解析式，根
据二次函数的最值即可求出点Q坐标．
【详解】（1）解： 抛物线与y轴交于点 ，
即 时， ，
，，
点 的坐标为 ，
抛物线 的图象过点 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设 交 轴于点 ，如图所示：
，
．
，
，
轴，
，
，
，
设点 的坐标为 ，
则点 的坐标为 ，
，
解得： ， （不合题意舍去），即 的长为 ；
（3）设点 ，过点Q作 轴，交 于点F，由（2）可得：点 ，
，
抛物线 当 时，
，
解得： ，
，
，
设直线 解析式为： ，
把 ， 代入：
，
解得： ，
直线 解析式为： ，
，，
，
当 时， 取最大值，四边形 面积最大，此时 ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式
以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征结合 求出点
的坐标；（2）利用相似三角形的性质找出 ；（3）正确得出表示 长的二次函数解析式．
35．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，
．动点P从点B出发，在 边上以每秒 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，
在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ．
(1)用含t的代数式表示 的长．
(2)连结 ，如图①所示．当 与 相似时，求t的值．
(3)过点P作 于D，连结 ，如图②所示．当 时，直接写出线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)1或
(3)【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是找准相似三角形的对应边，第二问
注意分情况讨论．
（1）根据动点P和Q的移动速度及方向，列代数式表示相关线段的长度即可；
（2）分 和 两种情况，根据对应边成比例列式求解；
（3）先证 ，推出 ，再由勾股定理推出 ，再证 ，根据对应边成
比例求出t的值，即可求出 的长．
【详解】（1）解：由点P和Q的移动速度及方向可知：
， ；
（2）解：在 中， ．
分两种情况：当 时，
，即 ．
解得 ．
当 时，
，即 ．
解得 ．
综上可知：t的值为1或 ．
（3）解： ，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
，，
，
又 ，
，
，即 ，
，
．
36．（2023上·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，
等边三角形 和 按如图1摆放，连接 延长 交 于点F，连接 ，保持 不
动，将 绕点A旋转．
【初步探究】（1）如图2，当点 ， 重合时，请直接写出 之间的数量关系：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当 和 都是等腰直角三角形， ．连接
延长 交 于点F，连接 ，试探究 之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图4，在 中，若 ．连接 延长 交
于点F，连接 ，请直接写出 之间的数量关系：______；
【答案】（1） （2）成立，理由见解析（3） ，理由见解析（4）【分析】（1）证 即可求解；（2）作 交线段 于点M，证 得
，再证 得 ， ，即可求解；（3）作 交线
段 于点N，证 得 ，再证 得 ， ，进
一步可证 ，即可求解；（4）作 交线段 于点 ，证 得
，再证 得 ， ，进一步可证 ，即可求解．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ 和 都是等边三角形，点 ， 重合
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
（2）成立，作 交线段 于点M
∵ 和 都是等边三角形
∴ ， ，
∴ 即
∴
∴
∵
∴ 即
∴
∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形
∴ ，
∴
（3） ，理由如下：
作 交线段 于点N，
∵ 和 都是等腰直角三角形
∴ ， ，
∴ 即
∴
∴
∵
∴ 即
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（4） ，理由如下：
作 交线段 于点 ，∵ 中， ．
∴ ，
∴ 即
∴
∴
∵
∴ 即
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力．
37．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）（ ）问题发现
如图（ ），在 和 中， ， ， ，连接 交于点 ．
填空：的值为______； 的度数为______．
（ ）类比探究
如图（ ），在 和 中， ， ，连接 ，交 的延长线于点
．请求出 的值及 的度数，并说明理由．
【答案】（ ） ； ；（ ） ， ，理由见解析．
【分析】（ ）利用 定理证出 ，根根三角形全等的性质可得 的值；再由三角形全等的
性质得 ，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（ ）先利用相似三角形的判定定理推出 ，再根据相似三角形的性质得 的值；与（ ）
的解法类似，先由相似三角形的性质得 ，然后根据三角形的内角和定理即可得；
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已
知条件推出两个三角形全等或相似是解题的关键．
【详解】（ ） ，
，
又∵ ， ，
，
， ，
，
故答案为 ；
设 交于点 ，， ，
，
故答案为： ；
（ ） ， ．
理由如下： ，
，
即 ，
，
，
， ，
设 交于点 ，
， ，
，
．
38．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）已知：在 中， ，点 、点 分别在边
、 上且 ．图1 图2 图3
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若 ，试探究线段 、 、 的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) 的长为 ．
【分析】（1）连接 ，得到 是菱形， 和 是等边三角形，进而证明
，得到 ，从而得到证明．
（2）连接 ，作 于点 ，设 ，则 ， ， ， ，
，得到 ， ，进而得到 ，故
，最终的到 ．
（3）在 上截取 ，连接 ，设 ，则 ，
， ，
证明 是等边三角形，得到 ， ， ，
再证明 ，得到 ，
解得 ， 从而得到 的长为 ．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，在 中， ， ，
，
是菱形，
，
和 是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
（2） ，理由如下：
如图，连接 ，作 于点 ，
在 中，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，在 上截取 ，连接 ，
设 ，则
，
，
，，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，
，即 ，
解得 ， （舍去），
经检验， 是方程的解，
，
的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，相似
三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解
答本题的关键．
39．（2022上·山西运城·九年级统考期中）（1）在矩形 中， ， ， 于 ，
分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ， ．
①如图1，当 时，线段 与线段 的数量关系是 ；
②如图2，当 时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，
并说明理由；
（2）如图3，在四边形 中， ， ， 于 ，点 ， 分别在边， 上，若 ，请直接写出 的长．
【答案】（1）① ；②不成立，正确的结论为： ，理由见解析；（2）20．
【分析】（1）①分别过点 、 作 于 ， 交 于点 ， 于点 ，通过 证明
，则有 ；
②分别过点 、 作 于 ， 交 于点 ， 于点 ，易证 ，则
；
（2）过点 作 ，延长 交 延长线于 点，过点 作 于 ，连接 ，将图3
补成图2后，则有 ，设 ， ，由勾股定理得 ，易证
，得 ，则 ，即可解决问题．
【详解】解：（1）①分别过点 、 作 于 ， 交 于点 ， 于点 ，则
， ，
，
，
， ，，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ；
②不成立，正确的结论为： ，理由如下：
分别过点 、 作 于 ， 交 于点 ， 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
同理： ，
，
（2）过点 作 ，延长 交 延长线于 点，过点 作 于 ，连接 ，， ，
，
，
，
由（1）知： ，
设 ， ，由勾股定理得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，感受几何题中从特殊到一
般的探究方法，运用（2）的结论是解决第（3）问的关键．
40．（2022上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 和正方形中，点 在一条直线上，连接 （如图1）
操作发现
（1）图1中线段 和 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成
立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形 和正方形 都变为矩形，且 ， ＝ ，
请仅就图3的情况探究 与 之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若 矩形 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，
请直接写出 的值
【答案】（1） （2）成立，理由见解析；（3） ；（4） 或
【分析】（1）延长 交 于点H，证明 ，得出 求出
即可证明结论；
（2）延长 交 于点H，交 于点T，证明 得出 求出
，即可证明结论；
（3）延长 交 于点H，交 于点T，证明 ，得出 ，求出 即
可；
（4）分两种情况讨论，当F在线段 上时，当E在线段 上时，分别画出图形，根据勾股定理，求出
结果即可．
【详解】（1）延长 交 于点H，如图1所示：∵四边形 和 都是正方形，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
（2）成立；理由如下：
延长 交 于点H，交 于点T
∵四边形 和 都是正方形，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：
（3）延长 交 于点H，交 于点T，
∵四边形 和 都是矩形，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
即 ．
（4）当F在线段 上时，如图4所示：
∵四边形 为矩形，
，
，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据解析3可知， ，
∴ ；
当E在线段 上时，如图5所示：
∵四边形 为矩形，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据解析（3）可知， ，∴ ；
综上分析可知， 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性
质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法，
注意进行分类讨论．
41．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．
【问题发现】（1）如图 1，在正方形 中， ，F为 边的中点，E 为 边上一点，
连接 ，分别将 和 沿 翻折，点 A、C 的对应点分别为点 G、H，点 G 与
点 H 重合，则 ____°， _____；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形 中， ，F为 边的中点，E为 边上一点，连接 ，
分别将 和 沿 翻折，点A、C的对应点分别为点G、H，且D、H、G 三点共线，求
的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形 中， ，F为 边上的三等分点，E为 边上一点，连接
，分别将 和 沿 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，点G与点H重合，
直线 交直线 于点P，请直接写出 的长．
【答案】（1） ， （2） ， （3） 或
【分析】（1）由翻折可得 ，在 中利用勾股定理解题即可；
（2）延长 交 于点M，连接 ，由翻折可得 ，即可得到 ，在
中运用勾股定理解题；
（3）分 和 两种情况解题解题，如图，当点F为 的三等分点时， ，则 ，设直线 交直线 于点Q，连接 ，过点E作 交 的延长线于点N，则有 ，
即 ，再在 中利用勾股定理求出 ，最后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
【详解】（1）∵四边形 是正方形，
，
∵ 为 的中点,
，
∵将 和 沿 翻折, 点 的对应点分别为点 ，
，
设 则
，
，
，
解得
，
∵将 和 沿 翻折, 点 的对应点分别为点 ，
，
，
，
故答案为: ， ；
（2）延长 交 于点M，连接 ，
∵F为 边的中点，
∴
由翻折可得： ， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，解得： ，
∴ ， ，
∵
∴ ；
（3）①如图，当点F为 的三等分点时， ，则 ，设直线 交 于点Q，
∵ 是菱形，
∴ ， ， ，
由翻折可得： ， ， = ， ，
∴ ，
连接 ，
则 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点E作 交 的延长线于点N，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
又∵ 是菱形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当点F为 的三等分点时， ，则 ，设直线 交直线 于点Q，连接 ，过点
E作 交 的延长线于点N，
由①可得， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
又∵ 是菱形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 长为 或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形和
菱形的性质，能作出辅助线构造直角三角形应用勾股定理计算是解题的关键．
42．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图（1）矩形 中， ， ， ，
将 绕点 从 处开始按顺时针方向旋转， 交 （或 ）于点 ， 交边
（或 ）于点 ，当 旋转至 处时， 的旋转随即停止.(1)特殊情形：如图（2），发现当 过点 时， 也恰好过点 ，此时， __________ （填
“ ”或“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理
由；
(3)拓展延伸：设 ，当 面积为4.2时，直接写出所对应的 的值.
【答案】(1)∽
(2)是定值，定值为 ；理由见详解
(3) 或
【分析】（1）根据矩形的性质找出 ，再通过角的计算得出 ，由此即可得出；
（2）过点 作 于点 ，根据矩形的性质以及角的计算找出 、 ，由
此即可得出 ，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点 在 和 上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面
积法找出 与 之间的函数关系式，令 求出 值，此题得解．
【详解】（1）解：如图2中，
四边形 为矩形，
，
．
，
，
，，
故答案为：∽．
（2）解：是定值．如图3，过点 作 于点 ，
矩形 中， ，
， ，
．
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：分两种情况：
①如图3，当点 在 上时， ．
， ，
．
由（2）可知： ，
，即 ，
．
，
．
当 时， ，解得： ．
，
；
②如图4，当点 在 上时， ，过点 作 于点 ，
， ，
．
同理可证： ，
，即 ，
．
， ，
．
当 时， ，
解得： ．
，
．
综上所述：当点 在 上时， ，当 时， ；当点 在 上时，
，当 时， ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟
练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出 ；（3）分点 在 和 上
两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间
的关系是关键．
43．（2023上·四川成都·九年级校考期中）问题探究：如图1，在正方形 ，点 分别在边
上， 于点 点 分别在边 上， ．
(1)①判断 与 的数量关系： _____ ；
②推断： ______(填数值)；
(2)类比探究：如图2，在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点
处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并
说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ， ，点
分别在边 上，求 的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ；1
(2)
(3)(4)
【分析】（1）①由正方形的性质得 ， ．所以 ，又知
，所以 ，于是 ，可得 ．
②证明四边形 是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2中，过点 作 于 ．证明 即可解决问题．
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，证明
，得出 ，证明 ，可得出 ，由勾
股定理求出 ，则可得出答案．
（4）过点 作 交 的延长线于 ．利用相似三角形的性质求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）解：（1）①证明： 四边形 是正方形，
， ．
．
，
．
．
，
．
故答案为： ．
②结论： ．
理由： ， ，
，，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：1．
（2）结论： ．
理由：如图2中，过点 作 于 ．
根据折叠的性质可得， ，
，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
．
（3）如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，连接 ，， ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ，
，
，
，且 ，
，且 ，
，
，
， ，
，
，
(不合题意，舍去)， ，
，
由（2）的结论可知： ．
（4）解：如图2中，过点 作 交 的延长线于 ．，
设 ， ， ，
， ，
，
，
或 (舍弃)，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题．
44．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为
顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．
(3)如图②，连结 ，点M为线段 上一点，点N为线段 上一点，且 ，直接写出当n为
何值时 为等腰三角形．
【答案】(1)
(2)当 时， ；当 时， ．
(3) ， ，
【分析】（1）将 、 代入函数解析式，利用待定系数法即可解答；
（2）当点 在 轴的左边时，四边形的面积为 ；当点 在 轴的右边时，四边形的面积为
；（3）分三种情况，即 ，分别解答即可，
【详解】（1）解：把 、 代入 中，
得 ，
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为 ．
（2）解：当 时， ，
，
当 时， ，
当 时， ．
（3）解：根据勾股定理可得 ，
，
①当 时，可得 ，
解得 ；
②当 时，如图，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
， ，， ，
，
，
，
可得方程 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
③当 时，如图，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
同理可得 ，
可得 ，
可得方程 ，
解得
经检验， 是原方程的解，
综上所述， ， ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，
根据 为等腰三角形想到分类讨论是解题的关键．45．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图1，在三角形 中， ，
，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点
出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，运动时间为 秒，连接 ．
(1)若 与 相似，求 的值；
(2)直接写出 是轴对称图形时 的值；
(3)如图2，连接 ，若 垂直 ，求 的值．
【答案】(1) 或
(2) 或 或
(3) 的值为
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，分两种情况：① ，② ，根据
相似三角形的性质将 代入计算即可得；
（2）由三角形是轴对称图形可得三角形是等腰三角形，再分三种情况：①当 时，过P作 ，
则 ， ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，进而即可求解；②当
时，列出式子即可求解；③当 时，过Q作 于G，则 ，
通过 ，得到比例式进而即可求解；
（3）设AQ，CP交于点N，过P作 于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得 ，，从而可得 ，再证出 ，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解： ， ，
；
分两种情况讨论：
当 时， ，
， ，
，解得， ，
②当 时， ，
，解得， ；
或 时， 相似；
（2）∵ 是轴对称图形，
∴ 是等腰三角形，
①当 时，如图，过P作 ，
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ；
②当 时，即 ，
解得： ；
③当 时，如图，过Q作 于G，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
解得： ；
综上所述： 是轴对称图形时t的值为： 或 或 ；
（3）过 作 于点 交于点 ，如图所示：
则 ，，
， ，
，
，
，
，
，解得 ，
∴满足条件的 的值为 ．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关
键．
46．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）已知抛物线经过 点 ．
(1)求抛物线解析式和直线 的解析式；
(2)若点 是第四象限抛物线上的一点，若 ，求点 的横坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点（不与 重合），经过 三点的圆与过 且垂直于
的直线交于点 ，求当 最小时点 的坐标及 最小值．
【答案】(1)(2)
(3) ，
【分析】（1）将 、 、 的坐标代入 即可求出抛物线的解析式，将 ， 两点的坐标代
入一次函数解析式即可求出直线 的解析式．
（2）可设点 的横坐标为 ，用含 的代数式表示出点 的纵坐标．过点 作 轴，过点 作
轴，过点 作 轴平行线，分别交 、 于点 、 ，构造梯形 ，得到 面积等于梯形
减去 和 的面积和，列方程即可求出 值，从而确定点 的坐标．
（3）由 即 可得 为圆的直径，进而得到圆周角 ，所以 等于
与 的乘积．设 的横坐标为 ，其纵坐标可用 表示，再设 的横坐标为 ，根据圆的性质可求
得 的值．分别过 、 作 轴的垂线，构造三垂直模型，即得到 、 的关系式，进而得到 与
的长度比值，故能用 的二次函数关系式表示 ，即求得最小值．
【详解】（1）解： 抛物线与 轴交于点 、 ，
，
把点 代入得： ，
，
抛物线解析式为： ，
设直线 的解析式为： ，
解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2）过点 作 轴，过点 作 轴，过点 作 轴平行线，分别交 、 于点 、 ，
， ， ，设点 ， ，
，
，
，
，
，
解得： （舍去）， ，
点 的横坐标坐标为 ．
（3）连接 、 、 ，取 中点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，
设 ， ， 的横坐标为 ，
， ， ，
，，
为过 、 、 三点的圆的直径，
为圆心， ，
，
，
，
，
圆心 在 的垂直平分线上，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
当 时，最小值 ，
，
点 坐标为 时， 最小值为 ．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
二次函数求最值．
47．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为 ，
，过点E作直线 轴，设直线l上的动点A的坐标为 ，连接 ，将线段 绕点B顺时
针方向旋转 得到线段 ，在射线 上取点C，构造 ，使得 ．
(1)如图1，当 时，求直线 的函数表达式．
(2)当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
(3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使 与 相
似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)存在，点A的坐标为 或 或 或 或 .
【分析】（1）设直线 的函数表达式为 ，然后把A、 两点的坐标代入即可求解；
（2）结合三角形相似，建立等量关系，求出三角形的面积即可；
（3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．
【详解】（1）解：设直线 的函数表达式为 ，则有：
，
解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2）当点 在 轴上时，设 点的坐标为 ；
过 作 于点 ，则 ， ， ，
，
，
，，
，
解得： ， ，
， ，
；
（3）①过点A、 作直线 的垂线，与过点 、 作 轴的平行线分别交于点 、 、 ，则四边形
为矩形，
，
， ，
由题意可得 （相似比为 ．
， ， ， ，
，
，
，
同理 ，
又 ，
（相似比为 ，
，解得： ， ，
， ，
即 ，
解得：
点A的坐标为 ；
②当点 在 上时，则 ，
的坐标为 ，A点的坐标为 ，
在 中， ，
，
，
轴，即 ，
，
，
，
符合题意；
③当点 在 上时，作 于点 ， 于点 ，
同①可得：点的坐标为 ，
直线 的解析式为： ，
把点， 代入解析式为 ，
可求得 ，
点 ， ，
由两点间的距离公式求得： ， ， ，
，
，
点 符合题意；
④当 轴时，作 于点 ， 于点 ，
同②可求A点的坐标为 ；⑤当点 在线段 上时，作 于点 ， 于点 ，
同③可求A点的坐标为 ；
点A的坐标为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有 角
的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键．
48．（2023上·安徽合肥·九年级期中）如图，在 中， 为 边上的两个动点， ．
(1)若 （即 重合），则 时， ；(2)若 ， ，则 与 相似吗？为什么？
(3)当 和 满足怎样的数量关系时， ？请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由 可知 ，则 ，当 时，
，进而可知 ，即可得结论；
（2）由已知条件可证明 为等边三角形，结合 可得到 ，可证明
；
（3）由等腰三角形的性质可得 ，进而可得 ，则当 时，可有
，则 ，再结合三角形内角和定理可找到 和 之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵ （即 重合），
∴ ，即 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：90；
（2）结论： ，理由如下：
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角
形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
49．（2023上·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图1，在 中， ，点 是边
上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与
的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当 时，直接写出 的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求 与 的数量关系．
(3)将图1特殊化，如图3，当 时，若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作 ，交 的延长线于点 ，如图，证明 ，得到
，再通过线段的代换得出 ，即得 ，进而求解；
（2）延长 并截取 ，如图，证明 ，得到 ， ，再通过线段的代换得出 ，即得 ，进而求解；
（3）证明 都是等边三角形，可得 ， ，进而得 ，可
证 ，设 ，则 ，根据相似三角形的性质求出 ，进而可得 ，过点 作
，勾股定理求得 ，证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解.
【详解】（1）解：作 ，交 的延长线于点 ，如图，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）延长 并截取 ，连接 ，如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）延长 并截取 ，连接 ，如图，由（2）可得 ， ，
∴ 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
过点 作∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，则 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形
全等与相似是解题的关键.
50．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图1， 的直径 垂直弦 于点 ，且 ， ．(1)求 的长．
(2)探究拓展：如图2，连接 ，点 是 上一动点，连接 ，延长 交 的延长线于点 ．
①当点 是 的中点时，求证： ；
②如图3，连接 ， ，当 为等腰三角形时，请计算 的长．
【答案】(1) ；
(2)①见解析；② 的长为 或 ．
【分析】（1）先求得 的直径为10，再利用垂径定理求得 ，在 中，利用勾股定理即
可求解；
（2）①连接 ，由点G是 的中点，推出 ，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②分两种情况讨论，当 和 时，证明 ，利用相似三角形的性质求
解即可.
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：①连接 ，
∵点G是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ；
当 时，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件．
