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第 01 讲 图形的旋转
课程标准 学习目标
1. 理解掌握旋转的定义并能够判断生活中的旋转现
①旋转的定义及生活中的旋转现象 象。
②旋转的性质 2. 掌握旋转的性质，并能够利用性质熟练解题。
③旋转作图 3. 掌握旋转作图的方法步骤，能够确定旋转中心，作
④旋转对称图形 出旋转后的图形。
4. 掌握旋转对称图形。
知识点01 旋转的概念
1. 旋转的概念：
在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针旋转一定角度的图形变换叫做 旋转 。点
O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋
转的三要素。
2. 旋转的相关概念：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋
转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，
那么这两个角叫做 对应角 。
题型考点：①判断生活中的旋转现象。②旋转中心与对应点对应边的判断。
【即学即练1】
1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆
的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；
故选：C．
【即学即练2】
2．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，则旋转中心是点 ,旋转角是
, 点A的对应点是 , 线段AB的对应线段是 , ∠B的对应角是 ,∠BOB′＝
．
【解答】解：由图形可得，旋转中心是点O，旋转角是∠A'OA，点A的对应点为A'，线段AB的对应线
段为A'B'，∠B的对应角为∠B'，∠BOB'＝AOA'＝90°．
故答案为：O、∠A′OA、A′、A′B′、∠B′、90°．
【即学即练2】
3．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（ ）
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点
【解答】解：∵如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，
∴点A是旋转中心，点B和点D是对应点，点C和点E是对应点．
故A，B，D错误，C正确．
故选：C．
知识点02 旋转的性质
1. 旋转的性质：
①旋转前后的两个图形 全等 。所以对应边 相等 ，对应角 相等 。
②对应点到旋转中心的距离 相等 。
③对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于 旋转角 。
题型考点：①旋转的性质理解。②旋转的性质利用。
【即学即练1】
4．下列关于图形旋转的说法中，错误的是（ ）
A．图形上各点旋转的角度相同
B．对应点到旋转中心距离相等
C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到
D．旋转不改变图形的大小、形状
【解答】解：A、图形上各点旋转的角度相同，本选项正确，不符合题意；
B、对应点到旋转中心距离相等，本选项正确，不符合题意；
C、由旋转得到的图形不一定可以由平移得到，本选项不正确，符合题意；
D、旋转不改变图形的大小、形状，本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
5．如图，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转 度（0＜ ＜180）后得
到△ADE，点E恰好落在BC上，则 ＝（ ）
α α
α
A．30° B．35° C．40° D．不能确定
【解答】解：∵∠B＝35°，∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝75°，
∵将△ABC绕点A旋转逆时针旋转 度（0＜ ＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，
∴AC＝AE，∠CAE＝ ，
α α
α∴∠AEC＝∠C＝75°，
∴∠CAE＝ ＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝30°，
故选：A．
α
【即学即练3】
6．如图．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′
在AB上，则AA′的长为 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由旋转得：AC＝A′C′＝4，BC＝BC′＝3，∠C＝∠BC′A′＝90°，
∴AC′＝AB﹣BC′＝5﹣3＝2，∠AC′A′＝180°﹣∠BC′A′＝90°，
∴AA′＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【即学即练4】
7．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中， ，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝ ×60°＝30°，∴DE＝1× ＝ ，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（ ×1× ）＝1﹣ ．
故选：C．
知识点03 旋转作图
1. 旋转作图的步骤：
①确定旋转的三要素： 旋转中心 ， 旋转方向 ， 旋转角 。
②在原图中找到 关键点 ，做出图形关键点旋转后的 对应点 。
③按照 原图形 连接各对应点。
题型考点：旋转作图。
【即学即练1】
8．已知：如图，四边形ABCD及一点P．
求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．
【解答】解：
四边形A′B′C′D′就是所求的图形．【即学即练2】
9．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．
【解答】解：如图所示：
知识点04 旋转对称图形
1. 平面直角坐标系中的旋转：
若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为
对应点的 纵坐标的绝对值 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 横坐标的绝对值 。坐标符号看坐标
所在象限。 简称横变纵，纵边横，符号看象限。
当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。
2. 旋转对称图形：
若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 完全重合 ，这样的图形叫做旋转对称图形。
题型考点：①判断旋转对称图形的旋转角。②平面直角坐标系中的旋转
【即学即练1】
10．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120°后，能与原图形完全重
合的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、最小旋转角度＝ ＝120°；
B、最小旋转角度＝ ＝90°；
C、最小旋转角度＝ ＝180°；
D、最小旋转角度＝ ＝72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
【即学即练2】
11．如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（
）
A．30° B．60° C．120° D．180°
【解答】解：正六边形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圆心角是60°，
因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．
则 最小值为60度．
故选：B．
α
【即学即练3】
12．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A
的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
【即学即练4】
13．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，
b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b） B．（a+2，b） C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）
【解答】解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，
设点P′的坐标为（x，y），
所以， ＝﹣1， ＝0，
解得x＝﹣a﹣2，y＝﹣b，
所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．
故选：C．
题型01 生活中的旋转现象【典例1】
下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
【解答】解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选：B．
【典例2】
下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：C．
题型02 利用旋转求角度
【典例1】
如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则
∠A＝ °．
【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝35°，
又∵∠A'DC＝90°，
∴∠A′＝55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A＝∠A′，
∴∠A＝55°；
故答案为：55．
【典例2】
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC
上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝ ＝ ＝75°，
故选：D．
【典例3】
如图，△ABC中∠BAC＝100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同
一直线上，则∠E的度数为（ ）
A．50° B．75° C．65° D．60°
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝ （180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：C．
【典例4】如图，菱形ABCD，E是对角线AC上一点，将线段DE绕点E顺时针旋转角度2 ，点D恰好落在BC边上
点F处，则∠DAB的度数为（ ）
α
A． B．90°﹣ C．180°﹣2 D．2
【解答】解：如图，连接BE，
α α α α
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DAB＝∠DCB，∠ACD＝∠ACB，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠EDC＝∠EBC，
∵将线段DE绕点E顺时针旋转角度2 ，
∴DE＝EF，∠DEF＝2 ，
α
∴BE＝DE＝EF，
α
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠EDC＝∠EBC＝∠EFB，
∵∠EFB+∠EFC＝180°，
∴∠EDC+∠EFC＝180°，
∵∠EDC+∠EFC+∠DEF+∠DCF＝360°，
∴∠DCF＝180°﹣2 ＝∠DAB，
故选：C．
α
题型03 利用旋转求线段
【典例1】
如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD＝2DA＝2，那么CC′＝．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠CAC′＝90°，AC＝AC′，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC＝ ＝ ＝ ，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′＝ ＝ ．
【典例2】
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按逆时针旋转60°得到△AB C 连接
1 1
BC ，则BC 的长为（ ）
1 1
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据旋转的定义和性质可得AC ＝AC＝3，∠B AC ＝∠BAC＝30°，∠BAB ＝60°．
1 1 1 1
所以∠BAC ＝90°．
1
所以在Rt△BAC 中，利用勾股定理可得BC ＝ ＝5．
1 1
故选：C．
【典例3】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在
AB上，则AA′的长为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
【解答】解：根据旋转可知：
∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，AB＝A′B，根据勾股定理，得AB＝ ＝ ＝5，
∴A′B＝AB＝5，
∴AC′＝AB﹣BC′＝2，
在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得
AA′＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．
【典例4】
已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是
AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．不能确定
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝4，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝ CD＝2，
∴DQ＝ ＝2 ，
∴DQ的最小值是2 ，
题型04 旋转作图与坐标计算
【典例1】
作图：（1）如图甲，以点O为中心，把点P顺时针旋转45°．
（2）如图乙，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．
（3）如图丙，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．
（4）如图丁，以点B为中心，把△ABC旋转180°．
【解答】解：（1）如图甲，点P′为所求；
（2）如图乙，线段A′B′为所求；
（3）如图丙，△A′B′C′为所求；
（4）如图丁，△A′BC′为所求．
【典例2】
在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格
点上，在图中画出将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A'B'C'．【解答】解：如图，△A'B'C'为所作．
【典例3】
如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图
形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（
）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵点C的坐标为（2，1），
∴点C′的坐标为（﹣2，1），
∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0）与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针
旋转90°得到“月牙②”，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣4）
【解答】解：如图，连接A′B，
∵点A（﹣1，0）与点B关于y轴对称，
∴点B（1，0），
∴AB＝2，∵月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，
∴A′B⊥x轴，A′B＝AB，
∴A′的坐标为（1，2）．
故选：A．
【典例5】
如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是
（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作A′D′⊥x轴于点D′，
则OD＝A′D′，AD＝OD′，OA＝OA′，
∴△OAD≌△A′OD′（SSS），
∵A（﹣2，5），
∴OD＝2，AD＝5，
∴点A′的坐标为（5，2），
故选：A．
【典例6】
如图1，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A B C ．
2 2 2【解答】解：（1）如图所示：A （3，0），B （1，﹣1），C （2，2）；
1 1 1
（2）如图所示：
【典例7】
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣
1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A B O；
2 2
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A 与点A 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
1 2
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 为所求做的三角形；
1 1 1（2）如图所示，△A B O为所求做的三角形；
2 2
（3）作A 点关于x轴的对称点A ，
1 3
∴A 坐标为（4，﹣4），
3
又∵A 坐标为（3，1），
2
∴A A 所在直线的解析式为：y＝﹣5x+16，
2 3
令y＝0，则x＝ ，
∴P点的坐标（ ，0）．
题型05 旋转对称图形
【典例1】
图中，不是旋转对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、360°÷5＝72°，旋转72°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项正确；
B、不是旋转对称图形，故本选项错误；
C、360°÷8＝45°，旋转45°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项正确；
D、360°÷4＝90°，旋转90°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项正确．
故选：B．【典例2】
如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）
A．60° B．90° C．72° D．120°
【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，
并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
故选：C．
【典例3】
数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：
45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错
误的是乙．
故选：B．
【典例4】
点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案
（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合．
【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，⑨⑨
∠AOE＝ ＝72°．
故答案为：72．1．下列现象中是旋转的是（ ）
A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动
C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动
【解答】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项错误；
B、抽屉来回运动是平移，故此选项错误；
C、电梯的上下移动是平移，故此选项错误；
D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确；
故选：D．
2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：△AOB与△DOE关于点O中心对称的只有D选项．
故选：D．
3．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠ 的度数是（ ）
αA．50° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣
∵∠A＝2∠D＝100°
α
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣ ＝180° 解得 ＝50°
故选：A．
α α
4．如图，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，点
B，E之间的距离为（ ）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：连接BE，
∵BC＝1，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝2，
由旋转可知：∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，
∴ ，
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得到点
B，则点B的坐标为（ ）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，3） D．（3，2）
【解答】解：过A点作AD⊥y轴，过B点作BE⊥x轴，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴AD＝2，OD＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠AOE＝90°，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOD＝∠BOE，
∵OA＝OB，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴OE＝OD＝3，OA＝OD＝3
∴点B的坐标为（﹣3，﹣2），
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在第二象限，点A在y轴正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝
2．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（3，1） B． C． D．【解答】解：过点B'作B'C⊥y轴于C，如图所示：
∵∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，
∴∠B'OA＝60°，OA＝OB＝2，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB'，
∴∠BOB'＝90°，OA＝OB＝OA'＝A'B'＝2，
∴∠B'OA'＝∠OB'A'＝90°﹣∠B'OA＝30°，
∴∠B'A'C＝∠B'OA'+∠OB'A'＝60°，
∴∠A'B'C＝30°，
∴A'C＝1，
∴OC＝A'C+OA＝3， ，
∴点B'的坐标为： ，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，
1 1 1
绕点O连续旋转2023次得到正方OA B C ，如果点A的坐标为（1，0），那么B 的坐标为（
2023 2023 2023 2023
）
A．（1，1） B． C． D．（﹣1，﹣1）
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（2，2），
连接OB，如图：由勾股定理得： ，
由旋转的性质得： ，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB ＝∠B OB ＝…＝45°，
1 1 2
∴ ，B （﹣1，1）， ，B （﹣1，﹣1）， ，B （1，﹣
2 4 6
1）， ，…，
发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，
∴点B 的坐标为 ，
2023
故选：B．
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到
△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若
DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【解答】解：设AF交BC于K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正确；
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四边形BEFG是正方形，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝ AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝ AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝ CG，
∴CF＝FG，故③正确；
∴正确的有：①②③，
故选：A．
9．如图，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，当点D在BC边上时，恰好有AE∥BC，若
∠C＝40°，则旋转角∠EAC＝ ，∠B＝ ．【解答】解：由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝40°，AB＝AD，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C＝40°，
∵∠BAD、∠CAE均为旋转角，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝ ＝70°，
故答案为：40°，70°．
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB′C′，
则CC′＝ ．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴ ，
∵将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝60°，
∴△ACC′是等边三角形，
∴CC′＝AC＝4，
故答案为：4．
11．如图，等边△ABC中，BC＝12，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆
时针旋转60°得到BN，连接HN．在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．【解答】解：如图，
取BC的中点G，连接MG，
∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
即∠MBH+∠MBC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边三角形的高，
∴BH＝ AB，
∴BH＝BG，
又∵BM旋转到BN，
∴BM＝BN，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝ ×60°＝30°，
CG＝ BC＝ ×12＝6，
∴MG＝ CG＝3，
∴HN＝3．
∴线段HN长度的最小值是3．
故答案为：3．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转
得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB的长为 ．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝8， ，
PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点，可分为以下三种情况：经过AB的中点D；经过AC的中点
E；经过BC的中点F．
当MN经过AB的中点D时，交BC于点G，如图： ，
∵PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，
∴PQ＝PB，
∴∠PQB＝∠B＝30°，
∵∠DPQ是△PQB的外角，
∴∠DPQ＝∠B+∠PQB＝60°，
∵MN垂直平分PQ，
∴PD＝QD，
∴△PQD是等边三角形，
∴PD＝QP，
∴PD＝PB，
∴ ；
当MN经过AC的中点E时，交BC于点G，如图： ，∵∠PQB＝30°，MN垂直PQ，
∴∠EGQ＝60°，
∴∠CEG＝30°，
在Rt△ECG中，EC＝2，
∴ ，
∴ ，
∵点G在MN上，
∴PG＝QG，
∴∠PQB＝∠QPG＝30°，
∵∠PGB是△PQG的外角，
∴∠PGB＝∠PQB+∠QPG＝60°，
∴∠GPB＝90°，
∴PG⊥PB，
在Rt△PGB中， ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ；
当MN经过BC的中点F时，交BC于点F（G），如图： ，
同理可证：PG⊥PB，
在Rt△PGB中，∠B＝30°， ，∴PB＝3．
综上：PB的长为：2或5或3．
故答案为：2或3或5．
13．如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝
∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，
∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，
∴∠FAG＝∠BAE＝52°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，
∴∠AGE＝77°．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并
填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，BC，EC，判断△BEC
的形状；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 ．【解答】解：（1）如图所示，D（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）；
（2）如图所示，BE2+EC2＝BC2，
∴△BEC的形状为直角三角形；（3）作B点关于y轴对称点B’，连接AB'交y轴于F点，此时△ABF的周长最小，F（0，4），
故答案为：（0，4）．
15．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三
角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝ ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三
角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两
三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）①如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣
t°，
当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒．
